Đáp án: \(3371,89{m^3}\).

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) vào hai đường hầm hình trụ sao cho hai trục \(Ox,Oy\) trùng với hai trục của hai hình trụ.

Thể tích của hai khối trụ là: \({V_1} + {V_2} = 2 \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} \cdot 20 = 1440\pi \left( {{m^3}} \right)\).

Cắt phần chung của hai khối trụ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại \(x = {x_0}\) ta được thiết diện là hình vuông có độ dài cạnh là \(2 \cdot \sqrt {36 - x_0^2} \).

Diện tích mặt cắt là \(S = \)\(4\left( {36 - x_0^2} \right)\) với \( - 6 \le {x_0} \le 6\).

Thể tích phần chung của hai hình trụ là: $V=\underset{-6}{\overset{6}{\int }}4\left(36-x^2\right)dx=1152\left(m^3\right)$.

Vậy thể tích khối đất đào được là: \(1440\pi - 1152 \approx 3371,89\left( {{m^3}} \right)\).

Đáp án: 2.

Ta có: \(\frac{{{m^3} + 5m}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = {f^2}\left( x \right) + 6 \Leftrightarrow {m^3} + 5m = {\left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} } \right)^3} + 5\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(h\left( t \right) = {t^3} + 5t \Rightarrow h'\left( t \right) = 3{t^2} + 5 > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow h\left( m \right) = h\left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = m\).

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge 1\) khi đó ta có

\(\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \sqrt {{m^2} - 1} }\\{f\left( x \right) = - \sqrt {{m^2} - 1} }\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = - \sqrt {{m^2} - 1} \) có 1 nghiệm duy nhất

Để phương trình có đúng 4 nghiệm thực phân biệt\({\rm{\;}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{m^2} - 1} \) có 3 nghiệm thực phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \sqrt {{m^2} - 1} < 1}\\{3 < \sqrt {{m^2} - 1} < 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < {m^2} < 2}\\{10 < {m^2} < 26}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 < m < \sqrt 2 }\\{\sqrt {10} < m < \sqrt {26} }\end{array}} \right.\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5} \right\}\).

Đáp án: −617.

\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\left( {\sqrt {x + 2} - 3} \right) - \left( {\sqrt[3]{{x + 20}} - 3} \right)}}{{\sqrt[4]{{x + 9}} - 2}}\)

Ta có \(\sqrt {x + 2} - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2} + 3}}\);

\(\sqrt[3]{{x + 20}} - 3 = \frac{{x + 20 - 27}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 20} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{x + 20}} + 9}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 20} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{x + 20}} + 9}}\)

\(\sqrt[4]{{x + 9}} - 2 = \frac{{x + 9 - 16}}{{\left( {\sqrt[4]{{x + 9}} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 4} \right)}} = \frac{{x - 7}}{{\left( {\sqrt[4]{{x + 9}} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 4} \right)}}\)

\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\left( {x - 7} \right)\left[ {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 20} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{x + 20}} + 9}}} \right]}}{{\frac{{x - 7}}{{\left( {\sqrt[4]{{x + 9}} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 4} \right)}}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\left[ {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 20} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{x + 20}} + 9}}} \right]}}{{\frac{1}{{\left( {\sqrt[4]{{x + 9}} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 4} \right)}}}}\)

Thay \(x = 7\) vào biểu thức:

Tử số: \(\frac{1}{{3 + 3}} - \frac{1}{{9 + 9 + 9}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{{27}} = \frac{7}{{54}}\)

Mẫu số: \(\frac{1}{{\left( {2 + 2} \right)\left( {4 + 4} \right)}} = \frac{1}{{4 \cdot 8}} = \frac{1}{{32}}\)

\(L = \frac{7}{{54}}:\frac{1}{{32}} = \frac{7}{{54}} \cdot 32 = \frac{{112}}{{27}}\). Suy ra \(a = 112;b = 27\). Do đó \(a - {b^2} = - 617\).

Đáp án: Đúng - Đúng.

\(v\left( t \right) = - 0,1{t^3} + {t^2} \ge 0 \Leftrightarrow {t^2}\left( {1 - 0,1t} \right) \ge 0 \Leftrightarrow t \le 10\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

\(\smallint v\left( t \right) \cdot dt = h\left( t \right) \Rightarrow h\left( t \right) = \smallint \left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)dt = - \frac{{0,1}}{4}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + C\).

Ta có \(h\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow C = 3 \Rightarrow ht) = \frac{{ - 0,1}}{4}{t^4} + \frac{1}{3}{t^3} + 3\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có chiều cao tối đa của cây cà chua đó là \(\frac{{259}}{3}\) (cm) nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.

Dựa vào bảng biến thiên ta có hai điểm cực trị có tọa độ \(\left( {1;3} \right),\left( {2; - 2} \right)\).

Khoảng cách là \(\sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {26} \) nên phát biểu thứ nhất đúng.

\[g'\left( x \right) = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x \ge 2}\\{1 - 2x \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le - \frac{1}{2}}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] nên phát biểu thứ hai sai.

c) Lại có \[{f^2}\left( x \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 3}\\{f\left( x \right) = - 3}\end{array}\] có tất cả 3 nghiệm nên có tương ứng 3 tiệm cận đứng.

Vậy có tất cả 3 đường tiệm cận đứng nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: \(\left[ {30;45} \right)\).

Tổng \(n = 9 + 5 + 15 + 14 + 7 = 50 \Rightarrow \frac{n}{2} = 25\).

Vậy nhóm chứa trung vị là \(\left[ {30;45} \right)\).

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 10 = 10\).

Để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần ta có 2 trường hợp:

TH1: Người đó gọi đúng ở lần thứ nhất.

TH2: Người đó gọi đúng ở lần thứ hai.

Gọi \({A_1}\) là biến cố “Người đó gọi đúng ở lần thứ nhất”

Xác suất người đó gọi đúng là \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{1}{{10}}\)nên phát biểu thứ nhất đúng.

Và xác suất người đó gọi không đúng là \(P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = \frac{9}{{10}}\).

Gọi \(\overline {{A_1}} {A_2}\) là biến cố “Người đó gọi đúng ở lần thứ hai”

⇒ xác suất người đó gọi đúng là \(P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) = \frac{9}{{10}} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{{10}}\)nên phát biểu thứ hai sai.

Gọi \(A\)là biến cố “Người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần”

Ta có \(A = {A_1} \cup \overline {{A_1}} {A_2}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) = \frac{1}{{10}} + \frac{9}{{10}} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{5}\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: 10.

Trước tiên, ta xây dựng hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.

Đặt \(BM = x\left( {km} \right)\), điều kiện \(\left( {0 \le x \le 7} \right)\) thì ta được: \(MC = 7 - x,AM = \sqrt {{x^2} + 25} \).

Theo đề bài, Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\), như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định như sau:

\(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{3\sqrt {{x^2} + 25} - 2x + 14}}{{12}}\) với \(x \in \left[ {0;7} \right]\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{12}}{\rm{\;}}\left( {\frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt {{x^2} + 25} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 25} = 3x\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5{x^2} = 100}\\{x \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 2\sqrt 5 }\\{x \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \).

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;7} \right]\) và ta có:

\(f\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}},f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},f\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(\frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\) tại \(x = 2\sqrt 5 \).

Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm \(M\) nằm cách \(B\) một đoạn \(BM = x = 2\sqrt 5 \).

Suy ra \(a = 2;b = 5\). Do đó \(ab = 10\).

Đáp án: \(f\left( x \right) = 18{x^8}\).

Có \(F'\left( x \right) = 18{x^8}\) nên \(F\left( x \right) = 2{x^9} + 1945\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 18{x^8}\).

Đáp án: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 - 12t}\\{y = - 5 - 8t}\\{z = 7t}\end{array}} \right.\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \(\left( P \right)\).

Khi đó tọa độ của \(I\) là thỏa mãn

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 4 - 3t}\\{z = 0}\\{x + 2y + 4z + 5 = 0{\rm{\;}}}\end{array}} \right.{\rm{\;}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = - 5}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {5; - 5;0} \right)\].

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là \(\vec u = \left( {2; - 3;0} \right)\), vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {1;2;4} \right)\).

Gọi \(\vec v\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) thì \(\vec v \bot \vec u,\vec v \bot \vec n \Rightarrow \vec v = \left[ {\vec u,\vec n} \right] = \left( { - 12; - 8;7} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {5; - 5;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 12; - 8;7} \right)\) nên có phương trình là \({\rm{d}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 - 12t}\\{y = - 5 - 8t}\\{z = 7t}\end{array}} \right.\).

Đáp án: Đúng – Đúng – Đúng – Đúng.

Khoảng biến thiên là \(60 - 30 = 30\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Nhóm chứa \({Q_1}\) là nhóm \(\left[ {42;48} \right)\).

Suy ra \({Q_1} = 42 + \frac{{250 - 235}}{{500}} \cdot 6 = 42,18\).

Nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \(\left[ {48;54} \right)\).

Khi đó \({Q_3} = 48 + \frac{{750 - 735}}{{250}} \cdot 6 = 48,36\).

Suy ra khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 6,18\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Ta có bảng sau:

Khối lượng trung bình: \(\bar x = \frac{{33 \cdot 45 + 39 \cdot 190 + 45 \cdot 500 + 51 \cdot 250 + 57 \cdot 15}}{{1000}} = 45\) gam nên phát biểu thứ ba đúng.

Phương sai: \(\frac{{{{33}^2} \cdot 45 + {{39}^2} \cdot 190 + {{45}^2} \cdot 500 + {{51}^2} \cdot 250 + {{57}^2} \cdot 15}}{{1000}} - {45^2} = 24,48\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {24,48} = \frac{{6\sqrt {17} }}{5}\) nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: −200.

Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)\) nên \(\vec u = \left( {6;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(O\) trên đường thẳng \(AB\) thì \(OH\) là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát.

Khi đó \(H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH} \cdot \vec u = \left( {6t - 500} \right) \cdot 6 + t - 250 - \left( { - t + 150} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{{19}}\).

Suy ra toạ độ của vị trí máy bay khi đó là \(\left( {\frac{{700}}{{19}}; - \frac{{3050}}{{19}};\frac{{1150}}{{19}}} \right)\).

Vậy \( - 57a - 19b - 19c = - 200\).

Đáp án: −12; 54; 136.

Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^4} = {x^4} - 12{x^3} + 54{x^2} - 108x + 81\).

Hệ số của các hạng tử có bậc chẵn là \(1;54\) và 81. Vậy tổng các hệ số đó là 136 .

Đáp án: \[x + y - 2 = 0\].

Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1;5} \right);\overrightarrow {AC} \left( { - 3;3;3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 18; - 18;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right): - 18\left( {x - 1} \right) - 18\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\].

Đáp án: 2.

Ta có : \({2^{{x^2} + {y^2}}} = 2 \cdot {2^{y - x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y - x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y - x + 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} - y = - {x^2} - x + 1\left( {\rm{*}} \right)\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) tìm \(x \in \mathbb{Z}\) đề phương trình (*) có nghiệm y dương.

Xét hàm số \(f\left( y \right) = {y^2} - y\) trên \(\left( {0, + \infty } \right)\)

\(f'\left( y \right) = 2y - 1,f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta có :

Phương trình (*) có nghiệm y dương\( \Leftrightarrow - {x^2} - x + 1 \ge - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0} \right\}\)

Vậy có 2 số nguyên x để phương trình (*) có nghiệm thực y dương.

Đáp án: \(m \in \left( {0;1} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của ( \({C_m}\) ) với trục hoành là : \(f\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1 = 0\left( {x \ne 1} \right)\left( 1 \right)\).

\(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{f\left( 1 \right) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - {m^2} + 1 > 0}\\{2m + 2{m^2} \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < m < 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình (1), theo vi et ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 2{m^2} - 1}\end{array}} \right.\)

Ta có : \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 2{m^2} - 2m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Tiếp tuyến tại hai giao điểm vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow y'\left( {{x_1}} \right) \cdot y'\left( {{x_2}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2{x_1} - 2{m^2} - 2m + 1} \right)\left( {x_2^2 - 2{x_2} - 2{m^2} - 2m + 1} \right) + {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}{\left( {{x_2} - 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right)^2} - \left( {2{m^2} + 2m} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2} \right) + {\left( {2{m^2} + 2m} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {2{m^2} + 2m} \right)^2} - \left( {2{m^2} + 2m} \right)\left( {4{m^2} - 4{m^2} + 2 + 4m + 2} \right) + {\left( {2{m^2} + 2m} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 3\left( {2{m^2} + 2m} \right) - 4m - 4 = 0 \Leftrightarrow 6{m^2} + 2m - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1\left( l \right)}\\{m = \frac{2}{3}\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\).

Vậy \(m = \frac{2}{3}\).

Đáp án: 4; 3.

Ta có \(1532 = 9 \cdot 170 + 2 \equiv 2\quad \left( {\bmod 9} \right)\)

Do đó \({1532^5} \equiv {2^5}\quad \left( {\bmod 9} \right) \Rightarrow {1532^5} - 1 \equiv {2^5} - 1\quad \left( {\bmod 9} \right)\).

Mà \({2^5} - 1 = 31 \equiv 4\quad \left( {\bmod 9} \right)\).

Do đó \({1532^5} - 1 \equiv 4\quad \left( {\bmod 9} \right)\).

Vậy số dư cần tìm là 4.

Ta có \(2016 \equiv 1\quad \left( {\bmod 5} \right)\) do đó \({2016^{2018}} \equiv {1^{2018}}\quad \left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow {2016^{2018}} + 2 \equiv {1^{2018}} + 2\quad \left( {\bmod 5} \right)\).

Mà \(1 + 2 = 3 \equiv 3\quad \left( {\bmod 5} \right)\). Do đó \({2016^{2018}} + 2 \equiv 3\quad \left( {\bmod 5} \right)\).

Vậy số dư cần tìm là 3.

Đáp án: 2.

Giả sử tồn tại \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn: \(13p + 1 = {n^3}\)\( \Leftrightarrow 13p = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right)\)

Vì 13 và \(p\) là số nguyên tố mà \(n - 1 > 1\) và \({n^2} + n + 1 > 1\)

Nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n - 1 = 13}\\{n - 1 = p}\end{array}} \right.\)

Với \(n - 1 = 13 \Rightarrow n = 14 \Rightarrow 13p = 2743 \Rightarrow p = 211\) (thỏa mãn vì 211 là số nguyên tố)

Với \(n - 1 = p \Rightarrow 13 = {n^2} + n + 1 \Rightarrow n = 3 \Rightarrow p = 2\) (thỏa mãn vì 2 là số nguyên tố)

Vậy có 2 giá trị của \(p\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án: 3.

Ta có: \({u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1,n = 1,2,3, \ldots \)

\( \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1 = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2 = \ldots = {u_2} - {u_1} + n\)

Do đó:

\({u_n} - {u_1} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) + \ldots + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) = n + \left( {n - 1} \right) + \ldots + 2\)

\( \Rightarrow {u_n} = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}} = \frac{1}{2}\)

Vì \(\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\) nên \(a = 1,b = 2\).

Vậy \(a + b = 3\).

Đáp án: Đúng – Đúng.

Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h(m)\) theo thời gian \(t(s)\) là: \(h = f(t) = a{t^2} + bt + c\;\left( {a < 0} \right)\).

Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là \(f\left( 0 \right) = c = 0\), do đó \(f\left( t \right) = a{t^2} + bt\).

Sau 2 giây, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8 m nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{f\left( 2 \right) = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 4a}\\{4a + 2b = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 4a}\\{ - 4a = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 2}\\{b = 8}\end{array}} \right.\).

Vậy \(f\left( t \right) = - 2{t^2} + 8t\).

Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3 giây là: \(h = f\left( 3 \right) = - 2 \cdot {3^2} + 8 \cdot 3 = 6\;\left( m \right)\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao \(h = 0\), tức là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0}\\{ - 2{t^2} + 8t = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 4\).

Vì thế sau 4 giây quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: Phát biểu thứ nhất, thứ hai và thứ tư đúng.

Trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \([ - 1;1]\).

Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \(\left[ {0;1} \right]\)

Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \((0;1]\).

Các phát biểu (1), (2) và (4) đúng.

Trên \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \(\left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]\). Vậy (3) sai.

Đáp án: 68.

Ta có: \(0,5111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + ...\) \( = 0,5 + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + ...\)

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) với \({u_1} = \frac{1}{{{{10}^2}}}\) và \(q = \frac{1}{{10}}\):

\(0,5 + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + ...\)\( = 0,5 + \frac{{\frac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{23}}{{45}}\).

Khi đó \(a = 23\) và \(b = 45\) (vì \(\frac{{23}}{{45}}\) đã là phân số tối giản).

Vậy \(a + b = 23 + 45 = 68\).

Đáp án: 0; 1.

Các số có 1 chữ số: Từ 1 đến 9 \( \Rightarrow \) Có 9 số

Các số có 2 chữ số: Từ 10 đến 99 \( \Rightarrow \) Có 90 số

Các số có 3 chữ số: Từ 100 đến 999 \( \Rightarrow \) Có 900 số

\(191 = 1 \cdot 9 + 2 \cdot 90 + 2\)

\( \Rightarrow \) Ta cần viết đến số tự nhiên thứ \(\left( {9 + 90} \right) + 1 = 100\)

\( \Rightarrow \) Chữ số thứ 191 là chữ số hàng chục của 100, và là số 0.

\(334 = 1 \cdot 9 + 2 \cdot 90 + 3 \cdot 48 + 1\)

\( \Rightarrow \) Ta cần viết đến số tự nhiên thứ \(9 + 90 + 48 + 1 = 148\)

Chữ số thứ 334 là chữ số hàng trăm của 148, và là số 1.

Đáp án: 23550.

Ta có: \({S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {{u_1} + {u_{100}}} \right) = 50\left( {4 + 499} \right) = 25150\)

Và \({S_{25}} = \frac{{25}}{2}\left( {{u_1} + {u_{25}}} \right) = \frac{{25}}{2}\left( {4 + 124} \right) = 1600\).

\( \Rightarrow A = {S_{100}} - {S_{25}} = 23550\).

Đáp án: −1; 1; 0.

Ta có: \({\log _5}({5^a} \cdot {125^b}) = {\log _{25}}5 \Leftrightarrow {\log _5}{5^a} + {\log _5}{5^{3b}} = {\log _{{5^2}}}5\)

\( \Leftrightarrow a{\log _5}5 + 3b{\log _5}5 = \frac{1}{2}{\log _5}5 \Leftrightarrow a + 3b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2a + 6b = 1\).

Nếu \(b = \frac{1}{2}\) thì \(2a + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow a = - 1\).

Vì \(a\) là số nguyên âm thuộc \([ - 10; - 5]\) nên ta có bảng sau:

Vậy không có giá trị nguyên dương của \(b\) thỏa mãn.

Đáp án: Nếu một đường thẳng nằm trên \((P)\) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trên \((Q)\).

Mệnh đề sai là: Nếu một đường thẳng nằm trên \((P)\) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trên \((Q)\).

Đáp án: \(\frac{{{a^3}\sqrt {42} }}{6}\).

Trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a \Rightarrow AM = \frac{1}{3}AC = \frac{{2a}}{3} \Rightarrow A'M = \sqrt {A'{A^2} - A{M^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{3}\).

Tính thể tích lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = A'M \cdot {S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt {42} }}{6}\).

Đáp án: 1024.

Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi.

Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có \(4\) cách chọn.

Tương tự đối với các chủ đề 2; 3; 4; 5.

Số cách ra đề là: \({4^5} = 1024\) cách.

Đáp án: \(\frac{a}{{\sqrt 2 }};60^\circ \).

Kẻ \(MJ \bot AB\) suy ra \(AJ = \frac{t}{{\sqrt 2 }}\). Kẻ \(JI \bot A'B'\). Dễ thấy \(J,N,I\) thẳng hàng.

Ta có: \(M{N^2} = M{J^2} + J{N^2} = \frac{{{t^2}}}{2} + {\left( {a - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = {t^2} - a\sqrt 2 t + {a^2} = {\left( {t - \frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \ge \frac{{{a^2}}}{2}\)

Suy ra \(MN \ge \frac{a}{{\sqrt 2 }}\). Dấu "=" xảy ra khi \(t = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(A'B\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Dễ thấy khi đó \(MN//B'C\left( {//A'D} \right)\) nên \(\left( {MN,AC} \right) = \left( {B'C,AC} \right) = \widehat {B'CA}\).

Mà ta có tam giác \(AB'C\) đều nên \(\widehat {B'CA} = 60^\circ \).

Do đó \(\left( {MN,AC} \right) = 60^\circ \).

Đáp án: \( - 6;3\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;6; - 2} \right)\)

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_D} + 1;{y_D} - 6;{z_D} + 1} \right) = \left( { - 5;6; - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} + 1 = - 5}\\{{y_D} - 6 = 6}\\{{z_D} + 1 = - 2}\end{array} \Rightarrow D\left( { - 6;12; - 3} \right)} \right.\).

Đường thẳng BC đi qua \(B\left( {2; - 1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;6; - 2} \right)\) làm một vecto chỉ phương có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = - 1 + 6t}\\{z = 3 - 2t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in BC\) nên \(H\left( {2 - 5t; - 1 + 6t;3 - 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {3 - 5t; - 7 + 6t;4 - 2t} \right)\).

Vì \(H\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 5\left( {3 - 5t} \right) + 6\left( { - 7 + 6t} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow H\left( { - 3;5;1} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 3\).

Đáp án: Sai – Đúng.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn và \(R\) là bán kính mặt cầu.

Ta có chu vi đường tròn là \(2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4\).

Bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {I{H^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Gọi \(\left( \alpha \right):2x + 2y + z + 11 = 0\).

Ta có \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 11} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 5 = R\).

\( \Rightarrow \left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: 10; 39; 420921.

Áp dụng công thức \(\left[ {{\rm{log}}A} \right] + 1\) để tìm các chữ số của số \(A\).

Ta có: \({\rm{log}}\left( {{M_p} + 1} \right) = {\rm{log}}{2^p} = p{\rm{log}}2\).

+ Với \(p = 31 \Rightarrow {\rm{log}}\left( {{M_{31}} + 1} \right) = 31 \cdot {\rm{log}}2 \approx 9,33\)

\( \Rightarrow {M_{31}}\) có 10 chữ số.

+ Với \(p = 127 \Rightarrow {\rm{log}}\left( {{M_{127}} + 1} \right) = 127 \cdot {\rm{log}}2 \approx 38,23\)

\( \Rightarrow {M_{127}}\) có 39 chữ số.

+ Với \(p = 1398269 \Rightarrow {\rm{log}}\left( {{M_{1398269}} + 1} \right) = 1398269 \cdot {\rm{log}}2 \approx 420920,911\)

\( \Rightarrow {M_{1398269}}\) có 420921 chữ số.

Đáp án: 0.

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra \(f\left( 0 \right) > f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow c > \sqrt 3 \Rightarrow c > 0\).

Ta có \(y' = f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + b,{{\rm{\Delta '}}_{y'}} = {a^2} - b\).

Vì \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow {\rm{\Delta '}}{\;_{y'}} < 0 \Leftrightarrow {a^2} - b < 0 \Leftrightarrow {a^2} < b \Rightarrow b > 0\).

Mặt khác \(f'\left( { - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow 1 - 2a + b = 1 \Leftrightarrow b = 2a \Rightarrow a > 0\).

Vậy không có số âm nào trong các hệ số \(a,b,c\).