Đáp án: 3.

Gọi \(x\) là số bi đỏ bạn A thêm vào.

Khi đó ta có: \(|\Omega | = 12 + 10 + 5 + x = x + 27\)

Số cách lấy bi đỏ là \(x + 12\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ là: \(\frac{{x + 12}}{{x + 27}}\)

Khi đó \(\frac{{x + 12}}{{x + 27}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 3\).

Đáp án: \(\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của BC.

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{\left( {SBC} \right) \supset SH \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì \(CH \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CB}}{{HB}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow HE//AC \Rightarrow HE \bot AB\)

Trong \(\left( {SHE} \right)\), kẻ \(HK \bot SE,\left( {K \in SE} \right)\) (1)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot HE}\\{AB \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot HK\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{HE = \frac{{AC}}{2} = \frac{{BC \cdot \sin \widehat {ABC}}}{2} = \frac{a}{4}}\end{array}} \right.\)

Xét \(\Delta SHE\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HK\), ta có \(HK = \frac{{SH \cdot HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}.\)

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}.\)

Đáp án: \( - 3;0\).

Vì \(x;y\) là các số nguyên trái dấu nên \(\left| x \right| + \left| y \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = 1}\\{\left| y \right| = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = 2}\\{\left| y \right| = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = 1}\\{\left| y \right| = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\). Khi đó, \(T = 2x + y = 0\).

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = 2}\\{\left| y \right| = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\). Khi đó, \(T = 2x + y = \pm 3\).

Đáp án: \(V = \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} dx\).

Thể tích vật thể \(X\) được tính bằng công thức: \(V = \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} dx\).

Đáp án: 16.

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí khi vật đứng yên, tức là \(x = 0\).

\( \Rightarrow 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5}\)

Trong khoảng thời gian từ \(0\) đến 10 giây, tức là \(0 \le t \le 10\) hay \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 10 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{150 - 2\pi }}{{3\pi }}\)

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;14;15} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ \(0\) đến 10 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 16 lần.

Đáp án: 4.

\(x \cdot {2^x} = x\left( {x - m + 1} \right) + m\left( {{2^x} - 1} \right) \Leftrightarrow x \cdot {2^x} = {x^2} - mx + x + m \cdot {2^x} - m\)

\( \Leftrightarrow {2^x}\left( {x - m} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow \left( {{2^x} - x - 1} \right)\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - x - 1 = 0}&{(1)}\\{x - m = 0}&{(2)}\end{array}} \right]\)

Xét phương trình (1).

Đặt \(f\left( x \right) = {2^x} - x - 1\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - x - 1\) trên \(\mathbb{R}\), có \(f'(x) = {2^x}\ln 2 - 1\)

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{1}{{\ln 2}} = - {\log _2}\left( {\ln 2} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 2 nghiệm mà \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có nghiệm là 1 hoặc \(0\).

\( \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\) là 2 giá trị cần tìm.

Vậy tập hợp \(A = \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow \) Số tập hợp con của tập hợp \(A\) là \({2^2} = 4\).

Đáp án: Đúng – Đúng – Sai – Đúng.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số có 2 điểm cực trị là \(x = 1\) và \(x = 3\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

\(f'\left( x \right) < 0\) với \(x \in \left( {1;3} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( {2;3} \right)\) (do \(\left( {2;3} \right) \subset \left( {1;3} \right)\)) nên phát biểu thứ hai đúng.

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\) nên phát biểu thứ ba sai.

\(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 1\) nên \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: \(\frac{1}{3}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{2x - 1}} = \frac{1}{3}\).

Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot AB;SA \bot AC\)

Do đó \(\widehat {BAC}\) là góc phẳng nhị diện của \(\left[ {B,SA,C} \right]\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \) nên phát biểu thứ hai đúng.

Số đo góc \(\left[ {M,BC,A} \right]\) bằng số đo góc \(\left[ {S,BC,A} \right]\) do \(M \in \left( {SBC} \right)\).

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\). Mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Góc \(\widehat {SBA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị \(\left[ {S,BC,A} \right]\)

Trong tam giác vuông \(SAB\), ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: 1.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \) (1)

Lại có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \) (2)

Lấy \((2) + 3 \cdot (1)\) ta được: \(4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {DC} \).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\vec a - \frac{3}{4}\vec b\)

Vậy \(x + y = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\).

Đáp án: 1156.

\(n\) chia cho \(7\) dư \(1\) nên \(\left( {n - 1} \right)\) chia hết cho \(7\)

\(n\) chia cho \(5\) dư \(1\) nên \(\left( {n - 1} \right)\) chia hết cho \(5\)

\(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) nên \(\left( {n - 1} \right)\) chia hết cho \(3\)

\(n\) chia cho 11 dư \(1\) nên \(\left( {n - 1} \right)\) chia hết cho 11

Khi đó \(n - 1\) là bội chung nhỏ nhất của 7; 5; 3; 11

Do đó \(n - 1 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 1155\)

Vậy \(n = 1156\).

Đáp án: \[{\vec u_d} = \left( { - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 1} \right).\]

Ta viết lại phương trình đường thẳng \(d\): \[\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}.\]

Do đó, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[{\vec u_d} = \left( { - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 1} \right).\]

Đáp án: \(\frac{{{{10}^x}}}{{\ln 10}} + C\).

\(\int {{2^x}} \cdot {5^x}{\mkern 1mu} dx\)\( = \int {{{10}^x}} {\mkern 1mu} dx\)\( = \frac{{{{10}^x}}}{{\ln 10}} + C\).

Đáp án: 1,27.

Ta có bảng số liệu

Ta có \(\overline x = \frac{{25 \cdot 4,5 + 50 \cdot 5,5 + 102 \cdot 6,5 + 202 \cdot 7,5 + 112 \cdot 8,5 + 10 \cdot 9,5}}{{501}} = \frac{{7225}}{{1002}}\).

Khi đó \({s^2} = \frac{{25 \cdot 4,{5^2} + 50 \cdot 5,{5^2} + 102 \cdot 6,{5^2} + 202 \cdot 7,{5^2} + 112 \cdot 8,{5^2} + 10 \cdot 9,{5^2}}}{{501}} - {\frac{{7225}}{{1002}}^2} \approx 1,27\).

Đáp án: Sai – Sai – Đúng.

Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = 4{\mkern 1mu} {000^2}\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Có \(IA = \sqrt {5{\mkern 1mu} {{100}^2} + {{623}^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2}} \approx 5{\mkern 1mu} 138\)

\( \Rightarrow IA > 4{\mkern 1mu} 000\) nên người đi biển ở vị trí \(A\) thì nằm ngoài vùng phủ sáng nên phát biểu thứ hai sai.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt biển \(\left( {Oxy} \right)\). Ta có \(H(21;35;0)\).

Do đó \(IH = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2}} = 50\).

Xét \(\Delta IHF\) vuông tại \(H\): \(I{F^2} = I{H^2} + H{F^2} \Rightarrow 4{\mkern 1mu} {000^2} = {50^2} + H{F^2} \Rightarrow HF \approx 3{\mkern 1mu} 999,7\) (mét) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: 4; 2.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số héc ta trồng cà chua và bắp.

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\20x + 10y \le 100\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ trên là miền đa giác OABC với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {0;6} \right)\), \(B\left( {4;2} \right)\) và \(C\left( {5;0} \right)\).

Số tiền bác Hai thu được là: \(T\left( x \right) = 50x + 30y\) (triệu đồng).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{T\left( {0;0} \right) = 0}\\{T\left( {0;6} \right) = 180}\\{T\left( {4;2} \right) = 260}\\{T\left( {5;0} \right) = 250.}\end{array}} \right.\)

Vậy số tiền nhiều nhất mà bác Hai có thể thu được là 260 triệu đồng khi trồng \(4\) héc-ta cà chua và \(2\)héc-ta bắp.

Đáp án: \(\left[ {8;9} \right);8,38\).

Nhóm \(\left[ {8;9} \right)\) có số học sinh nhiều nhất nên nhóm này chứa mốt của mẫu số liệu.

Có \({M_0} = 8 + \frac{{10 - 7}}{{\left( {10 - 7} \right) + \left( {10 - 5} \right)}} \cdot 1 \approx 8,38\).

Đáp án: Sai – Sai – Đúng – Sai.

Gọi \(A\) là biến cố “An làm đúng câu dễ”; \(B\) là biến cố “An làm đúng câu trung bình”; \(C\) là biến cố “An làm đúng câu khó”.

Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là

\(P = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \cdot P\left( C \right) = 0,072 = 7,2\% \) nên phát biểu thứ nhất sai.

Xác suất để An làm đúng \(2\) trong số \(3\) câu là

\(P\left( {\bar A} \right)P\left( B \right)P\left( C \right) + P\left( A \right)P\left( {\bar B} \right)P\left( C \right) + P\left( A \right)P\left( B \right)P\left( {\bar C} \right)\)

\( = 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,15 + 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,15 + 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,85 = 0,474\) nên phát biểu thứ hai sai.

Xác suất để An làm đúng \(3\) câu đủ ba loại là: \(P = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \cdot P\left( C \right) = 0,072 = 7,2\% \).

Xác suất An làm sai \(3\) câu mức độ trung bình: \({\left( {0,4} \right)^3} = 0,064\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Để An làm \(5\) câu và đạt đúng \(2\) điểm có các trường hợp sau:

TH1: Đúng \(4\) câu khó và câu còn lại sai

\({\left( {0,15} \right)^4} \cdot \left( {0,2 + 0,4 + 0,85} \right) = 7,34 \cdot {10^{ - 4}}\).

TH2: Đúng \(3\) câu khó và đúng \(2\) câu trung bình

\({\left( {0,15} \right)^3} \cdot {\left( {0,6} \right)^2} = 1,215 \cdot {10^{ - 3}}\).

Vậy xác suất cần tìm là \(0,1949\% \) nên phát biểu thứ tư sai.

Đáp án: 20.

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ sao cho \(A \equiv O\)

\( \Rightarrow \) cạnh cong \(AE\) nằm trên parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\)

\((P)\) đi qua các điểm \((0;0)\), \((2;1)\) và \(\left( {4;\frac{7}{2}} \right)\) nên \((P):y = \frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x\)

Khi đó diện tích tam giác cong $ACE$ có diện tích \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x} \right)} dx = 5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là \(V = 5 \cdot 4 = 20{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {10} \).

Độ dài của vec tơ \(\overrightarrow {\left| u \right|} = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).

Đáp án: 4275; 15.

Số tiền thu về khi bán \(x\) kg thịt là: \(750x\).

Lợi nhuận thu được khi bán \(x\)kg thịt là:\(L(x) = 750x - \left( {{x^3} - 9{x^2} + 345x + 450} \right) = - {x^3} + 9{x^2} + 405x - 450\)

Xét hàm số \(L(x) = - {x^3} + 9{x^2} + 405x - 450\) với \(x \in \left[ {1;20} \right]\)

\(L'(x) = - 3{x^2} + 18x + 405\); \(L'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15 \in \left[ {1;20} \right]\\x = - 9 \notin \left[ {1;20} \right]\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hộ gia đình sản xuất thịt khô này thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là \(4275\) nghìn đồng khi sản xuất \(15\) kg thịt trâu khô trong một ngày.

Đáp án: 29.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ:

Gốc tọa độ \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

Trục \(Ox \equiv EG;Oy \equiv HF\)

Khi đó ta dễ suy ra được: \(AC:y = - x\) và đồ thị hàm số bậc hai đi qua \(F,D,A\) là:\(y = 2{x^2} - 1\,\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(AC\) và đồ thị hàm số bậc hai đi qua \(F,D,A\) ta được:

\(2{x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Ta gọi \({S_1}\) là diện tích giới hạn bởi các đồ thị \(y = 2{x^2} - 1\,,\,x\, = \frac{1}{2},\,Ox\) khi đó:

\({S_1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\left( {1 - 2{x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {x - \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} - \frac{5}{{12}}\)

Diện tích giới hạn bởi các đồ thị \(y = - x,\,x\, = \frac{1}{2},\,Ox\) là: \({S_2} = \frac{1}{8}\)

Vậy diện tích tô màu đen như hình 2 là \(S = 8\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 8\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{3} - \frac{5}{{12}} + \frac{1}{8}} \right) = \frac{{8\sqrt 2 - 7}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 8\\q = - 7\end{array} \right.\).

Vậy \(p - 3q = 29\).

Đáp án: 1.

Ta có \(\int\limits_0^2 {\left[ {2x - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {2x{\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {{x^2}} \right|_0^2 - 3 = 4 - 3 = 1\).

Đáp án: Đúng – Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng \( - 1\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có: \({\log _3}\left( {f\left( x \right) + 6} \right) = 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) + 6 = 9 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\) \(\left( * \right)\)

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với đường thẳng

\(y = 3\). Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: −1266.

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \[ - 2\overrightarrow {IA} - 3\overrightarrow {IB} + 6\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]

Gọi điểm cần tìm là \(I\left( {x;y;z} \right)\), ta có

\( - 2\overrightarrow {IA} - 3\overrightarrow {IB} + 6\overrightarrow {IC} = - 2\left( {1 - x; - 4 - y;7 - z} \right) - 3\left( {5 - x;1 - y;6 - z} \right) + 6\left( {5 - x;5 - y;5 - z} \right)\)

\( = \left( { - 2 + 2x - 15 + 3x + 30 - 6x;8 + 2y - 3 + 3y + 30 - 6y; - 14 + 2z - 18 + 3z + 30 - 6z} \right)\)

\( = \left( {13 - x;35 - y; - 2 - z} \right) = \vec 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - x = 0\\35 - y = 0\\ - 2 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 35\\z = - 2\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( {13;35; - 2} \right)\).

\[P = - 2{\overrightarrow {MA} ^2} - 3{\overrightarrow {MB} ^2} + 6{\overrightarrow {MC} ^2} = - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 6{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\]

\[ = - 2\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IA} + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) - 3\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IB} + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right) + 6\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {IC} + {{\overrightarrow {IC} }^2}} \right)\]

\[ = {\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( { - 2\overrightarrow {IA} - 3\overrightarrow {IB} + 6\overrightarrow {IC} } \right) + \left( { - 2{{\overrightarrow {IA} }^2} - 3{{\overrightarrow {IB} }^2} + 6{{\overrightarrow {IC} }^2}} \right)\]

\[ = M{I^2} + \left( { - 2I{A^2} - 3I{B^2} + 6I{C^2}} \right)\].

Do điểm \(I;A;B;C\) không đổi nên \[ - 2{\overrightarrow {IA} ^2} - 3{\overrightarrow {IB} ^2} + 6{\overrightarrow {IC} ^2}\] không đổi từ đó \(P = - 2{\overrightarrow {MA} ^2} - 3{\overrightarrow {MB} ^2} + 6{\overrightarrow {MC} ^2}\) nhỏ nhất khi \[MI\]nhỏ nhất khi \[M \equiv I\left( {13;35; - 2} \right)\].

\[{P_{\min }} = - 2I{A^2} - 3I{B^2} + 6I{C^2} = - 2\left( {{{\left( { - 12} \right)}^2} + {{\left( { - 39} \right)}^2} + {9^2}} \right) - 3\left( {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 34} \right)}^2} + {{\left( 8 \right)}^2}} \right) + 6\left( {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( 7 \right)}^2}} \right)\]

\( = - 1266\).

Đáp án: \(N\left( {1;1; - 1} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(N\left( {1;1; - 1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta thấy thỏa mãn.

Đáp án: \(M = 3\); \(M + m = 3\).

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 3;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).

Khi đó \(M + m = 3\).

Đáp án: 0,2; 0,4; 0,5; 0,75.

\[A\overline B \] là biến cố “Mặt hàng \[A\] có lãi và mặt hàng \[B\] không có lãi” hay “Chỉ có mặt hàng \[A\] có lãi”\[ \Rightarrow P\left( {A\overline B } \right) = 0,2\]

Có: \[AB\] là biến cố “Cả 2 mặt hàng có lãi”.

Khi đó: \[P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A\overline B } \right) = 0,6 - 0,2 = 0,4\].

Gọi \[C\] là biến cố “Có đúng một mặt hàng có lãi” \[ \Rightarrow C = \overline A B \cup A\overline B \] mà \[\overline A B\] và \[A\overline B \] là các biến cố xung khắc \[ \Rightarrow P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\]

Có: \[P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 - 0,4 = 0,3\] và \[P\left( {A\overline B } \right) = 0,2\].

Vậy: \[P\left( C \right) = 0,3 + 0,2 = 0,5\].

Gọi \[D\] là biến cố: “Mặt hàng \[B\] có lãi biết mặt hàng \[A\] không có lãi” \[ \Rightarrow D = B|\overline A \]

Khi đó: \[P\left( D \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,7 - 0,4}}{{1 - 0,6}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\].

Đáp án: Đúng – Đúng – Sai.

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2} - 2\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \frac{\pi }{2} = 2 - \frac{\pi }{2}\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

\(f\prime \left( x \right) = 2c{\rm{os}}x - 1\)

\(f\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2c{\rm{os}}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\)

Trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) ta có \(f\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3}\\x = - \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(f\prime \left( x \right) = 0\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) bằng \(0\) nên phát biểu thứ hai đúng.

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 2;\,f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 - \frac{\pi }{2};\,f\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{\pi }{3} - \sqrt 3 ;\,\,f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 - \frac{\pi }{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}\) nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: \(5x + y - 2z + 1 = 0\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(MN\) nên mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MN} = \left( {5;1; - 2} \right)\) có phương trình là \(5\left( {x - 0} \right) + \left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 2z + 1 = 0\).

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng – Đúng.

Công suất sạc ban đầu ngay khi cắm sạc là \(P\left( 0 \right) = 250 \cdot {e^{ - k \cdot 0}} = 250\) (kW) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Tốc độ thay đổi công suất tại thời điểm \(t\) là \(P'\left( t \right) = 250 \cdot {\left( {{e^{ - kt}}} \right)^\prime } = - 250k \cdot {e^{ - kt}}\) nên phát biểu thứ hai sai.

Tại thời điểm vừa cắm sạc, tốc độ sụt giảm công suất sạc là 625 kW/giờ nên ta có

\(P'\left( 0 \right) = - 625 \Leftrightarrow - 250k{e^{ - k \cdot 0}} = - 625 \Leftrightarrow k = 2,5\).

Vậy công suất sạc giảm dần theo thời gian và \(k = 2,5\)nên phát biểu thứ ba đúng.

Thực tế, BMS của xe sẽ tự động ngắt sạc (báo pin đầy) khi công suất sạc giảm xuống chỉ còn bằng \(1\% \) so với công suất ban đầu. Khi đó:

\(P\left( t \right) = 1\% \cdot P\left( 0 \right) \Leftrightarrow 250 \cdot {e^{ - 2,5t}} = 0,01 \cdot 250\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - 2,5t}} = 0,01 \Leftrightarrow - 2,5t = \ln \left( {0,01} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln \left( {0,01} \right)}}{{ - 2,5}} \approx 1,842\) (giờ).

Đổi sang phút: \(1,842 \cdot 60 \approx 110,52\) phút.

Thời gian kéo dài không quá 111 phút nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: 409.

Cho \(f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\), \(g\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}x} \).

\(y = f\left( x \right) = {2^{{x^2}}}\)

Xét phép đối xứng qua \(d:y = x\)

\( \Rightarrow \) Thay \(x\) bởi \(y\), \(y\) bởi \(x\) vào \(y = {2^{{x^2}}}\) ta được \(x = {2^{{y^2}}} \Leftrightarrow {y^2} = {\log _2}x \Rightarrow y = \sqrt {{{\log }_2}x} = g(x)\)

\( \Rightarrow f(x)\) và \(g(x)\) đối xứng nhau qua \(d:y = x\)

\(\int\limits_1^{20} f \left( x \right)dx = {S_1}\).

\({S_1}\) là diện tích hình thang cong \(KEBA\)

\(\int\limits_2^{{2^{400}}} g (x)dx = {S_2}\) với \({S_2}\) là diện tích hình thang cong \(FEBC\).

\(S = {S_{OABC}} - {S_{OKEF}} = 20 \cdot {2^{400}} - 1 \cdot 2 = 5 \cdot {2^{402}} - 2\)

\( \Rightarrow a = 5,b = 402,c = 2 \Rightarrow a + b + c = 409\).

Đáp án: 100; 48.

Gọi hai số liệu còn lại là \[a\] và \[b\]. Theo đề bài,

Trung bình cộng \(\overline x = \frac{{2 + 4 + 10 + 12 + 14 + a + b}}{7} = 8 \Rightarrow 42 + a + b = 56 \Rightarrow a + b = 14\)

và phương sai \({s^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + 4 + 16 + 100 + 144 + 196}}{7} - {8^2} = 16\)

\[ \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + 460}}{7} - 64 = 16 \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + 460}}{7} = 80 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 460 = 560 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 100\].

Ta có\({\left( {a + b} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2ab \Rightarrow {14^2} = 100 + 2ab \Rightarrow 196 = 100 + 2ab \Rightarrow 2ab = 96 \Rightarrow ab = 48\).