Đáp án: −6; −3; 5; 1.

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;6; - 2} \right)\)

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_D} + 1;{y_D} - 6;{z_D} + 1} \right) = \left( { - 5;6; - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} + 1 = - 5}\\{{y_D} - 6 = 6}\\{{z_D} + 1 = - 2}\end{array} \Rightarrow D\left( { - 6;12; - 3} \right)} \right.\).

Suy ra hoành độ điểm \(D\) là \( - 6\).

Đường thẳng BC đi qua \(B(2; - 1;3)\) và nhận \(\overrightarrow {BC} = ( - 5;6; - 2)\) làm một vecto chỉ phương có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = - 1 + 6t}\\{z = 3 - 2t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in BC\) nên \(H\left( {2 - 5t; - 1 + 6t;3 - 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {3 - 5t; - 7 + 6t;4 - 2t} \right)\).

Vì \(H\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 5\left( {3 - 5t} \right) + 6\left( { - 7 + 6t} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

\( \Rightarrow H( - 3;5;1)\)

Đáp án: \( + \infty \).

\(L = {\rm{lim}}{2^n} = + \infty \).

Đáp án: \(\left( {1;2} \right)\).

Từ bảng biến thiên, ta có hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.

Ta có \(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = {\rm{cot}}x + C\).

Do \(F\left( x \right)\) không xác định tại \(x = l\pi ,l \in \mathbb{Z}\) nên phát biểu \(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là sai.

Xét trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + {C_k}\).

Có \(\frac{\pi }{4} + k\pi \in \left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\) nên

\({\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) + {C_k} = k + 1\) hay \({C_k} = k\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) + \ldots + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\)

\( = {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + {C_0} + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + {C_1} + \ldots + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + {C_{2023}} + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right) + {C_{2024}}\)

\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 2023 + 2024\)

\( = \frac{{2024\left( {2024 + 1} \right)}}{2} = 2049300\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: \(540;100\).

Cứ hai đường kẻ ngang phân biệt và 2 đường kẻ dọc phân biệt cho ta một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật là: \(C_9^2 \times C_6^2 = 540\).

Số hình vuông là: \(8 \times 5 + 7 \times 4 + 6 \times 3 + 5 \times 2 + 4 \times 1 = 100\).

Đáp án: \(f''\left( x \right) = 6x + 1\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} + 1} \right)^\prime } = 3{x^2} \Rightarrow f''\left( x \right) = {\left( {3{x^2}} \right)^\prime } = 6x\) và \(f'\left( 2 \right) = 3 \cdot {2^2} = 12\).

Có: \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} = 3 \Rightarrow \) Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {1;1} \right)\) là \(k = f'\left( 1 \right) = 3\).

Đáp án: \( - \frac{{11}}{6}\).

Hàm số liên tục tại \(x = 3\) khi \(f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).

Ta có \(f\left( 3 \right) = a + 2\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {2x + 3} - \sqrt {x + 6} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x + 3 - x - 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 6} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 6} }} = \frac{1}{6}\)

Suy ra \(f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) \Leftrightarrow a + 2 = \frac{1}{6} \Leftrightarrow a = - \frac{{11}}{6}\).

Đáp án: \(168\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {x + y + 1} \right) + 4 = {\rm{cos}}\left( {4xy} \right) + 16xy - 4x - 4y\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {x + y + 1} \right) + 4\left( {x + y + 1} \right) = {\rm{cos}}\left( {4xy} \right) + 4 \cdot 4xy\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = {\rm{cos}}t + 4t\) với \(t \in \mathbb{R}\). Ta có \(f'\left( t \right) = - {\rm{sin}}t + 4 > 0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(f\left( {x + y + 1} \right) = f\left( {4xy} \right)\) nên \(x + y + 1 = 4xy \Leftrightarrow x = \frac{{y + 1}}{{4y - 1}}\).

Khi đó \(S = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}}{{4y - 1}} = \frac{{{y^2} + 3y + 2}}{{4y - 1}}\) với \(y > 1\).

\(S'\left( y \right) = \frac{{4{y^2} - 2y - 11}}{{{{\left( {4y - 1} \right)}^2}}}\).

Bảng biến thiên:

Vậy \({\rm{min}}S = \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{8} \Rightarrow abc = 168\).

Đáp án: \(1; - 2;5\).

Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) cắt (nhưng không tiếp xúc) trục \(Ox\) tại 1 điểm nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = - 2\).

Hàm số \(y = f\left( x \right) - x\) có \(y' = f'\left( x \right) - 1\).

\(f'\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1\)

Ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) tại 5 điểm phân biệt.

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right) - x\) có 5 điểm cực trị.

Đáp án: Sai - Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;2;3} \right)\); \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \cdot \vec u = 0\) suy ra \(MN \bot d\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(MN\) vuông góc với \(d\) có phương trình \(x - 2y + z - 2 = 0\).

Gọi \(E = d \cap \left( P \right)\). Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 9}}{1}\\x - 2y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{17}}{3}\\y = \frac{{17}}{3}\\z = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có: \(IM \ge EM;IN \ge EN \Rightarrow IM + IN \ge EM + EN\)

Để \(IM + IN\) nhỏ nhất thì điểm \(I \equiv E\) nên \(I\left( {\frac{{17}}{3};\frac{{17}}{3};\frac{{23}}{3}} \right)\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: 98.

+ Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh \(C_9^5\) cách.

+ Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: \(C_7^5 + C_6^5 + C_5^5\)

Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là \(C_9^5 - \left( {C_7^5 + C_6^5 + C_5^5} \right) = 98\).

Đáp án: \(\frac{{2021}}{2}\).

Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{9^{1 - x}}}}{{{9^{1 - x}} + 3}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = \frac{9}{{9 + 3 \cdot {9^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}\)\( = \frac{3}{{3 + {9^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = 1\)

Ta thấy \(\frac{1}{{2022}} + \frac{{2021}}{{2022}} = 1 \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1\)

Tương tự có: \(f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2020}}{{2022}}} \right) = 1; \ldots \)

Vậy có tất cả là 1010 cặp số và thừa \(f\left( {\frac{{1011}}{{2022}}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + \cdots + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1 \cdot 1010 + \frac{1}{2} = \frac{{2021}}{2}\).

Đáp án: \(5;13\).

\(1,\,\,x,\,\,9,\,\,y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 1 + 9}\\{2 \cdot 9 = x + y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 13}\end{array}} \right.} \right.\).

Đáp án: \(240;480\).

Gọi \(x\) là số học sinh khối 12.

Khi đó \(x\) chia hết cho 16,20 và 24.

\( \Rightarrow x \in BC\left( {16,20,24} \right)\)

\(16 = {2^4};\,\,20 = {2^2} \cdot 5;\,\,24 = {2^3} \cdot 3\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {16;20;24} \right) = 240\)

\( \Rightarrow BC\left( {16,20,24} \right) = \left\{ {240k\mid k \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right\}\)

\( \Rightarrow x = 240k\)

Số học sinh khối 12 của trường đó có thể là 240 hoặc 480.

Đáp án: \(2\).

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \((0 < x < 60)\).

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(60 - x\).

Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\).

\({S_1} = \pi \cdot {r^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\)

Diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình: \(S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}\)\( = \frac{{\left( {4 + \pi } \right){x^2} - 120\pi x + 3600\pi }}{{16\pi }}\)

Đạo hàm: \(S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - 60\pi }}{{8\pi }};S' = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }};S'' = \frac{{4 + \pi }}{{8\pi }} > 0\).

Suy ra hàm \({\rm{S}}\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)

Do đó \({\rm{S}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)

Với \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\)\( \Rightarrow r = \frac{{30}}{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)\( \Rightarrow a = \frac{{60 - x}}{4} = \frac{{60}}{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)\( \Rightarrow \frac{a}{r} = 2\).

Đáp án: \(8\).

Xét \({13^{13}} = {\left( {{{13}^4}} \right)^3} \cdot 13\) có \({3^4}\) có chữ số hàng đơn vị là 1 nên \({\left( {{{13}^4}} \right)^3}\) có chữ số hàng đơn vị là 1 .

Suy ra chữ số hàng đơn vị của \({13^{13}}\) là 3 .

\({6^4} = 1296\) có chữ số hàng đơn vị là 6 .

Xét \({2019^n}\) có chữ số hàng đơn vị là 9 khi \(n\) là số tự nhiên lẻ.

Suy ra \({2019^{2023}}\) có chữ số hàng đơn vị là 9 .

\( \Rightarrow 3 + 6 + 9 = 18\).

Vậy số \(A\) có chữ số hàng đơn vị bằng 8 .

Đáp án: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)-h\left(x\right)\right|dx$.

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)-h\left(x\right)\right|dx$.

Đáp án: 2.

Điều kiện: \(x > 0;x \ne 1\).

\({\log _2}x - {\log _x}64 = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x - {\log _x}{2^6} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x - 6{\log _x}2 = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x - \frac{6}{{{{\log }_2}x}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 6 = {\log _2}x \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - {\log _2}x - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ lo{g_2}x = - 2}\\{ lo{g_2}x = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{4}}\\{x = 8}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đáp án: 1,5.

Ta có: \[P\prime \left( x \right) = F\prime \left( x \right) \cdot G\left( x \right) + F\left( x \right) \cdot G\prime \left( x \right)\]

\[ \Rightarrow P\prime \left( 2 \right) = F\prime \left( 2 \right) \cdot G\left( 2 \right) + F\left( 2 \right) \cdot G\prime \left( 2 \right) = 0 \cdot G\left( 2 \right) + 3 \cdot G\prime \left( 2 \right) = 3.G\prime \left( 2 \right)\]

Trên \(\left[ {0;4} \right]\) hàm số \[G\left( x \right) = ax + b\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{G\left( 0 \right) = 1;G\left( 4 \right) = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\; \Rightarrow G\left( x \right) = \frac{1}{2}x + 1\;\,\,{\rm{khi}}\,\,\;x \in \left[ {0;4} \right]}\\{ \Rightarrow G\prime \left( 2 \right) = \frac{1}{2}}\\{ \Rightarrow P\prime \left( 2 \right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}}\end{array}\]

Đáp án: 4071317.

\(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Do \(x \in \left[ {0;2018\pi } \right]\) nên \(0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2018\pi \Leftrightarrow - 0,25 \le k \le 2017,75\).

Các nghiệm của phương trình lượng giác lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ứng với \(k = 0\) và số hạng cuối ứng với \(k = 2017\).

Bấm máy: \(\sum\limits_{x = 0}^{2017} {\left( {\frac{\pi }{4} + x\pi } \right)} \), ta được kết quả \(\frac{{4071315\pi }}{2}\).

\( \Rightarrow a = 4071315;b = 2 \Rightarrow a + b = 4071317\)

Đáp án: \(\frac{1}{2}\).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn SG và \(G\) là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

\[\overrightarrow {SM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {SC} .\]

Từ đó suy ra \(x = \frac{1}{6},y = \frac{1}{6}\).

Vậy : \[T = x + 2y = \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}.\]

Đáp án: \(4,5\).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó là:

\(\overline x = \frac{{3 \cdot 162 + 8 \cdot 166 + 18 \cdot 170 + 12 \cdot 174 + 9 \cdot 178}}{{50}} = 171,28\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{{3 \cdot {{162}^2} + 8 \cdot {{166}^2} + 18 \cdot {{170}^2} + 12 \cdot {{174}^2} + 9 \cdot {{178}^2}}}{{50}} - 171,{28^2} = 20,1216\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {20,1216} \approx 4,5\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).

Đáp án: \(48\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b + c - d \vdots 11}\\{a + b + c + d \vdots 11}\end{array} \Rightarrow \left( {a + c} \right) \vdots 11{\rm{\;}}} \right.\)và \({\rm{\;}}\left( {b + d} \right) \vdots 11\).

Các cặp số có tổng chia hết cho 11 là

\(\left( {2;9} \right),\left( {3;8} \right),\left( {4;7} \right),\left( {5;6} \right)\)

\(p = C_4^2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 48\).

Đáp án: 12.

Gọi \({a_1} = 1;{a_2};{a_3}; \ldots ;{a_n}\)... lần lượt là cạnh của các hình vuông thứ 1, thứ \(2 \ldots \) thứ \(n \ldots \).

Ta có \({a_2} = \frac{1}{2}\sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\); \({a_3} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \cdot \sqrt 2 = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\)\({a_4} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt 2 = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^3}\)⋯; \({a_n} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}}\)

Gọi \({S_n}\) là tổng các chu vi của \(n\) hình vuông

Ta có \({S_n} = 4 + 4 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \ldots + 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} + \ldots \)

Ta thấy đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 4\) và \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{4}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \). Vậy \(P = a + b = 12\).

Đáp án: 1.

Với \(x \in \left[ {0;4} \right]\), ta có:

\({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 \ge m\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} \ge m\left( {{\rm{do}}\;x + 1 > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}},x \ne - 1\).

Hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;4} \right];f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\) (loại vì \( - 3 \notin \left[ {0;4} \right]\) ).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 1;f\left( 4 \right) = \frac{{14}}{5}\).

Suy ra .

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;4} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) \le 1 \Leftrightarrow m \le 1\).

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Đáp án: Sai – Đúng – Sai - Đúng.

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Ta thấy \(\vec u = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\vec n = \left( {1;2; - 2} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \(d\) không vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(A\left( {1;2; - 5} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\) có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = - 5 - 2t}\end{array}} \right.\)nên phát biểu thứ hai sai.

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Thay tọa độ của đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) ta được:

\(t + 2 + 2t - 2t = 0 \Leftrightarrow t = - 2\). Suy ra \(C\left( { - 2; - 1; - 2} \right)\)nên phát biểu thứ ba sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;7} \right)\).

Phương trình đường thằng \({\rm{AB:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 - 2t'}\\{y = - 2t'}\\{z = 2 + 7t'}\end{array}} \right.\).

Xét vị trí tương đối của \(d\) và \(AB\) ta thấy d cắt AB tại \(N\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{2}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).

\(\overrightarrow {AN} \left( {\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{14}}{3}} \right);\frac{3}{2}\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \) nên N nằm giữa A và B.

\(T = \left| {MA - MB} \right| \le AB\).

Dấu "=" xảy ra khi M trùng N .

Vậy, \({T_{{\rm{max}}}} = AB = \sqrt {57} \).

Đáp án: 1000.

Tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai vị trí \(A,B\) là \(T = MA + MB\).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của \(T\).

Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(A'B'\)

Khi đó: \(T = MA + MB = M{A_1} + MB \ge {A_1}B\). Dấu "=" xảy ra khi \(M = {A_1}B \cap A'B'\).

Suy ra GTNN của \(T\) bằng \({A_1}B\).

Đường thẳng đi qua \({A_1}\) vuông góc với \(BB'\) và cắt \(BB'\) tại \({B_1}\).

Dễ thấy tứ giác \(A'{A_1}{B_1}B'\) là hình chữ nhật từ đó ta tính được:

\({A_1}{B_1} = 2200m,B'{B_1} = A'{A_1} = AA' = 500m,B{B_1} = B'{B_1} + BB' = 1100m\)

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \({A_1}{B_1}B\), ta có:

\({A_1}B = \sqrt {{A_1}{B_1}{\;^2} + B{B_1}{\;^2}} = \sqrt {{{2200}^2} + {{1100}^2}} = 1100\sqrt 5 \left( m \right)\).

Suy ra \(a = 1100,b = 5\).

Vậy \(a - 20b = 1100 - 20 \cdot 5 = 1000\).

Đáp án: \(1130557\).

Vì \(2023102 = 2.17.157.379\) nên mật mã cần tìm là \(17 \cdot 157 \cdot 379 + 2 \cdot 157 \cdot 379 = 1130557\).

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng – Sai.

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 20 \cdot 10 \cdot 2 = 400\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Xác suất để sinh viên \(A\) rút được câu thuộc hộp thứ nhất là \(\frac{{20 \cdot 10 \cdot 1}}{{400}} = \frac{1}{2}\) nên phát biểu thứ hai sai.

Gọi \({E_1}\) là biến cố sinh viên rút được câu từ hộp 1 .

\({E_2}\) là biến cố sinh viên rút được câu từ hộp 2 .

Gọi \(B\) là biến cố rút được câu thuộc, khi đó \(B = \left( {{E_1} \cap B} \right) \cup \left( {{E_2} \cap B} \right)\)

Ta có \(P\left( {{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B\mid {E_1}} \right) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{20}^1}} = \frac{1}{2}\).

Xác suất để sinh viên \(A\) rút được câu thuộc ở hộp thứ nhất là \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) nên phát biểu thứ ba đúng.

Ta có: \(P\left( {{E_2}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B\mid {E_2}} \right) = \frac{{C_8^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{4}{5}\).

\( \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{E_1}} \right)P\left( {B\mid {E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right)P\left( {B\mid {E_2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{13}}{{20}}\) nên phát biểu thứ tư sai.

Đáp án: Đúng – Sai – Sai.

Xét tất cả các trường hợp chữ số tận cùng của \(n\) từ \(0\) đến \(9\):

Nếu \(n\) tận cùng là \(0\) thì \({n^2}\) tận cùng là \(0\) (vì \({0^2} = 0\)).

Nếu \(n\) tận cùng là \(1\) hoặc \(9\) thì \({n^2}\) tận cùng là \(1\) (vì \({1^2} = 1\) và \({9^2} = 81\)).

Nếu \(n\) tận cùng là \(2\) hoặc \(8\) thì \({n^2}\) tận cùng là \(4\) (vì \({2^2} = 4\) và \({8^2} = 64\)).

Nếu \(n\) tận cùng là \(3\) hoặc \(7\) thì \({n^2}\) tận cùng là \(9\) (vì \({3^2} = 9\) và \({7^2} = 49\)).

Nếu \(n\) tận cùng là \(4\) hoặc \(6\) thì \({n^2}\) tận cùng là \(6\) (vì \({4^2} = 16\) và \({6^2} = 36\)).

Nếu \(n\) tận cùng là \(5\) thì \({n^2}\) tận cùng là \(5\) (vì \({5^2} = 25\)).

Vậy số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là \(0;1;4;5;6;9\)nên phát biểu thứ nhất đúng.

Ta có \(100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 100\) có chữ số tận cùng là 0.

Do đó, \(A = 100! + 7\) có chữ số tận cùng là \(0 + 7 = 7\) không là số chính phương nên phát biểu thứ hai sai.

Đặt \({2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}(a > 0,a \in N)\)\( \Rightarrow {48^2} + {2^n} = {a^2} \Rightarrow {2^n} = \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right)\).

+) Với \(n = 0 \Rightarrow \left( {a - 48} \right)\left( {a + 48} \right) = 1 \Rightarrow \) vô lí.

+) Với \(n > 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 48 = {2^x}}\\{a - 48 = {2^y}}\end{array}} \right.\left( {x + y = n;x > y} \right)\)\( \Rightarrow 96 = {2^x} - {2^y}\)\( \Rightarrow {2^y}\left( {{2^{x - y}} - 1} \right) = {2^5} \cdot 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^y} = 5}\\{{2^{x - y}} = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7}\\{y = 5}\end{array} \Rightarrow n = 12} \right.\).

Do đó có 1 số tự nhiên thỏa mãn nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: 240

Đặt \(R = 6\left( {{\rm{cm}}} \right),h = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)\) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).

Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) như trong hình vẽ.

Ta có \(S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2}B{C^2}{\rm{tan}}\alpha \)\( = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5{\rm{\;}}\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}\).

Vậy thể tích lượng nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 6}^6 {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 6}^6 {\frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}{\rm{\;d}}x} = 240\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Đáp án: \(\phi (1) = 1\); \(\phi (9) = 6\).

Số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với 1 là 1.

Khi đó \(\phi (1) = 1\)

Với \(N = 4\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 4 là \(1;3\).

Khi đó \(\phi (4) = 2\)

Với \(N = 9\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 9 là: \(1;2;4;5;7;8 \Rightarrow \phi (9) = 6\).

Với \(N = 10\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 10 là \(1;3;7;9 \Rightarrow \phi (10) = 4\).

Đáp án: 2; 3.

Ta có \({y^2} - 2{x^2} = 1 \Rightarrow {y^2} = 2{x^2} + 1 \Rightarrow y\) là số lẻ

Đặt \(y = 2k + 1\) (với \(k\) nguyên). Ta có: \({\left( {2k + 1} \right)^2} = 2{x^2} + 1\).

\( \Leftrightarrow {x^2} = 2{k^2} + 2k \Rightarrow x\) chẵn, mà \(x\) nguyên tố \( \Rightarrow x = 2,y = 3\).