Đáp án: 2520.

Ta thấy: Có 5 vị trí xếp.

- Trường hợp 1: Số tạo thành có chữ số 0.

Số vị trí điền số 0 là 4 vị trí. Còn 4 chỗ trống thì điền số lẻ \(1;3;5;7;9\) và 3 trong 4 số chẵn: \(2;4;6;8\).

Chọn một chữ số lẻ, ba chữ số chẵn khác 0 và xếp vào 4 vị trí còn lại, ta có: \(5 \times C_4^3 \times 4! = 480\) cách.

Trong trường hợp này có \(4 \cdot 480 = 1920\) số.

- Trường hợp 2: Số tạo thành không có chữ số 0 , khi đó: chọn một chữ số lẻ cùng với bốn chữ số chẵn rồi xếp vào các vị trí có: \(5 \times 5! = 600\) số.

Vậy tất cả có \(1920 + 600 = 2520\) số thỏa mãn đề bài.

Đáp án: \(24 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\).

Gọi số lượng lá bèo ban đầu là \({M_0}\) thì số lượng lá bèo sau \(t\) giờ là :\(M\left( t \right) = {M_0} \cdot {2^t}\).

Số lượng lá bèo sau 1 ngày là : \(M\left( {24} \right) = {M_0} \cdot {2^{24}}\).

Khi số lượng lá bèo phủ kín \(\frac{1}{3}\) hồ ta có :

\(M\left( t \right) = \frac{1}{3}M\left( {24} \right) \Leftrightarrow {M_0} \cdot {2^t} = \frac{1}{3}{M_0} \cdot {2^{24}} \Leftrightarrow t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{2^{24}}}}{3} = 24 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\).

Đáp án: \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương.

\(\vec a + \vec b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\).

\(\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 1 = 0\) nên \(\vec a \bot \vec b\).

\(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \) .

Vì \(\frac{2}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 4}}{1}\) nên \(\vec a\) và \(\vec b\) không cùng phương.

Đáp án: 12.

Gọi \(B = d \cap {d_2} \Rightarrow B\left( {2 + t; - 1 - t;1 + t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {t + 1; - t;t - 2} \right)\)

Do \(d \bot {d_1} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow t + 1 + 4\left( { - t} \right) - 2\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \)\( = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Do \(A,B,O \in \left( P \right) \Rightarrow \vec n = - \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {4;7;1} \right)\).

Khi đó \(a + b + 1 = 12\).

Đáp án: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 41\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,C\).

Ta có: \[IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{B^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 1 = - 4x + 4 - 2z + 1}\\{ - 4x + 4 = - 2x + 1 - 2y + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z = 2}\\{x - y = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Vì \(I \in \left( P \right)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x + z = 2}\\{x - y = 1}\\{x + y + z - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 4}\\{z = - 3}\end{array} \Rightarrow I\left( {5;4; - 3} \right)} \right.} \right.\)

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {41} \)

Khi đó \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 41\).

Đáp án: Sai – Sai – Sai.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = \frac{{2x - 3}}{{ - x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

\( \Rightarrow \) Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng của tập xác định nên phát biểu thứ nhất sai.

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = - 2 \Rightarrow y = - 2\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên phát biểu thứ hai sai.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = - 1\) là \(k = y'\left( { - 1} \right) = \frac{1}{9}\) nên phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: Đúng – Sai.

Vì số hạng thứ \(n + 1\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\) là \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}\) nên mệnh đề thứ nhất đúng.

Vì với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), ta có \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 2}} < {u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\); do đó, dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm nên mệnh đề thứ hai sai.

Đáp án: 5; 500.

Gọi \(x\) là số tivi mỗi lần đặt hàng \(\left( {x \in \mathbb{N},x \in \left[ {1;2500} \right]} \right)\).

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là \(\frac{x}{2}\).

Do đó, chi phí gửi hàng trong kho mỗi năm sẽ là \(0,2 \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{{10}}\) (triệu đồng).

Số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là \(\frac{{2500}}{x}\).

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm sẽ là \(\left( {10 + 3x} \right) \cdot \frac{{2500}}{x} = \frac{{25000}}{x} + 7500\).

Suy ra, chi phí hàng tồn kho là \(C\left( x \right) = \frac{x}{{10}} + \frac{{25000}}{x} + 7500\).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(C\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {1;2500} \right]\).

Ta có: \(C'\left( x \right) = \frac{1}{{10}} - \frac{{25000}}{{{x^2}}},C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 500}\\{x = - 500\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có \(C\left( 1 \right) = 32500,1\); \(C\left( {500} \right) = 7600\); \(C\left( {2500} \right) = 7850\).

Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;2500} \right]} C\left( x \right) = C\left( {500} \right) = 7600\)

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là \(\frac{{2500}}{{500}} = 5\) lần.

Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 5 lần mỗi năm và 500 cái mỗi lần.

Đáp án: Đúng - Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {2; - 3; - 1} \right)\).

Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

Do \({\rm{\Delta }} \bot \left( {BCD} \right)\) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) trùng với vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\), tức là \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \overrightarrow {{n_{\left( {BCD} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {11;7;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(11x + 7\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(11x + 7y + z - 9 = 0\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Phương trình của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là \(\frac{{x - 1}}{{11}} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Thay tọa độ điểm \(\left( {12;7;0} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta thấy thỏa mãn. Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {12;7;0} \right)\). Phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: 420.

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) bán kính \(r\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính \(y\) được một chỏm cầu có chiều cao \(x\).

Đặt hệ trục tọa độ vào mặt cắt (qua tâm) của mặt cầu \(\left( S \right)\) bán kính \(r\) như hình vẽ.

Theo định lí Pytago ta có: \({y^2} + {\left( {r - x} \right)^2} = {r^2} \Leftrightarrow y = f\left( x \right) = \sqrt {{r^2} - {{\left( {x - r} \right)}^2}} = \sqrt {2rx - {x^2}} \).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{r - x}}{{\sqrt {2rx - {x^2}} }}\).

Khi đó, diện tích mặt chỏm cầu tạo thành khi quay đường cong \(f\left( x \right)\) quanh trục hoành giới hạn giữa hai mặt phẳng \(x = 0,x = h\) là

$S=2\pi \int {\text{}}_0^h\sqrt{2rx-x^2}\sqrt{1+{\left(\frac{r-x}{\sqrt{2rx-x^2}}\right)}^2}\text{ d}x$

$=2\pi {{\int }^{\text{}}}_0^h\sqrt{2rx-x^2}\cdot \frac{r}{\sqrt{2rx-x^2}}\text{ d}x$ $=2\pi {{\int }^{\text{}}}_0^{h}r\text{ d}x={\left.2\pi rx\right|}_0^h=2\pi rh$

Chiều cao chỏm cầu của bình hoa là: \(h = 10 - \sqrt {{{\left( {\frac{{20}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{12}}{2}} \right)}^2}} = 2\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Diện tích tráng men mặt ngoài (kể cả đáy) của bình hoa là: \({S_0} = 4\pi {r^2} - 2 \cdot 2\pi rh + \pi {r^2} = 420\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp án: \(m + n = 3\).

\(\left( P \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {m;2;n} \right)\).

\(\left( Q \right):x - my + nz + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - m;n} \right)\).

\(\left( \alpha \right):4x - y - 6z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4; - 1; - 6} \right)\).

Do giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)}\\{\left( Q \right) \bot \left( \alpha \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} }\\{\overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m - 2 - 6n = 0}\\{4 + m - 6n = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m - 6n = 2}\\{m - 6n = - 4}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{n = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(m + n = 3\).

Đáp án: \(\frac{3}{{16}}\).

Không gian mẫu là số cách sắp xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu.

Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 4⁴ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = {4^4}\).

Gọi \({\rm{A}}\) là biến cố: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai".

Để tìm số phần tử của \({\rm{A}}\), ta chia làm hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn thứ nhất: Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn có \(C_4^3 \cdot C_4^1\) cách.

Giai đoạn thứ hai: Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách còn lại có \(C_3^1\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \({\rm{A}}\) là \(n\left( A \right) = C_4^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1\).

Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{3}{{16}}\).

Đáp án: −2.

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 2x\)

Do đó \(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{\rm{\;d}}x = - \frac{1}{{f\left( x \right)}} + {C_1}\) và \(\mathop \smallint \nolimits^ 2xdx = {x^2} + {C_2}\). Suy ra \( - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\)

Mặt khác \(f\left( 2 \right) = - \frac{2}{9}\) nên ta có \(C = \frac{1}{2}\).

Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{2}}} = \frac{{ - 2}}{{2{x^2} + 1}}\), do đó \(f\left( 0 \right) = - 2\).

Đáp án: 12.

$\underset{2}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{5}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)dx=3+9=12$.

Đáp án: phát biểu thứ hai và phát biểu thứ 3.

Ta thấy \(f'\left( x \right) = 0\) cắt đường thẳng \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt.

Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có ba cực trị nên phát biểu thứ nhất đúng.

Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) không đồng biến nên phát biểu thứ hai sai.

Tính tích phân: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx = f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) > 0} \) vì \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( { - 1} \right)\)

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(4\right)-f\left(1\right)<0$ vì \(f'\left( x \right) < 0\forall x \in \left( {1;4} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 4 \right)\)

$\underset{-1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx<0$ do phần diện tích bên dưới lớn hơn.

\( \Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\) nên phát biểu thứ ba sai.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) bằng \(f\left( 4 \right)\) vì \(f\left( 1 \right) > f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\) nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: 30; 2070.

\({x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right) \cdot \left( {x + y} \right)\)

\(91 = 7 \cdot 13 = 1 \cdot 91\)

Vì \(x,y \in \mathbb{N}\) nên \(x + y > 0,x - y > 0\) và \(x - y < x + y\)

Khi đó: \({x^2} - {y^2} = 91\)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 7}\\{x + y = 13}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 1}\\{x + y = 91}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 46}\\{y = 45}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\]

Khi đó \(x \cdot y = 30\) hoặc \(x \cdot y = 2070\).

Đáp án: Đúng – Đúng – Sai.

Nếu \(a\) chẵn thì \(a = 2k \Rightarrow {a^2} = 4{k^2} \Rightarrow {a^2} \vdots 4 \Rightarrow \) Phát biểu thứ nhất đúng.

Giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào vì dễ thấy giữa \({n^2}\) và \({\left( {n + 1} \right)^2}\) không thể tồn tại \({k^2}\) thỏa mãn: \(n < k < n + 1 \Rightarrow \) Phát biểu thứ hai đúng.

Ta có: \(A = \left( {{{10}^{2023}} + {{10}^{2022}} + \ldots + 10 + 1} \right)\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\)

\[ \Leftrightarrow A = \underbrace {111 \ldots 1}_{2024}\left( {{{10}^{2024}} + 11} \right) + 5\]

Đặt \(t = 111 \ldots 1\) (2024 chữ số 1).

\( \Rightarrow 9t + 1 = {10^{2024}}\)

Suy ra:

\(A = t \cdot \left( {9t + 1 + 11} \right) + 5\)

\(A = 9{t^2} + 12t + 4 + 1\)

\(A = {\left( {3t + 2} \right)^2} + 1\)

Ta thấy \({\left( {3t + 2} \right)^2}\) là số chính phương nên \(A\) không là số chính phương.

\( \Rightarrow \) Phát biểu thứ ba sai.

Đáp án: \(\frac{{a\sqrt {13} }}{4}\); \(\frac{{{a^3}\sqrt {13} }}{{16}}\).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(HBC\) ta được:

\(H{B^2} = H{C^2} + B{C^2} - 2HC \cdot BC \cdot {\rm{cos}}60^\circ \)\( = {\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)^2} + {a^2} - 2 \cdot \frac{{3a}}{4} \cdot a \cdot \frac{1}{2}\)\( = \frac{{13{a^2}}}{{16}} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Ta có \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,BH} \right) = \widehat {SBH}\).

Xét \(\Delta SHB\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow SH = HB\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt {39} }}{4}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {39} }}{4} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)\( = \frac{{\sqrt {13} }}{{16}}{a^3}\).

Đáp án: 6893.

Số trang có 1 chữ số: 9 trang.

Số trang có 2 chữ số: 90 trang.

Số trang có 3 chữ số: 900 trang.

Số trang có 4 chữ số: 9000 trang.

Ta có: \(2000 = 9 + 90 + 900 + 1001\).

Số chữ số để đánh số trang là: \(9 \cdot 1 + 90 \cdot 2 + 900 \cdot 3 + 1001 \cdot 4 = 6893\).

Đáp án: \(\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{2}\).

Gọi \(M\left( {1 - t;1 + t;2t} \right) \in {d_2}\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - t;t - 1;2t - 4} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do \(AM \bot {d_1}\left( {AM \equiv {\rm{\Delta }}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} \cdot {\vec u_1} = 0 \Leftrightarrow 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua \(A\left( {1;2;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2};1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5;3;2} \right)\), có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{2}\).

Đáp án: \({5^5} \equiv 5\left( {{\rm{mod}}\,\,6} \right)\).

\({5^5} = 3125\), chia cho 6 dư 5 nên \({5^5} \equiv 5\left( {{\rm{mod}}\,\,6} \right)\).

Đáp án: 2.

Gọi hoành độ tiếp điểm là \({x_0}\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} + 1}\\{y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 + 6{x_0} - 6}\end{array}} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến \({\rm{\Delta }}\)

\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) hay \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} - 6} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} + 1\)

Mà \(M\left( {0;1} \right) \in {\rm{\Delta }}\) nên \(\left( {3{x_0}{\;^2} + 6{x_0} - 6} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^3 + 3{x_0}^2 - 6{x_0} + 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow - 2{x_0}^3 - 3{x_0}^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{{x_0} = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

Thế \({x_0} = 0,{x_0} = - \frac{3}{2}\) vào phương trình tiếp tuyến ta được \({{\rm{\Delta }}_1}:y = - 6x + 1,\,\,{{\rm{\Delta }}_2}:y = - \frac{{33}}{4}x + 1\).

Đáp án: \({x^2} + \frac{6}{x} + 7\).

\(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits^ ax + \frac{b}{{{x^2}}}dx\)\( = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + c\)

\(\begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow \frac{a}{2} + b + c = 2\\F\left( 1 \right) = 14 \Rightarrow \frac{a}{2} - b + c = 14\end{array}\)

\(F\left( 2 \right) = 14 \Rightarrow 2a - \frac{b}{2} + c = 14\)

\( \Rightarrow a = 2,b = - 6,c = 7\)

\(F(x) = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + c = {x^2} + \frac{6}{x} + 7\).

Đáp án: \(m = 1\).

Xét phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {\left( {m - 1} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - m + 1} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - m + 1 = 1}\\{x - m + 1 = - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{x = m - 2}\end{array}} \right.\)

Xét phương trình: \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)

Do đó, \(M = N \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m - 2 = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{m - 2 = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{m = 3}\end{array}} \right.({\rm{L}})}\end{array}} \right. \Rightarrow m = 1.\)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(16\).

Gọi số hợp đồng bán được của nhân viên \(B\) trong tháng \(12\) là \(x(x \in \mathbb{N}).\)

Số hợp đồng trung bình mà nhân viên \(A\) bán được trong \(1\) tháng là

\({\bar x_A} = \frac{{7 + 8 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 10 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18}}{{12}} = 11,75.\)

Số hợp đồng trung bình mà nhân viên \(B\) bán được trong \(1\) tháng là

\({\bar x_B} = \frac{{x + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 11 + 12 + 3 \cdot 16}}{{12}} = \frac{x}{{12}} + 10,25.\)

Phương sai số hợp đồng của nhân viên \(A\) là

\(s_A^2 = \frac{{{{\left( {7 - 11,75} \right)}^2} + {{\left( {8 - 11,75} \right)}^2} + 2{{\left( {9 - 11,75} \right)}^2} + 3{{\left( {10 - 11,75} \right)}^2} + \ldots + {{\left( {18 - 11,75} \right)}^2}}}{{12}} = 12,6875.\)

Phương sai số hợp đồng của nhân viên \(B\) là

\(s_B^2 = \frac{{{{\left( {x - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + 3{{\left( {7 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + 2{{\left( {10 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2}}}{{12}}\) \( + \frac{{2{{\left( {11 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + {{\left( {12 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2} + 3{{\left( {16 - \frac{x}{{12}} - 10,25} \right)}^2}}}{{12}}\)

\( = \frac{1}{{12}}\left[ {{{\left( {\frac{{11}}{{12}}x - 10,25} \right)}^2} + 3{{\left( {\frac{x}{{12}} + 3,25} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{x}{{12}} + 0,25} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{x}{{12}} - 0,75} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{12}} - 1,75} \right)}^2} + 3{{\left( {\frac{x}{{12}} - 5,75} \right)}^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{{12}}\left[ {\frac{{11}}{{12}}{x^2} - \frac{{41}}{2}x + \frac{{961}}{4}} \right]\)

Để nhân viên \(B\) giành được giải thưởng "Nhân viên bán hàng có phong độ ổn định nhất năm" tức là nhân viên \(B\) có số hợp đồng bán được ổn định hơn thì \(s_B^2 < s_A^2\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}}\left[ {\frac{{11}}{{12}}{x^2} - \frac{{41}}{2}x + \frac{{961}}{4}} \right] < 12,6875\)

\( \Leftrightarrow \frac{{11}}{{12}}{x^2} - \frac{{41}}{2}x + 88 < 0\)

\( \Leftrightarrow 5,79 < x < 16,57.\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(x \in \{ 6;7; \ldots ;15;16\} \) thỏa mãn điều kiện.

Đáp án: 25; 43.

Xét quả bóng \(A:\)

Ta có: \(10 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 5\)

Quãng đường đi được của quả bóng \(A\) từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

\({S_A} = \int\limits_0^5 {\left( {10 - 2t} \right)dt} = 25(m)\)

Xét quả bóng \(B:\)

Ta có: \(12 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Quãng đường đi được của quả bóng \(B\) từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

\({S_B} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right)dt} = 18(m)\).

Vậy khoảng cách giữa hai quả bóng là: \[25 + 18 = 43\left( m \right).\]

Đáp án: 2.

\(\overrightarrow {AB} = ( - 2;0; - 1);\overrightarrow {AC} = (2;0; - 2)\).

Do \(M\) cách đều \(A,B\) và \(C\) nên \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(AB\) và mặt phẳng trung trực của \(AC.\)

Mặt phẳng trung trực của \(AB:\)

\( - 2 \cdot \left( {x - 0} \right) - 1 \cdot \left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + z - \frac{1}{2} = 0\).

Mặt phẳng trung trực của \(AC\) \(1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 1 \cdot \left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0\).

Mà M thuộc mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}z} \right):y = 0\].

\( \Rightarrow \)Tọa độ của M thỏa mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + z - \frac{1}{2} = 0}\\{x - z - 2 = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{5}{6}}\\{y = 0}\\{z = - \frac{7}{6}}\end{array}} \right.\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{5}{6}}\\{b = 0}\\{c = - \frac{7}{6}}\end{array}} \right.\).

\( \Rightarrow a + b - c = \frac{5}{6} + 0 + \frac{7}{6} = 2.\)

Đáp án: Đúng – Sai – Đúng – Đúng.

Ta có khoảng biến thiên của bảng số liệu tháng 6 năm 2021 là \({R_1} = 40 - 30 = 10\) và khoảng biến thiên của bảng số liệu tháng 6 năm 2022 là \({R_2} = 40 - 28 = 12\) nên \({R_2} > {R_1}\) nên phát biểu thứ nhất đúng.

Xét số liệu tháng 6/2021 ta có tứ phân vị thứ nhất là:

\({Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{8} \cdot 2 = 33,375\) nên phát biểu thứ hai sai.

Xét số liệu tháng 6/2022.

Tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_{1'}} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 3} \right)}}{4} \cdot \left( {34 - 32} \right) = 33,25\).

Tứ phân vị thứ ba là: \({Q_{3'}} = 36 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - \left( {2 + 3 + 4 + 11} \right)}}{8} \cdot (38 - 36) = 36,625\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong tháng 6 năm 2022 là: \({\Delta _Q} = 36,625 - 33,25 = 3,375\)nên phát biểu thứ ba đúng.

Xét bảng số liệu tháng 6 năm 2021:

Giá trị trung bình là: \(\overline {{x_1}} = \frac{{2 \cdot 31 + 8 \cdot 33 + 5 \cdot 35 + 6 \cdot 37 + 9 \cdot 39}}{{30}} = \frac{{179}}{5}\)

Phương sai của bảng số liệu tháng 6 năm 2021 là:

\(S_1^2 = \frac{{2 \cdot {{31}^2} + 8 \cdot {{33}^2} + 5 \cdot {{35}^2} + 6 \cdot {{37}^2} + 9 \cdot {{39}^2}}}{{30}} - {\left( {\frac{{179}}{5}} \right)^2} = \frac{{532}}{{75}}\).

Xét bảng số liệu tháng 6 năm 2022:

Giá trị trung bình là :\(\overline {{x_2}} = \frac{{2 \cdot 29 + 3 \cdot 31 + 4 \cdot 33 + 11 \cdot 35 + 8 \cdot 37 + 2 \cdot 39}}{{30}} = \frac{{521}}{{15}}\)

Xét bảng số liệu tháng 6 năm 2022:

Giá trị trung bình là : \(S_2^2 = \frac{{2 \cdot {{29}^2} + 3 \cdot {{31}^2} + 4 \cdot {{33}^2} + 11 \cdot {{35}^2} + 8 \cdot {{37}^2} + 2 \cdot {{39}^2}}}{{30}} - {\left( {\frac{{521}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{1484}}{{225}}\)

Khi đó : \(S_1^2 - S_2^2 = \frac{{112}}{{225}}\) nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: Sai – Sai – Đúng – Sai.

Theo giả thiết suy ra: \[P\left( A \right) = 0,4,P\left( B \right) = 0,5\] và \[P\left( {AB} \right) = 0,3.\]

Có: \[P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \ne 0,3\] nên \(A\)và \(B\)là hai biến cố không độc lập nên phát biểu thứ nhất sai.

Gọi \(C\) là biến cố: “Thắng thầu dự án 1 dự án”

\[ \Rightarrow P\left( {()} \right) = P\left( {\bar AB} \right) + P\left( {A\bar B} \right)\]

Có: \[P\left( {\bar AB} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,5 - 0,3 = 0,2.\]

\[P\left( {A\bar B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 - 0,3 = 0,1.\]

Vậy: \[P\left( C \right) = 0,2 + 0,1 = 0,3\] nên phát biểu thứ hai sai.

Gọi \(D\) là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1”

\[ \Rightarrow D = B|A.\]

Khi đó: \[P\left( D \right) = P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,4}} = 0,75\]nên phát biểu thứ ba đúng.

Gọi \(E\) là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1”

\[ \Rightarrow E = B|\bar A.\]

Khi đó: \[P\left( E \right) = P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {\bar AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,5 - 0,3}}{{1 - 0,4}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\] nên phát biểu thứ tư sai.

Đáp án: 5.

\({6^x} + 6 = {2^{x + 1}} + {3^{x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {2^x} \cdot {3^x} - {2^{x + 1}} - {3^{x + 1}} + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {2^x}\left( {{3^x} - 2} \right) - 3\left( {{3^x} - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 2} \right)\left( {{2^x} - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} - 2 = 0}\\{{2^x} - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right[\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = 2}\\{{2^x} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_3}2}\\{x = {{\log }_2}3}\end{array}} \right.\)

Vì \(a < b\) nên \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2,b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\).

Vậy \(P = {3^a} + {2^b} = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2}} + {2^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}} = 2 + 3 = 5\).

Đáp án: 2.

Ta có: \(y = 1 - 2{\rm{cos}}x - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 2 - {(\cos x + 1)^2}\)

Nhận xét: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2 \Rightarrow 0 \le {(\cos x + 1)^2} \le 4\)

Do đó \(y = 2 - {\left( {\cos x + 1} \right)^2} \ge 2 - 0 = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2 .

Đáp án: 4.

Ta có: \(2{n^2} + 14n + 25 = \left( {2n + 4} \right)\left( {n + 5} \right) + 5\)

Để \(\left( {2{n^2} + 14n + 25} \right) \vdots \left( {n + 5} \right)\) thì \(5 \vdots \left( {n + 5} \right)\).

Suy ra \(n + 5\) phải là ước của \(5\).

Tập hợp các ước của \(5\) là Ư(5)\( = \{ 1; - 1;5; - 5\} \).

Ta có các trường hợp sau:

\(n + 5 = 1 \Rightarrow n = - 4\) (thỏa mãn \(n \in \mathbb{Z}\))

\(n + 5 = - 1 \Rightarrow n = - 6\) (thỏa mãn \(n \in \mathbb{Z}\))

\(n + 5 = 5 \Rightarrow n = 0\) (thỏa mãn \(n \in \mathbb{Z}\))

\(n + 5 = - 5 \Rightarrow n = - 10\) (thỏa mãn \(n \in \mathbb{Z}\))

Vậy có tất cả \(4\) giá trị nguyên của \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \( - \frac{2}{3}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{e^{ - x}} + x{e^{ - x}}} \right)}^\prime }}}{{{e^{ - x}} + x{e^{ - x}}}} = \frac{{ - {e^{ - x}} + {e^{ - x}} - x{e^{ - x}}}}{{{e^{ - x}} + x{e^{ - x}}}} = - \frac{x}{{1 + x}}\).

Suy ra \(f'\left( 2 \right) = - \frac{2}{{1 + 2}} = - \frac{2}{3}\).