Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 9)

Phương pháp giải:

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và sử dụng các tính chất liên quan.

Giải chi tiết:

     vuông tại \(B\) do \(BC \bot (SAB)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\).

     vuông tại \(C\) do \(CD \bot (SAD)\)\( \Rightarrow CD \bot SD\).

     vuông tại \(A\) do \(SA \bot AB\).

Do đó, tam giác không phải là tam giác vuông.

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải:

Lý thuyết quy tròn số với độ chính xác cho trước.

\medskip

Giải chi tiết:

Do độ chính xác \(d = 0,001\)nên ta quy tròn số gần đúng

            \[a = 5,2463\]

 đến hàng phần trăm và ta được số gần đúng là:

            \(a \approx 5,25.\)

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải:

Chứng minh một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Ta có:

            \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAB)}\\{AH \subset (SAB),\;AH \bot SB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot AH\]

Mặt khác:

            \[AH \bot SB\;(GT)\]

Vì SB và BC là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng \((SBC)\) nên:

            \[AH \bot (SBC).\]

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải:

Thay trực tiếp giá trị \(x = 1\) vào biểu thức.

Giải chi tiết:

            \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{x - 2}} = \frac{{\sqrt {1 + 8} - 3}}{{1 - 2}} = \frac{{3 - 3}}{{ - 1}} = 0.\]

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến khi \(f'(x) > 0\).

Giải chi tiết:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên các khoảng:

            \[( - \infty ; - 1)\quad {\rm{v\`a }}\quad (1;3).\]

Trong các phương án đã cho, chỉ có khoảng \(( - 3; - 2)\) nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến \(( - \infty ; - 1)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của logarit.

Giải chi tiết:

Từ giả thiết:

            \[a + b = 5ab \Rightarrow \log (a + b) = \log 5 + \log a + \log b.\]

Suy ra:

            \[\log \frac{{a + b}}{5} = \log a + \log b.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton.

Giải chi tiết:

Theo khai triển nhị thức Newton, số hạng tổng quát là:

            \[{T_k} = C_{40}^k{x^{40 - k}}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_{40}^k{x^{40 - 3k}}.\]

Số mũ của \(x\) bằng 31 nên:

            \[40 - 3k = 31 \Rightarrow k = 3.\]

Vậy số hạng chứa \({x^{31}}\) là:

            \[C_{40}^3{x^{31}} = C_{40}^{37}{x^{31}}.\]

Chọn B.

Phương pháp giải Tính lộ phí chuyến đi trong 4 đáp án và so sánh lấy chi phí nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Tổng chi phí cho lộ trình I - II - III - IV Ià: 10000 + 20000 + 7000 = 37000 (đồng).

Tổng chi phí cho lộ trình I - III - II - IV là: 15000 + 20000 + 25000 = 60000 (đồng).

Tổng chi phí cho lộ trình I - V - III - IV là: 10000 + 5000 + 7000 = 22000 (đồng).

Tổng chi phí cho lộ trình I - III - V - IV là: 15000 + 5000 + 10000 = 30000 (đồng).

Vậy lộ trình có chi phí thấp nhất là I - V - III - IV.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức xác suất của các biến cố.

Giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là:

            \[n(\Omega ) = 52.\]

Do chỉ có một lá bài vừa là chất rô vừa là lá bài 10, nên:

            \[n(A \cap B) = 1.\]

Áp dụng công thức:

            \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{{13}}{{52}} + \frac{4}{{52}} - \frac{1}{{52}} = \frac{{16}}{{52}} = \frac{4}{{13}}.\]

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mẫu số khác \(0\) và biểu thức trong căn không âm.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định của phương trình là:

            \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 2x \ge 0}\\{{x^3} - 3x + 2 \ne 0}\end{array}} \right.\]

Ta có:

            \[4 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2.\]

Mặt khác:

            \[{x^3} - 3x + 2 = {(x - 1)^2}(x + 2) \ne 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{x \ne - 2}\end{array}} \right.\]

Vậy điều kiện xác định của phương trình là:

            \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 2}\\{x \ne - 2,\;x \ne 1}\end{array}} \right.\]

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xét và biến đổi các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Ta có:

            \[{\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha = {({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \ne 1.\]

Ví dụ với \(\alpha = \frac{\pi }{6}\):

            \[{\cos ^4}\frac{\pi }{6} + {\sin ^4}\frac{\pi }{6} = \frac{5}{8} \ne 1.\]

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác.

Giải chi tiết:

Ta có:

I và II đúng vì là các bất đẳng thức tam giác.

Mặt khác:

            \[m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{{(b + c)}^2} + {{(b - c)}^2} - 2{a^2}}}{4}.\]

Từ \(|b - c| < a\) suy ra:

            \[{(b - c)^2} < {a^2} \Rightarrow m_a^2 < \frac{{{{(b + c)}^2}}}{4} \Rightarrow {m_a} < \frac{{b + c}}{2}.\]

Tương tự:

            \[{m_b} < \frac{{a + c}}{2},\quad {m_c} < \frac{{a + b}}{2}.\]

Cộng vế theo vế:

            \[{m_a} + {m_b} + {m_c} < a + b + c.\]

Vậy cả ba mệnh đề đều đúng.

Chọn C.

Giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\).

Ta có: \[y' = 8{x^2} + \frac{2}{x} - m.\]

Yêu cầu bài toán:

          \[y' \ge 0\quad \forall x \in (0;1) \Leftrightarrow 8{x^2} + \frac{2}{x} \ge m\quad \forall x \in (0;1).\]

Xét hàm: \[h(x) = 8{x^2} + \frac{2}{x},\quad x \in (0;1).\]

Ta có: \[h'(x) = 16x - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Giải \(h'(x) = 0\): \[16x - \frac{2}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow 16{x^3} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}.\]

Giá trị nhỏ nhất của \(h(x)\) trên \((0;1)\) là:

   \[h\left( {\frac{1}{2}} \right) = 8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{{\frac{1}{2}}} = 2 + 4 = 6.\]

Do đó:

                                                                               \[m \le 6.\]

Vì \(m\) là số nguyên dương nên:

                                                                   \[m \in \{ 1,2,3,4,5,6\} .\]

Vậy có tất cả \(6\) giá trị thỏa mãn.

Chọn B.

Phương pháp giải Khai triển nhị thức Newton\(5\)

Giải chi tiết

                         \[{(1 - 2{x^4})^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( - 2{x^4})^k}.\]

Số hạng chứa \({x^8}\) tương ứng với:

                                                                 \[4k = 8 \Rightarrow k = 2.\]

Hệ số của \({x^8}\) là:

                                                         \[C_5^2{( - 2)^2} = 10 \cdot 4 = 40.\]

Do đó, hệ số của \({x^9}\) trong \(x{(1 - 2{x^4})^5}\) là 40

                                \[{(1 + {x^2})^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {({x^2})^k}.\]

Số hạng chứa \({x^6}\) tương ứng với:

                                                                 \[2k = 6 \Rightarrow k = 3.\]

Hệ số của \({x^6}\) là:

                                                                           \[C_5^3 = 10.\]

Do đó, hệ số của \({x^9}\) trong \({x^3}{(1 + {x^2})^5}\) là 10.

Cộng hai phần:           \[40 + 10 = 50.\]

Vậy hệ số của \({x^9}\) là 50. Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm.

Giải chi tiết:

Đặt:

                                                             \[t = \sqrt {1 - x} \quad (x < 1).\]

Khi đó:

                                                     \[t' = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }} < 0,\]

nên \(t\) là hàm nghịch biến trên \(( - \infty ;1)\).

Với \(x \in ( - 3;0)\) ta có:

                                                                 \[t = \sqrt {1 - x} \in (1;2).\]

Bài toán trở thành: tìm các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số

                                                             \[f(t) = \frac{{t + 1}}{{t + m}}\]

nghịch biến trên \((1;2)\).

Ta có:

                                                    \[f'(t) = \frac{{m - 1}}{{{{(t + m)}^2}}}.\]

Để \(f(t)\) nghịch biến trên \((1;2)\) thì:

                                        \[f'(t) < 0 \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1,\]

đồng thời mẫu số khác \(0\):

            \[t + m \ne 0\quad \forall t \in (1;2) \Leftrightarrow m \ne - t \Rightarrow m \le - 2\;{\rm{ho?c}}\;m \ge - 1.\]

Kết hợp điều kiện \(m < 1\), ta có vô số giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số \(m\). Chọn C.

Phương pháp giải:

Giả sử ba số a,b,c (theo thứ tự) lập thành cấp số cộng thì:

                                                                            \[a + c = 2b.\]

Xét tính chẵn lẻ của a,c để đếm số cách chọn.

Giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là:

                                    \[n(\Omega ) = \left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right).\]

Gọi \(A\) là biến cố: ``ba số lấy được lập thành cấp số cộng''.

Giả sử $a,b,c$ là ba số lập thành cấp số cộng, khi đó:

                                                                            \[a + c = 2b,\]

nên \(a + c\) là số chẵn, suy ra \(a\) và \(c\)cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

TH1. a,c đều là số chẵn.

Trong \(S\) có 10 số chẵn \( \Rightarrow \) số cách chọn a,c là \(\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)\).

TH2. a,c đều là số lẻ.

Trong \(S\) có 10 số lẻ \( \Rightarrow \) số cách chọn a,c là \(\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)\).

Với mỗi cặp \((a,c)\) thỏa mãn, tồn tại duy nhất một số \(b = \frac{{a + c}}{2}\).

Do đó: \[n(A) = \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right) = 90.\]

Xác suất cần tìm là: \[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right)}} = \frac{{90}}{{1140}} = \frac{3}{{38}}.\]

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hàm số xác định khi biểu thức trong căn không âm. Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

Giải chi tiết:

Hàm số xác định khi:

            \[1 - {m^2} + 2m\sin x \ge 0,\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Tương đương:

   \[2m\sin x \ge {m^2} - 1,\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].{\rm{ }}*\]

Trường hợp 1. \(m > 0\).

Từ \((*)\) suy ra:

           \[\sin x \ge \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Do \(\sin x \in [0;1]\) nên:

\[\frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 1.\]

Trường hợp 2. \(m < 0\).

Bất đẳng thức \((*)\) tương đương:

            \[\sin x \le \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\quad \forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Vì \(\sin x \le 1\) nên:

\[\frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1 - 2m}}{{2m}} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 - 2m \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \le m < 0.\]

Trường hợp 3. \(m = 0\).

Khi đó:

                                                                            \[y = \sqrt 1 ,\]

luôn xác định trên \(\mathbb{R}\).

Vậy:

                                                                    \[1 - \sqrt 2 \le m \le 1.\]

Các giá trị nguyên của \(m\) là:

                                                                             \[m = 0,\;1.\]

Có \(2\) giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa bài toán về tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với các đường thẳng song song trục hoành.

Giải chi tiết:

Ta có:

                      \[|f(x) - 1| = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) - 1 = 3}\\{or}\\{f(x) - 1 = - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = 4}\\{or}\\{f(x) = - 2}\end{array}} \right.\]

Như vậy, số nghiệm của phương trình đã cho chính là tổng số giao điểm của đồ thị

\(y = f(x)\) với hai đường thẳng: \[y = 4\quad {\rm{v\`a }}\quad y = - 2.\]

Quan sát đồ thị, ta thấy:

Đồ thị cắt đường thẳng \(y = 4\) tại \(2\) điểm.

Đồ thị cắt đường thẳng \(y = - 2\) tại \(2\) điểm.

Do đó, tổng số nghiệm là:

                                                                             \[2 + 2 = 4.\]

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện là một tam giác cân và tính diện tích tam giác đó.

Giải chi tiết:

N, P, D thẳng hàng.

Do đó, thiết diện của mặt phẳng \((MNP)\) với tứ diện là tam giác MND

                                                               \[MN = \frac{{AB}}{2} = a.\]

Vì ABCD là tứ diện đều nên:

                                               \[DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\]

Suy ra tam giác MND cân tại \(D\).

Gọi \(H\) là trung điểm của $MN$ thì:

                                                                          \[DH \bot MN.\]

Ta có:

    \[DH = \sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{11{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\]

Diện tích tam giác $MND$ là:

    \[{S_{MND}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} MN \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{{a\sqrt {11} }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.\]

Vậy diện tích thiết diện là \(\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\). Chọn C.

Phương pháp giải:

Chia các trường hợp làm sai \(4\) câu và làm sai cả \(5\) câu.

Giải chi tiết:

Mỗi câu hỏi có \(5\) đáp án, chọn ngẫu nhiên nên:

                       \[P({\rm{d\'u ng}}) = \frac{1}{5},\qquad P({\rm{sai}}) = \frac{4}{5}.\]

Không gian mẫu gồm:

                                                                    \[n(\Omega ) = {5^5}.\]

Gọi \(A\) là biến cố: ``làm sai ít nhất \(4\) câu''.

Biến cố \(A\) xảy ra trong hai trường hợp:

Trường hợp 1. Làm sai cả \(5\) câu:

                            \[{P_1} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^5} = \frac{{1024}}{{3125}}.\]

Trường hợp 2. Làm sai đúng \(4\) câu, đúng \(1\) câu:

Số cách chọn câu đúng là \(\left( \begin{array}{c}5\\1\end{array} \right)\), do đó:

                    \[{P_2} = \left( \begin{array}{c}5\\1\end{array} \right)\left( {\frac{1}{5}} \right){\left( {\frac{4}{5}} \right)^4} = 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{{256}}{{625}} = \frac{{256}}{{625}} = \frac{{1280}}{{3125}}.\]

Xác suất cần tìm là:

             \[P(A) = {P_1} + {P_2} = \frac{{1024}}{{3125}} + \frac{{1280}}{{3125}} = \frac{{2304}}{{3125}}.\]

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\left( \begin{array}{c}n\\2\end{array} \right) + 6n + 5 = A_{n + 1}^2 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} + 6n + 5 = (n + 1)n.\]

Giải phương trình trên, ta được:

                                                                               \[n = 10.\]

Khi đó:

                                                           \[P(x) = {(1 - x - 3{x^3})^{10}}.\]

Theo khai triển nhị thức Newton, số hạng tổng quát có dạng:

                                    \[T = C_{10}^kC_k^\ell {( - x)^{k - \ell }}{( - 3{x^3})^\ell },\]

trong đó:

               \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le \ell \le k \le 10,}\\{(k - \ell ) + 3\ell = 4.}\end{array}} \right.\]

Từ đó:

                                          \[k + 2\ell = 4 \Rightarrow (k,\ell ) \in \{ (4,0),(2,1)\} .\]

Hệ số của \({x^4}\) là:

                                  \[C_{10}^4C_4^0 + C_{10}^2C_2^1 \cdot 3 = 210 + 270 = 480.\]

Phương pháp giải Sử dụng công thức diện tích

Giải chi tiết

                                    \[S = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} CA \cdot CB \cdot \sin \hat C.\]

Khi tăng độ dài mỗi cạnh CA và CB lên hai lần, ta có:

                  \[S' = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} (2CA) \cdot (2CB) \cdot \sin \hat C = 4\left( {\frac{1}{2}{\mkern 1mu} CA \cdot CB \cdot \sin \hat C} \right) = 4S.\]

Vậy diện tích tam giác mới là 4S. Chọn B.

Giải chi tiết:

Đặt:

                                                                      \[u = 2{x^3} + x - 1.\]

Ta có:

                                                             \[u' = 6{x^2} + 1 > 0,\;\forall x,\]

nên hàm số \(u\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Với \(x \in [0;1]\) ta có:

                                       \[{u_{\min }} = u(0) = - 1,\qquad {u_{\max }} = u(1) = 2.\]

Suy ra:

                                                                           \[u \in [ - 1;2].\]

Xét hàm:

                                                         \[g(x) = f(u) + m,\quad u \in [ - 1;2].\]

Do đó:

                                                 \[\min g(x) = {\min _{u \in [ - 1;2]}}f(u) + m.\]

Từ đồ thị hàm số \(f(x)\), ta thấy:

                                                              \[{\min _{[ - 1;2]}}f(u) = - 1.\]

Theo yêu cầu đề bài:

                                             \[\min g(x) = - 1 + m = - 20 \Rightarrow m = - 19.\]

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình lượng giác về các dạng cơ bản.

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                           \[2\sin x\sin 2x = \cos x - \cos 3x.\]

Phương trình trở thành:

                                                         \[\cos x - \cos 3x + \sqrt 3 \sin x = 3.\]

Chia hai vế cho \(2\):

     \[\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{3}{2}.\]

Nhận xét:

             \[\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right).\]

Suy ra:

                    \[\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{3}{2}.\]

Điều này xảy ra khi:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1,}\\{\cos 3x = - 1.}\end{array}} \right.\]

Từ đó:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi ,}\\{3x = \pi + 2k\pi .}\end{array}} \right. \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi .\)

Do đó:

                               \[x = \frac{{a\pi }}{b} + 2k\pi \quad {\rm{v?i}}\quad a = 1,\;b = 3.\]

Suy ra:

                                                                       \[a + b = 1 + 3 = 4.\]

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chia các trường hợp theo tính chẵn lẻ của các số được chọn.

Giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu:

                         \[n(\Omega ) = \left( \begin{array}{c}40\\3\end{array} \right) = 9880.\]

Gọi \(A\) là biến cố: ``chọn được \(3\) tấm thẻ có tổng là số chẵn''.

Tổng của \(3\) số là số chẵn khi xảy ra một trong hai trường hợp:

TH1 Chọn \(2\) số lẻ và \(1\) số chẵn:

                                      \[{n_1} = \left( \begin{array}{c}20\\2\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}20\\1\end{array} \right) = 3800.\]

TH2. Chọn \(3\) số chẵn:

                                  \[{n_2} = \left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right) = 1140.\]

Suy ra:

                                                \[n(A) = {n_1} + {n_2} = 3800 + 1140 = 4940.\]

Xác suất cần tìm là:

         \[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{4940}}{{9880}} = \frac{1}{2}.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

      \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\quad \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\quad \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}.\]

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}.\]

Suy ra:

\[\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = \sqrt {15} ,\qquad \cot x = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.\]

Thay vào biểu thức \(P\) và rút gọn, ta được:

                                                                \[P = - \sqrt {\frac{3}{5}} .\]

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton và xét tỉ số hai hệ số liên tiếp.

Giải chi tiết:

Theo khai triển nhị thức Newton:

                                            \[{(1 + 2x)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {\left( \begin{array}{c}12\\k\end{array} \right)} {2^k}{x^k}.\]

Suy ra:

                                   \[{a_k} = \left( \begin{array}{c}12\\k\end{array} \right){2^k}.\]

Xét:

  \[\frac{{{a_{k + 1}}}}{{{a_k}}} = \frac{{\left( \begin{array}{c}12\\k + 1\end{array} \right){2^{k + 1}}}}{{\left( \begin{array}{c}12\\k\end{array} \right){2^k}}} = \frac{{12 - k}}{{k + 1}} \cdot 2.\]

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_{k + 1}} \ge {a_k} \Leftrightarrow \frac{{12 - k}}{{k + 1}} \cdot 2 \ge 1,}\\{{a_{k + 1}} \le {a_k} \Leftrightarrow \frac{{12 - k}}{{k + 1}} \cdot 2 \le 1.}\end{array}} \right.\)

Giải bất đẳng thức:

                    \[\frac{{12 - k}}{{k + 1}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 24 - 2k \ge k + 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{23}}{3}.\]

Suy ra hệ số lớn nhất đạt tại \(k = 8\).

Vậy hệ số lớn nhất là:

                                   \[{a_8} = \left( \begin{array}{c}12\\8\end{array} \right){2^8}.\]

Chọn A.

Phương pháp giải Tính tổng của n số hạng cấp số cộng

Giải chi tiết

Gọi \({u_n}\) là giá của mét khoan thứ \(n\), trong đó \(1 \le n \le 20\).

Theo giả thiết, ta có:

           \[{u_1} = 100{\mkern 1mu} 000\quad {\rm{v\`a }}\quad {u_{n + 1}} - {u_n} = 30{\mkern 1mu} 000\quad (1 \le n \le 19).\]

Ta có \(({u_n})\) là cấp số cộng có số hạng đầu

                                                            \[{u_1} = 100{\mkern 1mu} 000\]

và công sai

                                                                \[d = 30{\mkern 1mu} 000.\]

Tổng số tiền gia đình phải thanh toán cho số khoan giếng chính là

tổng các số hạng của cấp số cộng \(d\).

Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho 20 mét khoan giếng là:

  \[{S_{20}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{20}} = \frac{{20{\mkern 1mu} [2{u_1} + (20 - 1)d]}}{2} = 7{\mkern 1mu} 700{\mkern 1mu} 000\;{\rm{(d\^o ng)}}\]

Phương pháp giải:

Chèn điểm vào vectơ và sử dụng tính chất tích vô hướng.

Giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) nên:

     \[AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0.\]

Ta có:

  \[T = (\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} ) \cdot (\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} ).\]

Biến đổi:

  \[T = [(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} ) + 2(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} )] \cdot (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} ) = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {DC} ) \cdot \overrightarrow {CB} .\]

Do:

  \[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} ,\quad \overrightarrow {MD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} ,\quad \overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\]

nên:

                   \[T = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ) = (2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\]

Suy ra:

\[T = A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - A{D^2} = A{B^2} - A{D^2}.\]

Vì:

                                                   \[AB = 6a,\quad AD = \frac{1}{2}AB = 3a,\]

nên:

                                        \[T = {(6a)^2} - {(3a)^2} = 36{a^2} - 9{a^2} = 27{a^2}.\]

Vậy \(T = 27{a^2}\). Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \ge a + b - 1\) với \(a,b \ge 1\) và mở rộng cho nhiều biến.

Giải chi tiết:

Với \(a,b \ge 1\) ta có:

                                             \[(a - 1)(b - 1) \ge 0 \Leftrightarrow ab \ge a + b - 1.\]

Mở rộng cho ba số \(a,b,c \ge 1\):

                                                        \[abc \ge (a + b - 1)c \ge a + b + c - 2.\]

Vì \(x,y,z \ge 0\) nên:

                                                              \[{2^x},\;{4^y},\;{8^z} \ge 1.\]

Áp dụng bất đẳng thức trên:

                   \[{2^x} \cdot {4^y} \cdot {8^z} \ge {2^x} + {4^y} + {8^z} - 2 = 4 - 2 = 2.\]

Suy ra:

                                      \[{2^{x + 2y + 3z}} \ge 2 \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge 1.\]

Do đó:

                                                 \[P = \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) thuộc khoảng: \[\left( {0;\frac{1}{3}} \right).\]

Giải chi tiết:

Từ giả thiết:

        \[\frac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt a = {\log _2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow \sqrt a = \frac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4.\]

Đặt:

                                                                     \[t = 4{a^3} + {b^3}.\]

Theo bất đẳng thức AM--GM:

                      \[4{a^3} + {b^3} = \frac{{{b^3}}}{2} + \frac{{{b^3}}}{2} + 4{a^3} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{b^3}}}{2} \cdot \frac{{{b^3}}}{2} \cdot 4{a^3}}} = 3a{b^2} = 12.\]

Suy ra:

                                                                               \[t \ge 12.\]

Khi đó:

                                                                 \[P = t - 4{\log _2}t = f(t).\]

Ta có:

                                          \[f'(t) = 1 - \frac{4}{{t\ln 2}} > 0,\quad \forall t \ge 12,\]

nên \(f(t)\) tăng trên \([12, + \infty )\).

Vì vậy:

                                                    \[{P_{\min }} = f(12) = 12 - 4{\log _2}12.\]

Ta viết:

\[12 - 4{\log _2}12 = 12 - 4({\log _2}3 + {\log _2}4) = 12 - 8 - 4{\log _2}3 = 4 - 4{\log _2}3.\]

Do đó:

                                                             \[x = 4,\quad y = 4,\quad z = 3.\]

Suy ra:

                                                                \[x + y + z = 4 + 4 + 3 = 11.\]

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) để đưa phương trình về dạng bậc hai theo \(t\), sau đó xét điều kiện tồn tại nghiệm.

Giải chi tiết:

Đặt:

                            \[t = \sin x + \cos x\quad \Rightarrow \quad - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .\]

Ta có:

                                                        \[\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}.\]

Phương trình đã cho trở thành:

       \[\frac{{{t^2} - 1}}{2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 1 = 0.{\rm{ }}*\]

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình \((*)\) phải có nghiệm \(t\) thuộc đoạn \([ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]\).

Xét các trường hợp

1. Phương trình \((*)\) có nghiệm kép:

\[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.\]

Với \(m = \pm 1\) thì nghiệm \(t = m\) thỏa mãn \(|t| \le \sqrt 2 \), nên phương trình có nghiệm.

2. Phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt:

                               \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow |m| > 1.\]

Khi đó cần:

   \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f( - \sqrt 2 ) \le 0,}\\{f(\sqrt 2 ) \le 0,}\end{array}} \right.\]

trong đó \(f(t) = {t^2} - 2mt + 1\).

Tính được:

                                   \[f( - \sqrt 2 ) = 3 + 2m\sqrt 2 ,\qquad f(\sqrt 2 ) = 3 - 2m\sqrt 2 .\]

Điều kiện tương đương:

                    \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + 2m\sqrt 2 \le 0,}\\{3 - 2m\sqrt 2 \le 0,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}.\]

Kết hợp với \(|m| > 1\) suy ra:

                         \[ - \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \le m \le - 1\quad {\rm{ho?c}}\quad 1 \le m \le \frac{3}{{2\sqrt 2 }}.\]

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là:

                                                                         \[m = - 1,\;0,\;1.\]

Tổng các giá trị nguyên đó là:

                                                                        \[ - 1 + 0 + 1 = 0.\]

Chọn A.

Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh VP ≤ ≤ VT.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

     \[4x + \frac{3}{x} = \frac{5}{3}x + \frac{5}{3}x + \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{5}{3}x \cdot \frac{5}{3}x \cdot \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}}} = \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}}.\]

Dấu “=” xảy ra khi:

         \[\frac{5}{3}x = \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \Leftrightarrow 5{x^2} = 2{x^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .\]

Suy ra:

                          \[4x + \frac{3}{x} \ge \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x > 0,\]

nên bất phương trình đã cho \textbf{không có nghiệm với \(x > 0\)}.

Xét \(x < 0\).

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

                       \[ - 4x - \frac{3}{x} \ge \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x < 0,\]

nên:

                          \[4x + \frac{3}{x} \le \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x < 0.\]

Bất phương trình đúng với mọi \(x < 0\) nhưng không có nghiệm nguyên dương.

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: \[0.\]

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm và điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là:

                                         \[\frac{{{x^3} + m}}{{x - 1}} = - x + 2\quad (x \ne 1).\]

Nhân chéo, ta được:

       \[{x^3} + m = - {x^2} + 3x - 2 \Leftrightarrow - {x^3} - {x^2} + 3x - 2 = m.{\rm{ }}*\]

Đặt:

                                                            \[f(x) = - {x^3} - {x^2} + 3x - 2.\]

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì phương trình \((*)\)

phải có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).

Xét đạo hàm:

                                                                 \[f'(x) = - 3{x^2} - 2x + 3.\]

Giải \(f'(x) = 0\):

\( - 3{x^2} - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{3},}\\{{x_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{3}.}\end{array}} \right.\)

Từ bảng biến thiên, phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

                                   \[m = f({x_1}),\quad m = f({x_2}),\quad {\rm{ho?c }}m = f(1).\]

Ta tính được:

          \[f({x_1}) = \frac{{ - 83 - 20\sqrt {10} }}{{27}},\qquad f({x_2}) = \frac{{ - 83 + 20\sqrt {10} }}{{27}},\qquad f(1) = - 1.\]

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là:

\[\sum m = \frac{{ - 83 - 20\sqrt {10} }}{{27}} + \frac{{ - 83 + 20\sqrt {10} }}{{27}} - 1 = \frac{{ - 166}}{{27}} - 1 = \frac{{ - 193}}{{27}} \approx - 7,15.\]

Vậy tổng các giá trị của \(m\) bằng \( - 7,15\).

Phương pháp giải

Tìm các bộ 3 số có tổng bằng 8 từ đó sắp xếp tìm tổng số cách chọn.

Đếm số bộ chữ số thỏa mãn điều kiện rồi áp dụng quy tắc nhân.

Giải chi tiết

Gọi số cần tìm là \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) với\[{a_3} + {a_4} + {a_5} = 8.\]

Ta có:

                                                                 \[8 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4.\]

Vậy có đúng \(2\) cách chọn bộ \(3\) chữ số khác nhau sao cho tổng bằng \(8\).

Bước 1.

Chọn \(3\) chữ số trong \(8\) chữ số thỏa mãn \({a_3} + {a_4} + {a_5} = 8\):

có \(2\) cách.

Bước 2.

Với mỗi bộ \(3\) chữ số đã chọn, số cách sắp xếp vào các vị trí

\({a_3},{a_4},{a_5}\) là:

                                                                   \[3! = 6{\rm{ c\'a ch}}.\]

Bước 3

Chọn và sắp xếp \(3\) chữ số còn lại vào các vị trí \({a_1},{a_2},{a_6}\):

                                                              \[A_6^3 = 120{\rm{ c\'a ch}}.\]

Theo quy tắc nhân, tổng số cách lập số thỏa mãn yêu cầu là:

                                                               \[2 \cdot 6 \cdot 120 = 1440.\]

Vậy có tất cả 1440 số thỏa mãn yêu cầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức xác suất có điều kiện:

                                                \[P(B\mid A) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}}.\]

Giải chi tiết:

Gọi: Gọi biến cố ? : "lấy viên bi thứ nhất là màu xanh"; ? : "lấy viên bi thứ hai là màu đỏ".    

Ta có

                                                                     \[P(A) = \frac{3}{5}.\]

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi xanh và lần thứ hai lấy được bi đỏ là:

                                  \[P(A \cap B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{{10}}.\]

Do đó:

                                                \[P(B\mid A) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{3}{{10}}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{2}.\]

Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{1}{2}\).

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, giải phương trình \(y' = 0\) và xét dấu của đạo hàm.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định:

\[8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 2;4].\]

Ta có: \[y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}.\]

Giải \(y' = 0\):

                                                            \[1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1.\]

Tính giá trị hàm số:

                                                               \[y(1) = \sqrt {8 + 2 - 1} = 3.\]

Vì đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 1\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm \(g'(x)\) và lập bảng biến thiên của \(g(x)\) dựa vào đồ thị \(y = f'(x)\).

Giải chi tiết:

Từ đồ thị \(y = f'(x)\) và giả thiết \(f( - 1) = \frac{{13}}{4}\), \(f(2) = 6\),

suy ra hàm số \(f(x)\)đồng biến trên đoạn \([ - 1;2]\).

Xét hàm số:

                                                                  \[g(x) = {f^3}(x) - 3f(x).\]

Ta có:

                                            \[g'(x) = 3{f^2}(x)f'(x) - 3f'(x) = 3f'(x)({f^2}(x) - 1).\]

Xét trên đoạn \([ - 1;2]\):

       \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) = 0,}\\{{\rm{ho?c }}f(x) = \pm 1.}\end{array}} \right.\]

Từ đồ thị, \(f'(x) = 0\) tại \(x = - 1\) và \(x = 2\).

Vì \(f(x)\) đồng biến trên \([ - 1;2]\) nên:

                                              \[f( - 1) = \frac{{13}}{4} > 1,\qquad f(2) = 6 > 1.\]

Suy ra phương trình \(f(x) = \pm 1\) không có nghiệm trên \([ - 1;2]\).

Do đó, giá trị lớn nhất của \(g(x)\) chỉ có thể đạt tại các đầu mút.

Tính giá trị tại các điểm biên:

                         \[g( - 1) = {\left( {\frac{{13}}{4}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{{13}}{4} = \frac{{2197}}{{64}} - \frac{{39}}{4} = \frac{{2197 - 624}}{{64}} = \frac{{1573}}{{64}}.\]

                                                    \[g(2) = {6^3} - 3 \cdot 6 = 216 - 18 = 198.\]

So sánh:

                                                              \[\frac{{1573}}{{64}} > 198.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \(g(x)\) trên \([ - 1;2]\) là \[\frac{{1573}}{{64}}.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức xác suất: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]vì hai biến cố xung khắc.

Giải chi tiết:

Gọi ? "Trong 5 phát biểu mời có đúng một phát biểu là của đại biểu nam".

Gọi ? "Trong 5 phát biểu mời có đúng hai phát biểu là của đại biểu nam".

Ta có:

                                \[P(A) = \frac{{\left( \begin{array}{c}10\\1\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}20\\4\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{c}30\\5\end{array} \right)}},\qquad P(B) = \frac{{\left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{c}30\\5\end{array} \right)}}.\]

Do \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc nên:

                \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{{\left( \begin{array}{c}10\\1\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}20\\4\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}10\\2\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}20\\3\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{c}30\\5\end{array} \right)}} = 0,7.\]

Vậy xác suất cần tìm là \(0,7\).

Phương pháp giải:

Đánh giá tập giá trị của \(\sin x\) trên \((0;\pi )\), từ đó suy ra tập giá trị của \(f(\sin x)\).

Giải chi tiết:

Với \(x \in (0;\pi )\) ta có:

                                                                         \[\sin x \in (0;1].\]

Đặt:

                                                                \[t = \sin x,\quad t \in (0;1].\]

Khi đó phương trình trở thành:

                                                                 \[f(t) = m,\quad t \in (0;1].\]

Dựa vào đồ thị hàm số \(f(x)\), ta suy ra:

                                                                         \[f(t) \in [ - 1;1].\]

Do \(m\) là số nguyên nên:

                                                                      \[m \in \{ - 1,0,1\} .\]

Tuy nhiên do \(t \in (0;1]\) nên giá trị \(m = - 1\) không đạt được.

Suy ra có đúng \(2\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Vậy số giá trị nguyên của \(m\) là \(2\).

Phương pháp giải 

I là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((Oxy)\), sau đó tính bán kính \(R = IA\).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \((Oxy)\).

Đặt:

         \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}} = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t,}\\{y = 1 + 2t,}\\{z = - 1 - t.}\end{array}} \right.\]

Vì \(I \in (Oxy)\) nên \(z = 0\), suy ra:

                                                            \[ - 1 - t = 0 \Rightarrow t = - 1.\]

Do đó:

                                                                           \[I( - 1; - 1;0).\]

Bán kính mặt cầu là:

    \[R = IA = \sqrt {{{( - 1 - 1)}^2} + {{( - 1 - 2)}^2} + {{(0 + 3)}^2}} = \sqrt {4 + 9 + 9} = \sqrt {22} .\]

Vậy phương trình mặt cầu là:

                                                     \[{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 22.\]

Suy ra:

                                                \[a = - 1,\quad b = - 1,\quad c = 0,\quad d = 22.\]

Do đó:

                                                        \[a + b + c + d = - 1 - 1 + 0 + 22 = 20.\]

Vậy \(a + b + c + d = 20\).

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.

Giải chi tiết:

Ta có:

       \[\overrightarrow {AB} = (2;1;1),\quad \overrightarrow {AC} = (1; - 1; - 2),\quad \overrightarrow {AD} = (3;0;d - 4).\]

Điều kiện để bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng là:

      \[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] \cdot \overrightarrow {AD} = 0.\]

Tính tích có hướng:

                                   \[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 1;5; - 3).\]

Suy ra:

    \[( - 1;5; - 3) \cdot (3;0;d - 4) = 0 \Leftrightarrow - 3 - 3(d - 4) = 0 \Leftrightarrow d = 3.\]

Vậy giá trị cần tìm là \(d = 3\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức xác suất toàn phần.

Giải chi tiết:

Gọi:

Gọi ? là biến cố: "Bông hoa bé Hường hái mang câu đố về toán học".

Gọi ? là biến cố: "Bông hoa bé Lan hái mang câu đố về toán học".                                 

Ta có:

                                           \[P(A) = \frac{6}{{10}} = 0,6,\qquad P(\bar A) = 0,4.\]

Xác suất có điều kiện:

        \[P(B\mid A) = \frac{5}{9},\qquad P(B\mid \bar A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\]

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

        \[P(B) = P(A)P(B\mid A) + P(\bar A)P(B\mid \bar A) = 0,6 \cdot \frac{5}{9} + 0,4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{5}.\]

Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{3}{5}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: hàm \(g(|x|)\) có \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương.

Giải chi tiết:

Xét hàm:

      \[g(x) = f({x^2} - 2x + m)\quad \Rightarrow \quad y = f({x^2} - 2|x| + m) = g(|x|).\]

Hàm \(g(|x|)\) có đúng \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương.

Từ đồ thị \(y = f'(x)\) suy ra:

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ - 2, - 1,1,2\} ,\]trong đó \(x = 2\) là nghiệm bội chẵn.

Ta có:

                                              \[g'(x) = 2(x - 1){\mkern 1mu} f'({x^2} - 2x + m).\]

Suy ra:

     \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{f'({x^2} - 2x + m) = 0.}\end{array}} \right.\]

Tức là:

                                                          \[{x^2} - 2x + m \in \{ - 2, - 1,1\} \]

(loại giá trị \(2\) do là nghiệm bội chẵn).

Do đó ta xét các phương trình:

            \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2x + m = - 2,}\\{{x^2} - 2x + m = - 1,}\\{{x^2} - 2x + m = 1.}\end{array}} \right.\]

Hay tương đương:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m = {x^2} - 2x + 2,}\\{ - m = {x^2} - 2x + 1,}\\{ - m = {x^2} - 2x - 1.}\end{array}} \right.{\rm{ }}*\]

Hàm \(g(x)\) có đúng \(4\) điểm cực trị dương khi và chỉ khi hệ \((*)\) có đúng \(3\) nghiệm (kể cả nghiệm bội)

dương khác \(1\).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng \(y = - m\) cắt ba parabol

\[({P_1}):y = {x^2} - 2x + 2,\quad ({P_2}):y = {x^2} - 2x + 1,\quad ({P_3}):y = {x^2} - 2x - 1\]trong đúng \(3\) điểm có hoành độ dương.

Từ hình vẽ, suy ra các giá trị nguyên của \(m \in [ - 10;10]\) thỏa mãn là:

                                             \[m \in \{ - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1,0,1\} .\]

Tổng các giá trị đó là:

                                                \[ - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 = - 54.\]

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) là \( - 54\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

                                                         \[P(\bar A\mid B) = 1 - P(A\mid B).\]

Giải chi tiết:

Nếu một người thực sự bị nhiễm bệnh thì việc nhận kết quả xét nghiệm sai nghĩa là nhận kết quả \emph{âm tính}.

Theo đề bài:

                                                                     \[P(A\mid B) = 0,94.\]

Do đó:

                                                          \[P(\bar A\mid B) = 1 - 0,94 = 0,06.\]

Đáp án đúng: B. \(0,06\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

                                \[P(\bar A \cap \bar B) = P(\bar B){\mkern 1mu} P(A\mid \bar B),\]

trong đó:

   \(A\): nhận kết quả xét nghiệm dương tính,

   \(B\): thực sự bị nhiễm bệnh.

Giải chi tiết:

Người nhận kết quả dương tính giả là người không bị nhiễm bệnh nhưng vẫn có kết quả \textbf{dương tính}.

Theo dữ kiện:

                                                   \[P(B) = 0,03 \Rightarrow P(\bar B) = 0,97,\]

                                                                  \[P(A\mid \bar B) = 0,09.\]

Suy ra:

            \[P(A \cap \bar B) = P(\bar B){\mkern 1mu} P(A\mid \bar B) = 0,97 \cdot 0,09 = 0,0873.\]

Với \(100{\mkern 1mu} 000\) người:

                                                 \[100{\mkern 1mu} 000 \times 0,0873 = 8730.\]

Đáp án đúng: D. 8730.

Giải chi tiết: Đáp án đúng là Chơi vơi vì Chơi vơi là từ chỉ trạng thái tinh thần, mang nghĩa cô đơn, lạc lõng, không có điểm tựa, hoặc trạng thái lơ lửng, không xác định. Mặc dù có thể liên quan đến sự không ổn định, nhưng nó nhấn mạnh vào cảm giác cô độc và mất phương hướng hơn là sự nguy hiểm vật lý. >< Ba từ còn lại chỉ trạng thái của sự vật. Các từ "chênh vênh", "vắt vẻo", và "cheo leo" đều diễn tả trạng thái không vững chắc, có nguy cơ rơi, đổ. Chúng có chung một nét nghĩa về sự không ổn định, nguy hiểm.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: Các từ "sâu hoắm", "hoăm hoắm", và "thăm thẳm" đều diễn tả độ sâu, sự sâu thẳm, thường mang tính chất không thấy đáy, tối tăm. Chúng có chung một nét nghĩa về độ sâu, sự sâu thẳm. >< Từ "vời vợi" lại diễn tả độ cao, sự cao xa, thường mang tính chất không thể với tới. Nó nhấn mạnh vào độ cao, sự xa xôi, khác biệt hoàn toàn so với nhóm các từ còn lại.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết:Bền vững là từ ghép tổng hợp.>< Các từ còn lại là từ ghép phân loại.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết: Các từ "réo rắt", "lảnh lót" và "véo von" đều dùng để miêu tả âm thanh, thường là âm thanh trong trẻo, cao vút, dễ chịu. Chúng có chung một nét nghĩa về âm thanh. >< Từ rừng rực không chỉ âm thanh. Từ "rừng rực" lại dùng để miêu tả ánh sáng hoặc màu sắc, thường là ánh sáng mạnh mẽ, rực rỡ. Nó nhấn mạnh vào ánh sáng hoặc màu sắc, khác biệt hoàn toàn so với nhóm các từ còn lại.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: Tài năng, Tài giỏi, Tài ba đơn thuần chỉ về tài giỏi, đều chỉ năng lực, khả năng xuất sắc của một người trong một lĩnh vực nào đó. Chúng có chung một nét nghĩa về năng lực, khả năng. >< Tài danh có nghĩa tài đi liền với danh. Nó nhấn mạnh vào sự nổi tiếng, danh tiếng, khác biệt hoàn toàn so với nhóm các từ còn lại.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: tận dụng/ thách thức là đáp án tối ưu nhất.

"Tận dụng" có nghĩa là sử dụng một cách hiệu quả, khai thác tối đa lợi ích từ một cái gì đó. Trong bối cảnh này, nhân dân ta cần tận dụng những cơ hội do hội nhập mang lại.

"Thách thức" là những khó khăn, trở ngại cần phải vượt qua.  Trong bối cảnh hội nhập, sẽ có những thách thức mà nhân dân ta cần phải ứng phó.

Đáp án A: "Thừa hưởng" có nghĩa là nhận lại từ người khác, thường là từ thế hệ trước. Trong bối cảnh này, "thừa hưởng" không phù hợp vì cơ hội là do tiến trình hội nhập mang lại, không phải do ai đó để lại.

Đáp án B: "Kế thừa" cũng có nghĩa là nhận lại từ người khác, tương tự như "thừa hưởng". Trong bối cảnh này, "kế thừa" không phù hợp.

Đáp án D: "khó khăn" có thể dùng được, tuy nhiên "thách thức" bao hàm đầy đủ ý nghĩa hơn trong bối cảnh này.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết: hóa thân/ cảm quan nghệ thuật là đáp án đúng.

"Hóa thân" có nghĩa là biến thành, nhập vai vào một nhân vật khác. Trong tác phẩm kí văn học, tác giả thường hóa thân thành một nhân vật để kể chuyện, thể hiện quan điểm.

"Cảm quan nghệ thuật" là khả năng cảm nhận, đánh giá cái đẹp, cái hay trong nghệ thuật. Trong tác phẩm kí văn học, tác giả sử dụng cảm quan nghệ thuật để quan sát, liên tưởng, tưởng tượng và bộc lộ cảm xúc.

Cặp từ này phù hợp nhất với ngữ cảnh của câu, diễn tả đúng ý nghĩa cần truyền tải về đặc điểm của kí văn học.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: truyền miệng/ sáng tác là đáp án đúng."Truyền miệng" là đặc trưng cơ bản của văn học dân gian, tức là được lưu giữ và phổ biến thông qua lời nói, không có văn bản viết."Sáng tác" là quá trình tạo ra tác phẩm nghệ thuật. Văn học dân gian là sản phẩm của quá trình sáng tác tập thể của nhân dân lao động.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết: tâm lí/ ăn sâu là đáp án đúng."Tâm lí" là trạng thái tinh thần, cảm xúc của con người. "Ghen ăn tức ở" là một trạng thái tâm lí tiêu cực."Ăn sâu" có nghĩa là thấm nhuần, bám rễ, khó thay đổi. Trong bối cảnh này, "ăn sâu" diễn tả sự tồn tại dai dẳng của thói ghen ăn tức ở trong tiềm thức người dân.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: trở xuống/ dưới cùng là đáp án đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: Khi dùng từ đối với sẽ bị sai ngữ pháp của câu (bị thừa)."Đối với" thường dùng để giới thiệu đối tượng được nhắc đến trong câu. Trong câu này, "đối với các du khách trong và ngoài nước" không phù hợp vì nó tạo ra sự lủng củng, không rõ ràng về mặt ngữ pháp.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết: Cụm từ dùng sai là được mở ra, đặt vào khiến câu trở nên tối nghĩa, khó hiểu.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: Từ dùng sai là của vì tạo nên liên kết logic của đoạn văn không phù hợp, từ đúng phải là “do”. Lý do: "Do" hoặc "vì" thể hiện rõ nguyên nhân gây ra nỗi kinh hoàng là ma túy.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết:Từ dùng sai là “thăm quan” do sai về ngữ nghĩa, phải thay bằng từ “tham quan”. “thăm” có nghĩa là thăm nom, là từ tố thuần Việt, sẽ không được kết hợp với từ tố Hán Việt để tạo thành một từ ghép. Trong từ “tham quan”, “tham” có nghĩa là can dự, tham gia vào, dự vào, … còn “quan” có nghĩa là nhìn, xem (quan sát).

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: Từ dùng sai là “loang rộng” vì dùng không chính xác, không hiểu chính xác nghĩa của từ. Phải thay bằng từ “lan rộng”. Loang thường dùng cho chất lỏng, không dùng cho đám cháy.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết: Văn bản trên thuộc phong cách ngôn ngữ khoa học.

Đoạn trích sử dụng ngôn ngữ chuyên ngành, thuật ngữ khoa học như "sự ngưng tụ hơi nước", "chu trình tuần hoàn nước", "phân tử nước", "khí quyển", "bức xạ mặt trời", "áp lực không khí"... Nội dung đoạn trích trình bày các hiện tượng tự nhiên một cách khách quan, chính xác, mang tính chất giải thích, cung cấp kiến thức khoa học.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết: “Lớp khí quyển phía bên trên mặt đất lạnh đi và tác động đến bức xạ mặt trời” đây không là điều kiện để hình thành nên đám mây được đề cập ở đoạn văn bản này. Trong đoạn trích, tác giả có đề cập đến việc "lớp khí quyển phía bên trên mặt đất lạnh đi" là do "áp lực không khí", chứ không phải do "tác động đến bức xạ mặt trời".

Các đáp án còn lại đều được đề cập rõ ràng trong đoạn trích là những điều kiện hình thành đám mây.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết: Đọc kĩ đoạn văn sẽ thấy nội dung nói về sự ngưng tụ hơi nước trong không khí.

Toàn bộ đoạn trích tập trung vào việc giải thích quá trình ngưng tụ hơi nước, từ định nghĩa, vai trò, nguyên nhân, đến các hiện tượng liên quan. Các đáp án A, B, C chỉ đề cập đến những khía cạnh nhỏ lẻ trong quá trình ngưng tụ hơi nước.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết: Các đáp án A, B, D đều là những hiện tượng ngưng tụ hơi nước được đề cập trong đoạn trích:

- Sương

- Mắt kính mờ đi khi đi ra từ phòng lạnh trong ngày nóng nực, ẩm ướt

- Nước bám trên khung cửa kính trong nhà vào ngày lạnh

Sự ngưng tụ hơi nước không dẫn đến hiện tượng “Nước bốc hơi trên cốc nước nóng”. "Bốc hơi" là quá trình nước chuyển từ thể lỏng sang thể khí, trái ngược với "ngưng tụ" (chuyển từ thể khí sang thể lỏng).

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết: Dựa vào câu đầu tiên trong đoạn trích: “Sự ngưng tụ hơi nước là quá trình hơi nước trong không khí được chuyển sang thể nước lỏng.”. Các đáp án B, C, D đều là những hiện tượng liên quan đến nước, nhưng không phải là tên gọi của quá trình chuyển đổi trạng thái này.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết: Dòng nào dưới đây nêu đúng quan niệm của tác giả trong đoạn văn bản trên là: “Hưởng thụ cuộc sống là tận hưởng mọi thứ tốt đẹp mà cuộc đời và vũ trụ mang đến cho bạn.”

Đoạn trích nhấn mạnh rằng hưởng thụ cuộc sống không chỉ là sở hữu vật chất, mà còn là tận hưởng những giá trị tinh thần, những điều tốt đẹp từ thiên nhiên, cuộc sống. Tác giả đưa ra quan niệm: "Hưởng thụ cuộc sống tức là tận hưởng mọi thứ tốt đẹp mà cuộc đời và vũ trụ mang đến cho bạn. Vật chất, tinh thần, thể xác. Cổ điển hay hiện đại. Nắng và gió, ngày và đêm. Mặt trời, mặt trăng, cây cối, núi sông và cỏ dại. Tình bạn, tình yêu. Mọi thứ, nếu bạn có thể nhận ra. "

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết: Đáp án D là điều mà tác giả đang phản bác lại trong đoạn trích trên. Ngay từ đầu đoạn trích, tác giả đã khẳng định: "Có người nghĩ rằng hưởng thụ cuộc sống đồng nghĩa với vật chất. Nhưng không".

Các ý A, B, C là các quan niệm của tác giả được đề cập đến trong văn bản.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết: Cách thuyết phục của tác giả trong đoạn trích là: Bác bỏ ý kiến khác về “hưởng thụ”

Xuyên suốt đoạn trích, tác giả liên tục đưa ra các ý kiến phổ biến về "hưởng thụ" (ví dụ: hưởng thụ đồng nghĩa với vật chất, hưởng thụ là sở hữu, hưởng thụ là thỏa mãn nhục dục), sau đó bác bỏ chúng bằng những lập luận và dẫn chứng cụ thể.

Tác giả sử dụng cấu trúc lập luận "Ý kiến của người khác... Nhưng không... Ý kiến của tôi là..." để làm nổi bật quan điểm của mình.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết: Giọng điệu tranh luận ở đây không đến mức gay gắt mạnh mẽ, không mang sắc độ mỉa mai mà nhẹ nhàng mang tính chất chiêm nghiệm.

Tác giả trình bày quan điểm của mình một cách từ tốn, không gay gắt hay chỉ trích. Lời văn mang tính chất suy tư, chiêm nghiệm về ý nghĩa của cuộc sống và hạnh phúc.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết: Quan niệm “sống thật sâu” của người viết gần gũi nhất với quan niệm sống của nhà thơ Xuân Diệu. Câu thơ của Xuân Diệu thể hiện sự khát khao sống mãnh liệt, hòa mình vào cuộc đời bằng tất cả giác quan và tâm hồn, tương đồng với quan niệm "sống thật sâu" của tác giả.

Đây là một quan niệm rất hay, rất tiến bộ.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết: Đây là 2 câu cuối cùng trong bài Tương tư của Nguyễn Bính. Tác giả sử dụng biện pháp Ẩn dụ và hoán dụ. Hoán dụ nằm ở Thôn Đoài – Thôn Đông (hoán dụ lấy tổng thể chỉ bộ phận), thông Đoài chỉ chàng trai thôn Đoài, Thôn Đông chỉ cô gái thôn Đông. Ẩn dụ nằm ở “Cau- giầu” ẩn dụ cho đôi lứa, ẩn dụ cho mong muốn được kết đôi.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết: Đáp án chính xác nhất theo quan điểm của tác giả là Người có nhận thức phát triển tin rằng họ có thể cải thiện năng lực bằng sự nỗ lực. Đoạn trích nêu rõ: "Những người có nhận thức phát triển lại tin rằng họ có thể cải thiện bằng sự nỗ lực".

Đáp án cần chọn là: A