Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 8)

Phương pháp giải

Xác định dấu dựa trên các đặc điểm của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Từ đồ thị ta có các nhận xét sau:

Đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới nên \(a < 0\).

  Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\).

  Hoành độ đỉnh của đồ thị là

                                       \[{x_{{\rm{dinh}}}} = \frac{{ - b}}{{2a}}.\]

Quan sát hình vẽ, đỉnh nằm bên phải trục tung nên \({x_{dinh}} > 0\).

Vì \(a < 0\) nên suy ra \( - b < 0 \Leftrightarrow b > 0.\).

Vậy \(a < 0,\;b > 0,\;c < 0\).

Đáp án: B

Giải chi tiết:

Tâm đường tròn \((C)\) là \(I(3;4)\), bán kính \(R = 5\).

Vì \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) nên:

                                                              \[d(I,d) = R\]

           \[\frac{{|4 \cdot 3 + a \cdot 4 + b|}}{{\sqrt {{4^2} + {a^2}} }} = 5.\]

Do \(M \in d \Rightarrow 4.( - 4) + a.3 + b = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{a}} + b = 16.\)

Thay \(b = - 3a + 16\) vào:

                            \[\frac{{|12 + 4a - 3a + 16|}}{{\sqrt {16 + {a^2}} }} = 5\]

                                    \[\frac{{|28 + a|}}{{\sqrt {16 + {a^2}} }} = 5.\]

Bình phương hai vế:

                                               \[{(28 + a)^2} = 25(16 + {a^2})\]

                                          \[{a^2} + 56a + 784 = 400 + 25{a^2}\]

                                                    \[24{a^2} - 56a - 384 = 0\]

  \[3{a^2} - 7a - 48 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{a = \frac{{16}}{3}}\end{array}} \right.\]

Do \(a < 0\) nên chọn \(a = - 3\).

Khi đó:

                                                    \[b = - 3( - 3) + 16 = 25.\]

Vậy:

                                              \[T = ab = ( - 3) \cdot 25 = - 75.\]

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tính theo định nghĩa xác suất cổ điển.

Giải chi tiết

\[1 \le a,b,c \le 6.\]

Không gian mẫu có số phần tử:

                                                 \[n(\Omega ) = {6^3} = 216.\]

Xét các bộ \((a,b,c)\) sao cho:

                                                               \[abc = 36.\]

Liệt kê các trường hợp thỏa mãn:

 \(a = 1 \Rightarrow bc = 36 \Rightarrow (b,c) = (6,6)\).

 \(a = 2 \Rightarrow bc = 18 \Rightarrow (b,c) = (3,6),(6,3)\).

 \(a = 3 \Rightarrow bc = 12 \Rightarrow (b,c) = (2,6),(3,4),(4,3),(6,2)\).

 \(a = 4 \Rightarrow bc = 9 \Rightarrow (b,c) = (3,3)\).

 \(a = 6 \Rightarrow bc = 6 \Rightarrow (b,c) = (1,6),(2,3),(3,2),(6,1)\).

Tổng cộng có 12 trường hợp thuận lợi.

Vậy xác suất cần tìm là:

                       \[P = \frac{{12}}{{216}} = \frac{1}{{18}} \approx 5,6\% .\]

Phương pháp giải:Sử dụng các tính chất vectơ trong hình bình hành.

Giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành có tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của đường chéo AC, do đó:

                              \[\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} .\]

Suy ra:

      \[\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {DC} .\]

Vậy đẳng thức đúng là:

      \[\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {DC} .\]

Phương pháp giải: Kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn tất cả các bất phương trình xác định miền \((D)\) hay không.

Giải chi tiết:

Một điểm nằm trong miền đa giác \((D)\) phải thỏa mãn đồng thời bốn bất phương trình đã cho.

Xét điểm \(C(4;2)\), ta có:

                                      \[2x + 3y = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 14 > 10.\]

Do đó \(C(4;2)\) không thỏa mãn bất phương trình \(2x + 3y \le 10\).

Vì vậy, điểm \(C(4;2)\)không nằm trong miền đa giác \((D)\).

Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện để phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x = c\]có nghiệm.

Giải chi tiết:

Bước 1. Điều kiện xác định

Phương trình có nghĩa khi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1,}\\{m > 0,}\\{{{\log }_3}\frac{m}{{81}} \ge 0.}\end{array}} \right.\]

Từ đó suy ra: \[\frac{m}{{81}} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 81.\]

Bước 2. Điều kiện có nghiệm

Phương trình

     \[\frac{{\sqrt 5 }}{{2{{\log }_m}3}}\cos 3x + {\log _m}m\sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\frac{m}{{27}}} \]

có nghiệm khi và chỉ khi:

              \[\frac{5}{4}{\left( {\frac{1}{{{{\log }_m}3}}} \right)^2} + {({\log _m}m)^2} \ge {\log _3}\frac{m}{{27}}.\]

Ta có:

                \[{\log _m}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}m}},\quad {\log _m}m = 1.\]

Suy ra:

                               \[\frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} + 1 \ge {\log _3}m - 3\]

     \[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} - {\log _3}m + 4 \ge 0\]

               \[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{19}}{5} \ge 0.\]

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi \(m\) thỏa điều kiện xác định.

Bước 3. Đếm nghiệm

Kết hợp với điều kiện \(m \ge 81\) và \(m < 100\), ta có:

                                                 \[m \in \{ 81,82, \ldots ,99\} .\]

Số giá trị nguyên dương của \(m\) là:

                                                         \[99 - 81 + 1 = 19.\]

Vậy có 19 số nguyên dương \(m\) thỏa mãn bài toán.

Phương pháp giải:

Từ công thức truy hồi, biến đổi để tìm công thức tổng quát của dãy số.

Giải chi tiết:

Ta biến đổi công thức truy hồi:

                                        \[{u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\]

\[ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3{u_n} - 9n + 3 \cdot {2^n}\]

   \[ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3({u_n} - 3n + {2^n}).\]

Đặt

                    \[{v_n} = {u_n} - 3n + {2^n}\quad (n \in {\mathbb{N}^*}),\]

khi đó ta có:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = {u_1} - 3 + 2 = 4 - 3 + 2 = 3,}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}.}\end{array}} \right.\]

Suy ra:

                                  \[{v_n} = {3^n}\quad (n \in {\mathbb{N}^*}).\]

Do đó:

                                                \[{u_n} = {3^n} - {2^n} + 3n.\]

Xét \({u_{2024}}\):

                           \[{u_{2024}} = {3^{2024}} - {2^{2024}} + 3 \cdot 2024.\]

Xét chữ số tận cùng:

     \[{3^{2024}} \equiv 1\quad ,\quad {2^{2024}} \equiv 6\quad ,\quad 3 \cdot 2024 = 6072 \equiv 2\quad .\]

Suy ra:

                                    \[{u_{2024}} \equiv 1 - 6 + 2 \equiv 7\quad .\]

Vậy chữ số cuối cùng của \({u_{2024}}\) là \(7\).

Giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

                                     \[{u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 2025 - 5(n - 1).\]

Gọi \({u_k}\) là số hạng đầu tiên nhận giá trị âm, ta có

       \[{u_k} < 0 \Leftrightarrow 2025 - 5(k - 1) < 0 \Leftrightarrow 5k > 2030 \Leftrightarrow k > 406.\]

Vì \(k \in \mathbb{N}\) nên \(k = 407\).

Vậy bắt đầu từ số hạng \({u_{407}}\) thì cấp số cộng nhận giá trị âm.

Giải chi tiết:

Dãy số \(({u_n})\) có giới hạn hữu hạn bằng \(a\) khi \(n \to + \infty \) nếu

                         \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} - a) = 0.\]

Theo định nghĩa giới hạn,

  \[\forall \varepsilon > 0,\;\exists N \in \mathbb{N}{\rm{ sao cho }}n \ge N \Rightarrow |{u_n} - a| < \varepsilon .\]

Do đó khẳng định đúng là: \(|{u_n} - a|\) có thể bé hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Giải chi tiết:

Điều kiện để \(f(x)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to + \infty \) là hệ số của \(x\) triệt tiêu:

                                                  \[\sqrt a + \sqrt b - 5 = 0.\]

Kết hợp với điều kiện

           \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 13,}\\{\sqrt a + \sqrt b = 5,}\end{array}} \right.\]

suy ra hai nghiệm:

                             \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a,b) = (4,9)}\\{(a,b) = (9,4)}\end{array}} \right.\]

Trường hợp 1: \(a = 4,\;b = 9\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3} + \sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3} - 2x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 3x} \right).\]

Ta có:

             \[\sqrt {4{x^2} - 3} - 2x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {4{x^2} - 3} + 2x}} \Leftrightarrow 0,\]

\[\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} - 3x = \frac{{12x + 3}}{{\sqrt {9{x^2} + 12x + 3} + 3x}} \Leftrightarrow \frac{{12}}{{3 + 3}} = 2.\]

Suy ra

                                \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2.\]

Trường hợp 2: \(a = 9,\;b = 4\).

Làm tương tự, ta cũng được:

                                \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) là \[2.\]

Giải chi tiết:

Đối với hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\), diện tích tam giác S tạo bởi tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào và hai đường tiệm cận được tính bằng công thức:

                                   \[S = 2.\frac{{\left| {ad - bc} \right|}}{{{c^2}}}\]

Áp dụng vào bài toán của bạn với \(a = 1,d = - 3,b = 1,c = 1:\)

·                  \(\left| {ad - bc} \right| = \left| {1.( - 3) - 1.( - 1)} \right| = \left| { - 4} \right| = 4\)

·                  \({c^2} = 1\)

Vậy diện tích tam giác là: \(S = 2.\frac{4}{1} = 8.\)

Giải chi tiết:

Ta có công thức truy hồi:

      \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_0} = 0,}\\{{u_{n + 1}} = ({u_n} + M)(1 + r),\quad \forall n \in \mathbb{N}.}\end{array}} \right.\]

Biến đổi:

\[{u_{n + 1}} + \frac{{M(1 + r)}}{r} = (1 + r)\left( {{u_n} + \frac{{M(1 + r)}}{r}} \right).\]

Đặt

                                        \[{v_n} = {u_n} + \frac{{M(1 + r)}}{r},\]

khi đó

   \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_0} = \frac{{M(1 + r)}}{r},}\\{{v_{n + 1}} = (1 + r){v_n}.}\end{array}} \right.\]

Suy ra

                                     \[{v_n} = \frac{{M{{(1 + r)}^{n + 1}}}}{r}.\]

Do đó

                             \[{u_n} = \frac{{M({{(1 + r)}^{n + 1}} - (1 + r))}}{r}.\]

Với \(r = 0,8\% = 0,008\), \(M = 2{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000\) (đồng), \(n = 48\) (tháng), ta tính được

     \[{u_{48}} \approx 117{\mkern 1mu} 408{\mkern 1mu} 000{\rm{ (d?ng)}}.\]

Làm tròn theo đơn vị triệu đồng, ta được kết quả là 117 (triệu đồng).

Phương pháp giải:

Nắm chắc lý thuyết về mối quan hệ vuông góc, song song trong không gian.

Giải chi tiết:

Khẳng định D sai.

Thật vậy, xét hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có:

                            \[AB'\parallel (ABCD),\qquad A'D'\parallel (ABCD),\]

Do đó, hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng không nhất thiết song song với nhau.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính trung bình.

Giải chi tiết:

Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp là:

 \[\bar x = 0,15 \cdot \frac{{145 + 155}}{2} + 0,3 \cdot \frac{{155 + 165}}{2} + 0,4 \cdot \frac{{165 + 175}}{2} + 0,15 \cdot \frac{{175 + 185}}{2} = 165,5{\rm{ (cm)}}\]

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính trung vị.

Giải chi tiết:

Cỡ mẫu là \(n = 40\). Gọi \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{40}}\) là các giá trị của chiều cao các học sinh

được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, hai giá trị \({x_{20}},{x_{21}}\) nằm trong nhóm

\([165;175)\) nên nhóm này chứa trung vị.

Khi đó:

       \[p = 3,\quad {a_3} = 165,\quad {a_4} = 175,\quad {m_1} + {m_2} = 40(15\% + 30\% ) = 18\]

Trung vị chiều cao các học sinh trong lớp là:

                                   \[{M_e} = {a_3} + \frac{{\frac{n}{2} - ({m_1} + {m_2})}}{{{m_3}}}({a_4} - {a_3}) = 165 + \frac{{20 - 18}}{{16}}(175 - 165) = 168,25\;{\rm{(cm)}}\]

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính trung bình mẫu, trung vị, phương sai cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải chi tiết:

Phương sai chiều cao các học sinh trong lớp là:

             \[{\delta ^2} = 0,15 \cdot {150^2} + 0,3 \cdot {160^2} + 0,4 \cdot {170^2} + 0,15 \cdot {180^2} - 165,{5^2} = 84,75\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất đối với các biến cố độc lập.

Giải chi tiết:

Gọi \({A_i}\) là biến cố Sinh viên trúng tuyển vào công ty thứ \(i\)

\[i \in \{ 1,2,3\} \]

Có:

\[P({A_1}) = 0,6,\quad P({A_2}) = 0,7,\quad P({A_3}) = 0,5\]

Gọi \(B\) là biến cố Sinh viên trúng tuyển đúng một công ty.

Do \({A_1},{A_2},{A_3}\) độc lập từng đôi nên:

             \[B = {A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \; \cup \;\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} \; \cup \;\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}\]

                  \[P(B) = P({A_1})P(\overline {{A_2}} )P(\overline {{A_3}} ) + P(\overline {{A_1}} )P({A_2})P(\overline {{A_3}} ) + P(\overline {{A_1}} )P(\overline {{A_2}} )P({A_3}) = 0,6(1 - 0,7)(1 - 0,5) + (1 - 0,6)0,7(1 - 0,5) + (1 - 0,6)(1 - 0,7)0,5 = 0,29\]

Vậy xác suất cần tìm là \(29\% \).

Phương pháp giải:

Chỉ ra \(P(AB) = P(A)P(B)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                   \[P(A) = \frac{y}{{x + y}}\]

                            \[P(AB) = \frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{z(t + 1)}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}}\]

(do AB chính là việc lấy được một bóng xanh từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai,

sau đó lấy được hai bóng khác màu từ hộp thứ hai).

Mặt khác:

            \[P(B) = P(AB) + P(\bar AB) = \frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{z(t + 1)}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}} + \frac{x}{{x + y}} \cdot \frac{{(z + 1)t}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}}\]

Cho \(P(AB) = P(A)P(B)\), ta được:

    \[\frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{z(t + 1)}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}} = \frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{yz(t + 1) + xt(z + 1)}}{{(x + y)\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}}\]

Suy ra:

                                          \[(x + y)z(t + 1) = yz(t + 1) + xt(z + 1)\]

Thay các phương án vào, chỉ có

                                  \[x = 2,\;y = 5,\;z = 3,\;t = 3\] thỏa mãn điều kiện.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức xác suất có điều kiện và xác suất toàn phần.

Giải chi tiết:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức xác suất có điều kiện, ta có:

                                   \[P(AB) = P(A) - P(A\bar B) = 0,7 - 0,3 = 0,4\]

                                    \[P(\bar AB) = P(B) - P(AB) = 0,6 - 0,4 = 0,2\]

Do đó:

\[P(B\mid \bar A) = \frac{{P(\bar AB)}}{{P(\bar A)}} = \frac{{0,2}}{{1 - 0,7}} = \frac{2}{3}\]

Số lần thay đổi trạng thái của đèn mang số \(n\) chính là số ước nguyên dương của \(n\).

Do đó, các đèn có số thứ tự là số chính phương sẽ còn bật, các đèn còn lại sẽ tắt.

Vì \(2025 = {45^2}\) nên có $45$ số chính phương từ \(1\) đến $2025$.

Suy ra số đèn tắt là:

                                                      \[k = 2025 - 45 = 1980\]

Ta có: 1980 chia hết cho 9, 10, 11 nhưng không chia hết cho 8.

Vậy khẳng định không đúng là A.

Phương pháp giải: Tìm số cách đi đến từng ô vuông một.

Giải chi tiết Số cách đi tới một ô vuông sẽ bằng tổng số cách đi tới ô vuông ngay trên nó và số cách đi tới ô vuông bên trái nó.

Nếu ô vuông đó không thể đi vào, số cách đi vào ô vuông đó sẽ bằng 0.

Qua đó, ta có bảng số cách đi đến từng ô vuông như sau:

\[\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&0\\1&0&3&7&7\\1&1&0&7&{14}\end{array}\]

Vậy có tất cả 14 cách cho con kiến đi từ ô vuông \(A\) đến ô vuông B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số sau đó xét tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

Hàm số xác định trên:

                                      \[( - \infty ;1) \cup (1;3) \cup (3; + \infty ).\]

Ta có:

                      \[f'(x) = \frac{{(2x - 3)({x^2} - 4x + 3) - (2x - 4)({x^2} - 3x - 4)}}{{{{({x^2} - 4x + 3)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 14x - 25}}{{{{({x^2} - 4x + 3)}^2}}}.\]

Cho \(f'(x) = 0\):

              \[ - {x^2} + 14x - 25 = 0\; \Leftrightarrow \;x = 7 \pm 2\sqrt 6 .\]

Suy ra:

         \[f'(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (7 - 2\sqrt 6 ;{\mkern 1mu} 3) \cup (3;{\mkern 1mu} 7 + 2\sqrt 6 ).\]

Kiểm tra các khoảng đã cho, chỉ có \((3;4)\) là khoảng con của \((7 - 2\sqrt 6 ;{\mkern 1mu} 3) \cup (3;{\mkern 1mu} 7 + 2\sqrt 6 )\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((3;4)\).

Phương pháp giải

Tính xác suất bằng công thức nhân và công thức cộng xác suất của các biến cố.

Giải chi tiết

Gọi ? , ? , ? tương ứng là các biến cố: "Vận động viên bắn trúng vòng 10 ", "Vận động viên bắn trúng vòng 9 ", "Vận động viên bắn trúng vòng 8 ".

Gọi ? là biến cố: "Vận động viên đạt được huy chương đồng"; U là biến cố: "Vận động viên hai lần bắn trúng vòng 9 ", ? là biến cố: "Vận động viên một lần bắn trúng vòng 10, một lần bắn trúng vòng 8 ".

Ta có: ?=?∪? .

 ?(?) = ?(?) ⋅?(?) = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625 .

?(?) = ?(??) + ?(??) = 0,2 ⋅ 0,3 + 0,3 ⋅ 0,2 = 0,12 .

Do ? và ? xung khắc nên ?(?) = ?(?) + ?(?) = 0,0625 + 0,12 = 0,1825.

Phương pháp giải:

Nếu hàm bậc ba không có điểm cực trị thì đạo hàm của hàm số đó luôn không dương

hoặc luôn không âm trên \(\mathbb{R}\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                           \[f'(x) = 3{x^2} - 2{m^2}x + {m^3}.\]

Để hàm số bậc ba đã cho không có điểm cực trị thì phương trình \(f'(x) = 0\)

không có hai nghiệm phân biệt, hay:

                                                             \[\Delta \le 0.\]

Tính biệt thức:

   \[\Delta = {( - 2{m^2})^2} - 4 \cdot 3 \cdot {m^3} = 4{m^4} - 12{m^3} = 4{m^3}(m - 3).\]

Vì hệ số của \({x^2}\) trong \(f'(x)\) là \(3 > 0\), nên để \(f'(x) \ge 0,\;\forall x \in \mathbb{R}\)

ta cần:

     \[\Delta \le 0\; \Leftrightarrow \;{m^3}(m - 3) \le 0\; \Leftrightarrow \;m \in [0;3].\]

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là:

                                                             \[m = 0,1,2,3.\]

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của \(m\).

Đáp án: B.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số hợp.

Giải chi tiết:

Xét hàm số:

\(\begin{array}{l}y = g(x) = f({x^2} - 4x + 1)\\y' = g'(x) = (2x - 4)f'({x^2} - 4x + 1)\\g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 4 = 0}\\{f'({x^2} - 4x + 1) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 4 = 0}\\{{x^2} - 4x + 1 = - 1}\\{{x^2} - 4x + 1 = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{{x^2} - 4x + 2 = 0}\\{{x^2} - 4x - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 2 + \sqrt 2 }\\{x = 2 - \sqrt 2 }\\{x = 2 + \sqrt 6 }\\{x = 2 - \sqrt 6 }\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra g’(x) bị đổi dấu 5 lần nên hàm số có 5 điểm cực trị.

Phương pháp giải:

Đối với hàm số dạng \(y = \left| {f(x)} \right|\)|, số điểm cực tiểu của đồ thị được xác định bởi:

·                  Số giao điểm của đồ thị hàm số \(f(x)\) với trục hoành \[Ox\] (các điểm này sau khi lấy trị tuyệt đối sẽ trở thành các điểm cực tiểu nhọn).

·                  Số điểm cực tiểu sẵn có của hàm số \(f(x)\) mà nằm phía trên trục hoành (ít gặp trong bài này).

Giải chi tiết:

Xét hàm số: \[f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) \Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 3)(x - 5) = 0.\]

Ta có 3 nghiệm phân biệt:\(x = 1,x = 3,x = 5\)

Đây là 3 điểm mà đồ thị\(f(x)\) cắt ngang qua trục \[Ox\]. Khi lấy trị tuyệt đối, phần nằm dưới trục Ox sẽ bị lật ngược lên trên, biến 3 điểm này thành 3 điểm cực tiểu.

Mặt khác, do \(f(x)\)là hàm bậc 3 có hệ số \(a = 1 > 0\)và có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị sẽ có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Sau khi lật đồ thị để lấy giá trị tuyệt đối \(\left| {f(x)} \right|\)điểm cực đại cũ vẫn là cực đại, và điểm cực tiểu cũ (nếu nằm dưới trục \[Ox)\] sẽ bị lật lên thành một điểm cực đại mới.

Vậy số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là 3

Giải chi tiết:

Ta có:

   \[y = {x^{17}} + \cdots + 42{x^9} + 7m{x^7} + 3mx,y' = 17{x^{16}} + \cdots + 378{x^8} + 49m{x^6} = {x^6}(17{x^{10}} + \cdots + 378{x^2} + 49m).\]

Đặt:

                                 \[g(x) = 17{x^{10}} + \cdots + 378{x^2} + 49m.\]

Trường hợp 1: \(m < 0\).

Khi đó \(g(0) < 0\), nên tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\) chứa \({x_0} = 0\)

sao cho \(g(x) < 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon )\).

Suy ra \(y' \le 0\) trong \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\), nên hàm số không đạt cực tiểu tại \({x_0} = 0\).

Trường hợp 2: \(m > 0\).

Khi đó \(g(0) > 0\), nên tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\) chứa \({x_0} = 0\)

sao cho \(g(x) > 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon )\).

Suy ra \(y' \ge 0\) trong \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\), nên hàm số không đạt cực tiểu tại \({x_0} = 0\).

Trường hợp 3: \(m = 0\).

Khi đó:

                                         \[y' = {x^8}(17{x^8} + \cdots + 378).\]

Đặt:

                                             \[h(x) = 17{x^8} + \cdots + 378.\]

Ta có \(h(0) > 0\), nên tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\) chứa \({x_0} = 0\)

sao cho \(h(x) > 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon )\).

Suy ra \(y' \ge 0\) trong \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\), nên hàm số cũng không đạt cực tiểu tại \({x_0} = 0\).

Từ ba trường hợp trên, suy ra không tồn tại giá trị nào của \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy số giá trị nguyên của \(m\) cần tìm là 0.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Đặt:

                                                           \[t = 2\cos x - 3.\]

Với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) thì

\[\cos x \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\; \Rightarrow \;t \in [ - 4; - 1].\]

Bài toán trở về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

                                              \[f(t) = 2{t^3} + 3{t^2} - 12t - 36\]

trên đoạn \([ - 4; - 1]\).

Ta có:

                                \[f'(t) = 6{t^2} + 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1,}\\{t = - 2.}\end{array}} \right.\]

Xét trên đoạn \([ - 4; - 1]\), ta lập bảng biến thiên và suy ra:

                                  \[{f_{\max }} = - 16,\qquad {f_{\min }} = - 68.\]

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cần tìm là:

                                                      \[ - 16 + ( - 68) = - 84.\]

Phương pháp giải Vẽ bảng biến thiên của hàm số cho từng trường hợp của m

Giải chi tiết

Khi đó \(f(x) = {x^2}\) không có giá trị nhỏ nhất trên \((0; + \infty )\).

Trường hợp 2: \(m < 0\).

Ta có:

                \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{m}{x} = - \infty \; \Rightarrow \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + \frac{m}{x} + m} \right) = - \infty .\]

Do đó hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \((0; + \infty )\).

Trường hợp 3: \(m > 0\).

Ta có

                                               \[f'(x) = 2x - \frac{m}{{{x^2}}}.\]

Cho \(f'(x) = 0\):

                 \[2{x^3} - m = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}.\]

Tại đây hàm số đạt giá trị nhỏ nhất:

                      \[{f_{\min }} = {\left( {\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}} \right)^2} + \frac{m}{{\sqrt[3]{{\frac{m}{2}}}}} + m = \sqrt[3]{{\frac{{{m^2}}}{4}}} + \sqrt[3]{{2{m^2}}} + m = m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}}.\]

Theo đề bài:

                                     \[m + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}} = 176.\]

Giải phương trình, ta được:

                                                               \[m = 128.\]

Vậy giá trị cần tìm là 128.

Phương pháp giải:

Xét giới hạn hàm số đã cho tại các cận.

Giải chi tiết:

Tập xác định:

                                           \[D = ( - \infty ;0) \cup (2; + \infty ).\]

Tiệm cận ngang:

       \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{{{x^2}}}} \right) = 1.\]

               \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + \ln ({x^2} - 2x)}}{x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln ({x^2} - 2x)}}{x} = 0.\]

Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên:

                                                                  \[y = x.\]

Tương tự:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{y}{x} = 1,\qquad \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - x) = 0,\]

nên cũng cho cùng tiệm cận xiên \(y = x\).

Tiệm cận đứng:

Do \(\ln ({x^2} - 2x) \to - \infty \) khi \(x \to {0^ - }\) hoặc \(x \to {2^ + }\),

suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng:

                                                       \[x = 0,\qquad x = 2.\]

Vậy tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là : 3

Phương pháp giải:

Tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Giải chi tiết:

Ta có:

             \[\frac{{{m^2}{x^2} - 2mx - n}}{{2x - 6}} = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2} + \frac{{9{m^2} - 6m - n}}{{2x - 6}}.\]

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

                             \[y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}.\]

Tiếp tuyến của đồ thị \(y = \frac{{ - 1}}{{2x + k}}\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\[y = \frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}}(x - {x_0}) - \frac{1}{{2{x_0} + k}}.\]

Để đường thẳng

                              \[y = \frac{{{m^2}}}{2}x + \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}\]

luôn là tiếp tuyến của đồ thị \(y = \frac{{ - 1}}{{2x + k}}\) với mọi \(m \ne 0\),

ta được hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{{m^2}}}{2},}\\{ - \frac{{4{x_0} + k}}{{{{(2{x_0} + k)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 2m}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra:

                                       \[{x_0} = \pm \frac{1}{m} - \frac{k}{2}.\]

Thay vào, điều kiện để hệ luôn có nghiệm với mọi \(m \ne 0\) dẫn đến:

                                                                  \[k = 6.\]

Vậy giá trị cần tìm là 6.

Phương pháp giải:

Vận dụng định lý Vi-ét.

Giải chi tiết:

Gọi hai hàm số đã cho lần lượt là:

             \[f(x) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 4,\qquad g(x) = dx + 3.\]

Gọi hoành độ giao điểm của hai đồ thị lần lượt là

\({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\).

Khi đó: \[f(x) = g(x) \Leftrightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + (c - d)x + (4 - 3) = 0.\]

Hay: \[{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + (c - d)x + 1 = 0.\]

Theo định lý Vi-ét, ta có: \[{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = \frac{1}{1} = 1.\]

Vậy tích các hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 1.

Đáp án : C.

Phương pháp giải:

Xác định nghiệm của phương trình \(f'(x) - g'(x) = 0\), từ đó xác định nghiệm của phương trình \(h'(x) = 0\).

Giải chi tiết:

Hàm số \(h(x) = f({x^2} - 2x) - g({x^2} - 2x)\)

·                  Đặt \(u = {x^2} - 2x \Rightarrow u' = 2x - 2\). \(u' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

·                  Đạo hàm: \(h'(x) = (2x - 2) \cdot [f'(u) - g'(u)]\).

·                  Xét \(h'(x) = 0\):

1.              \(2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\) (1 điểm cực trị).

2.              \(f'(u) = g'(u)\): Nhìn đồ thị, hai đường \(f'(x)\) và \(g'(x)\) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\). Do đó \(u\) có thể nhận 2 giá trị này.

·                  Giải \({x^2} - 2x = u\):

o        \({x^2} - 2x = {u_1}\) (với \({u_1} > - 1\)): có 2 nghiệm.

o        \({x^2} - 2x = {u_2}\) (với \({u_2} > - 1\)): có 2 nghiệm.

·                  Tổng cộng ta có \(1 + 2 + 2 = 5\) điểm cực trị.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng cần tìm.

Khi đó \(H(a - 1;2a + 2;3a)\).

Vectơ chỉ phương của \(d\) là:

                                                      \[{\vec u_d} = (1;2;3).\]

Ta có:

                              \[\overrightarrow {MH} = (a - 5;\;2a + 10;\;3a - 5).\]

Do hai đường thẳng vuông góc với nhau nên:

                                   \[{\vec u_d} \cdot \overrightarrow {MH} = 0\]

     \[ \Rightarrow (a - 5) + 2(2a + 10) + 3(3a - 5) = 0 \Rightarrow 14a = 0 \Rightarrow a = 0.\]

Suy ra:

                           \[\overrightarrow {MH} = ( - 5;10; - 5) = 5( - 1;2; - 1).\]

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là:

                                                               \[(3; - 6;3).\]

Phương pháp giải:

Lựa chọn điểm trung gian và sử dụng phương pháp vectơ.

Giải chi tiết:

Gọi \(I({x_I},{y_I},{z_I})\) là điểm thỏa mãn:

\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0.\]

Ta có:

        \[{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} - {x_C} + 2{x_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \frac{{2 + 3 - 1 + 8}}{3} = 4,\]

\[{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} - {y_C} + 2{y_D}}}{3} = \frac{{7 + 6 - 8 + 6}}{3} = \frac{{11}}{3},\]

  \[{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B} - {z_C} + 2{z_D}}}{3} = \frac{{5 + 4 - 2 + 4}}{3} = \frac{{11}}{3}.\]

Xét:

    \(\)\[\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\\ = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} - {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} )^2}\\ = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} ) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}.\end{array}\]

Do \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0\) nên:

                           \[T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}.\]

Suy ra \(T\) nhỏ nhất khi \(MI = 0\), tức là \(M \equiv I\).

Vậy:

                                \[M\left( {4;\frac{{11}}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\]

Do đó:

\[P = \frac{{ab}}{c} = \frac{{4 \cdot \frac{{11}}{3}}}{{\frac{{11}}{3}}} = 4.\]

Phương pháp giải: Tọa độ hóa hình đã cho.

Giải chi tiết:

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên IB'.

Khi đó:

                                                          \[d(AJ,BI) < AK,\]

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

                         \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot IB',}\\{AK \bot AJ.}\end{array}} \right.\]

Chuẩn hóa độ dài cạnh hình lập phương bằng \(1\),

chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có:

       \[A(0,0,0),\quad B'(1,0,1),\quad I\left( {0,\frac{1}{2},1} \right),\quad J(1,1,m).\]

Do \(K\) nằm trên IB' nên gọi:

   \[K(1 - 2t;{\mkern 1mu} t;{\mkern 1mu} 1)\quad (t \in \mathbb{R}).\]

Điều kiện \(AK \bot IB'\):

   \[\overrightarrow {AK} \cdot \overrightarrow {IB'} = 0 \Rightarrow 2(1 - 2t) - ( - 1)t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{5}.\]

Suy ra:

            \[K\left( {\frac{1}{5};{\mkern 1mu} \frac{2}{5};{\mkern 1mu} 1} \right).\]

Điều kiện \(AJ \bot AK\):

\[\overrightarrow {AJ} \cdot \overrightarrow {AK} = 0 \Rightarrow 0 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \frac{2}{5} + m \cdot 1 = 0 \Rightarrow m = - \frac{3}{5}.\]

Suy ra:

           \[J\left( {1;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - \frac{3}{5}} \right).\]

Khi đó:

                   \[\frac{{JC}}{{JC'}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{1} = \frac{3}{8}.\]

Phương pháp giải:

Phân tích hàm dưới dấu tích phân thành các phân thức đơn giản.

Giải chi tiết:

Ta có:

   \[I = \int_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{3x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}} {\mkern 1mu} dx = \int_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{6(x - 1) - 3(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}} {\mkern 1mu} dx = \int_{ - 2}^{ - 1} {\left( {\frac{6}{{x - 3}} - \frac{3}{{x - 1}}} \right)} dx.\]

Suy ra:

       \[I = [6\ln |x - 3| - 3\ln |x - 1|]_{ - 2}^{ - 1} = (6\ln 4 - 3\ln 2) - (6\ln 5 - 3\ln 3) = 9\ln 2 + 3\ln 3 - 6\ln 5.\]

Do đó:

         \[a = 9,\quad b = 3,\quad c = 6\; \Rightarrow \;T = a + b + c = 18.\]

Phương pháp giải:

Viết biểu thức vận tốc đối với từng đoạn, sau đó lấy tích phân để tính quãng đường.

Giải chi tiết:

Từ đồ thị vận tốc theo thời gian, ta có thể biểu diễn hàm số vận tốc như sau:

\(v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t,}&{0 \le t < 4,}\\{6 + \frac{t}{2},}&{4 \le t < 8,}\\{10,}&{8 \le t < 12,}\\{ - \frac{{5t}}{2} + 40,}&{12 \le t \le 16.}\end{array}} \right.\)

Quãng đường chất điểm đi được từ \(t = 2\) đến \(t = 14\) là:

       \[S = \int_2^4 2 t{\mkern 1mu} dt + \int_4^8 {\left( {6 + \frac{t}{2}} \right)} dt + \int_8^{12} 1 0{\mkern 1mu} dt + \int_{12}^{14} {\left( { - \frac{{5t}}{2} + 40} \right)} dt = 12 + 36 + 40 + 15 = 103\;{\rm{(m)}}.\]

Vậy quãng đường cần tìm là 103 mét.

Phương pháp giải:

Tính tích phân đã cho theo tham số \(m\).

Giải chi tiết:

Ta có:\[I = \int_{ - \frac{m}{2}}^{\frac{m}{2}} {\frac{{x - m}}{{x + m}}} {\mkern 1mu} dx = \int_{ - \frac{m}{2}}^{\frac{m}{2}} {\left( {1 - \frac{{2m}}{{x + m}}} \right)} dx = [x - 2m\ln |x + m|]_{ - \frac{m}{2}}^{\frac{m}{2}} = m - 2m\left( {\ln \frac{{3m}}{2} - \ln \frac{m}{2}} \right) = m(1 - 2\ln 3).\]

Theo giả thiết \(I = - 3\):

               \[m(1 - 2\ln 3) = - 3\; \Rightarrow \;m = \frac{3}{{2\ln 3 - 1}}.\]

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ cho hình vẽ.

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử tâm \(O\) là gốc tọa độ, trục Ox trùng với đường nối hai tâm.

Khi đó phương trình hai đường tròn là:

    \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} = 25,}\\{{{(x - 3)}^2} + {y^2} = 16.}\end{array}} \right.\]

Do hình đối xứng qua trục Ox, diện tích phần tô màu là:

  \[S = 2\left( {\int_{ - 5}^{\sqrt 5 } {\sqrt {25 - {x^2}} } {\mkern 1mu} dx - \int_{ - 1}^5 {\sqrt {16 - {{(x - 3)}^2}} } {\mkern 1mu} dx} \right).\]

Tính tích phân, ta được:

                                      \[S \approx 42,22\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\]

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm của một hình cầu trùng với gốc tọa độ \(O(0,0,0)\).

·                  Phương trình mặt cầu: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2}\)

·                  Khoảng cách giữa hai tâm là \(6\), nên mặt phẳng cắt chia đôi khoảng cách này nằm tại \(x = 3\).

·                  Chỏm cầu là phần hình đặc giới hạn từ \(x = 3\) đến \(x = 5\).

Thể tích của chỏm cầu được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) quanh trục Ox, trong đoạn từ \(x = 3\) đến \(x = 5\).

Ta có:

\({V_{chom}} = \pi \int_3^5 {{y^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_3^5 {(25 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx\)

\({V_{chom}} = \pi \left[ {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_3^5\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\left[ {25(5) - \frac{{{5^3}}}{3}} \right] - \left[ {25(3) - \frac{{{3^3}}}{3}} \right]} \right)\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\left[ {125 - \frac{{125}}{3}} \right] - \left[ {75 - 9} \right]} \right)\)

\({V_{chom}} = \pi \left( {\frac{{250}}{3} - 66} \right) = \pi \left( {\frac{{250 - 198}}{3}} \right) = \frac{{52}}{3}\pi \)

Vì phần chung của hai hình cầu gồm hai chỏm cầu bằng nhau:

\({V_C} = 2 \times {V_{chom}} = 2 \times \frac{{52}}{3}\pi = \frac{{104}}{3}\pi \)

Suy ra:

\[\frac{a}{b} = \frac{{104}}{3} \Rightarrow a = 104,\;b = 3 \Rightarrow T = ab = 312.\]

Đáp án: C.

Giải chi tiết:

1. Tính số phần tử của không gian mẫu

Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 4 mẫu từ tổng số 15 mẫu (\(4 + 5 + 6 = 15\)). Số cách chọn là:

\(n(\Omega ) = C_{15}^4 = \frac{{15!}}{{4!(15 - 4)!}} = 1365\)

2. Tính số cách chọn để cả 3 quầy A, B, C đều có mẫu

Vì chọn 4 mẫu mà phải có đủ cả 3 quầy, nên sẽ có 3 trường hợp xảy ra:

·                  Trường hợp 1: 2 mẫu quầy A, 1 mẫu quầy B, 1 mẫu quầy C.

o        Số cách: \(C_4^2 \cdot C_5^1 \cdot C_6^1 = 6 \cdot 5 \cdot 6 = 180\)

·                  Trường hợp 2: 1 mẫu quầy A, 2 mẫu quầy B, 1 mẫu quầy C.

o        Số cách: \(C_4^1 \cdot C_5^2 \cdot C_6^1 = 4 \cdot 10 \cdot 6 = 240\)

·                  Trường hợp 3: 1 mẫu quầy A, 1 mẫu quầy B, 2 mẫu quầy C.

o        Số cách: \(C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_6^2 = 4 \cdot 5 \cdot 15 = 300\)

Tổng số cách thuận lợi cho biến cố (\(n(A)\)): \(n(A) = 180 + 240 + 300 = 720\)

Xác suất để mẫu thịt của cả 3 quầy đều được chọn là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{720}}{{1365}} = \frac{{48}}{{91}}.\)

Phương pháp giải:

Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp

\(\Omega = \{ (x;y)\mid |x| \le 4,\;|y| \le 4,\;x,y \in \mathbb{Z}\} \).

Gọi \(A\) là biến cố Tập hợp các điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng\(2\)biểu diễn \(A\) dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của \(A\).

Tính xác suất: \(P(A) = \frac{{|A|}}{{|\Omega |}}\).

Giải chi tiết:

Không gian mẫu:

          \[\Omega = \{ (x;y)\mid |x| \le 4,\;|y| \le 4,\;x,y \in \mathbb{Z}\} .\]

Có \(9\) cách chọn \(x\) và \(9\) cách chọn \(y\), nên:

                                                 \[|\Omega | = 9 \cdot 9 = 81.\]

Gọi \(A\) là biến cố \textquotedblleft khoảng cách đến gốc tọa độ không vượt quá \(2\)

Khi đó:

                 \[A = \{ (x;y)\mid {x^2} + {y^2} \le 4,\;x,y \in \mathbb{Z}\} .\]

Đếm số điểm nguyên thỏa mãn:

      \[\begin{array}{*{20}{c}}x&{}\\0&{y = 0, \pm 1, \pm 2\quad }\\{ \pm 1}&{y = 0, \pm 1\quad }\\{ \pm 2}&{y = 0\quad }\end{array}\]

Suy ra:

                                          \[|A| = 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 13.\]

Vậy xác suất cần tìm là:

                                                  \[P(A) = \frac{{13}}{{81}}.\]

Phương pháp giải Vận dụng các công thức xác suất (công thức cộng, công thức nhân, công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes…)

Giải chi tiết

Gọi \(A\) là biến cố bị mắc bệnh M

\(B\) là biến cố Bộ test cho kết quả dương tính

Do xác suất bị mắc bệnh M là \(22\% \) nên:

                                                             \[P(A) = 0,22.\]

Từ dữ kiện: Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ test cho kết quả dương tính là \(10\% \), suy ra:   

                                                    \[P(B\mid \bar A) = 0,1.\]

Nếu bộ test cho kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70\% \), suy ra:  

                                                        \[P(A\mid B) = 0,7.\]

Từ đó, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22,}\\{\frac{{P(\bar AB)}}{{P(\bar A)}} = 0,1,}\\{\frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = 0,7.}\end{array}} \right.\)

Suy ra:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P(A) = 0,22,}\\{P(\bar AB) = 0,1P(\bar A) = 0,1 \cdot 0,78 = 0,078,}\\{P(AB) = 0,7P(B).}\end{array}} \right.\]

Mặt khác:

    \[P(B) = P(AB) + P(\bar AB) = 0,7P(B) + 0,078 \Rightarrow 0,3P(B) = 0,078 \Rightarrow P(B) = 0,26.\]

Khi đó:

                                             \[P(AB) = 0,7 \cdot 0,26 = 0,182.\]

Xác suất cần tính là:

\[P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,182}}{{0,22}} \approx 0,8273 = 82,73\% .\]

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết:

• Các đáp án: B, C, D đều có yếu tố "điểm" mang nghĩa là ý chính, mấu chốt;
• Đáp án A mang nghĩa là chính, trọng yếu

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Núi non có nghĩa là núi >< những từ còn lại là khái niệm chỉ quốc gia.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: -> Từ liều lĩnh Liều lĩnh là tinh thần hiếu thắng, bấp chấp mà lao vào khó khăn, thử thách, không hề nghĩ về những hậu quả hay vấn đề kĩ lưỡng. Sự mù quáng và luôn thiên về cảm tính khiến những hành động liều lĩnh thường đem lại những sai lầm, gây hại hơn là những kết quả tốt đẹp.

< các từ còn lại: tinh thần sẵn sàng hành động, sẵn sàng lao vào khó khăn, thử thách, thực hiện những điều ít ai dám vì những giá trị và lợi ích tốt đẹp cho bản thân và những người xung quanh.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: -> Từ bình tĩnh chỉ thái độ của con người, luôn giữ được thái độ bình thường, làm chủ được hành động, không hốt hoảng, không luống cuống, không nóng vội >< các từ còn lại chỉ trạng thái bình yên (thường là của cảnh)

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Vần thơ có chức năng liên kết các dòng thơ và góp phần tạo nên nhịp điệu, nhạc điệu cũng như giọng điệu của bài thơ

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Nhạc điệu là cách tổ chức các yếu tố âm thanh của ngôn từ để lời văn gợi ra cảm giác về âm nhạc (âm hưởng, nhịp điệu)

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Trong nhiều loại hình tự sự dân gian, người kể chuyện có thể là người trực tiếp diễn xướng để kể lại câu chuyện cho công chúng. Trong tự sự của văn học viết, người kể chuyện là “vai” hay “đại diện” mà nhà văn tạo ra để thay mình thực hiện việc kể chuyện.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Văn bản nghị luận gồm: luận đề, luận điểm, lí lẽ, bằng chứng, chúng có quan hệ chặt chẽ với nhau, nhằm đạt hiệu quả thuyết phục cao nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Văn nghị luận là kiểu văn bản mà ở đó, người viết sử dụng lí lẽ dẫn chứng, lập luận nhằm xác lập cho người đọc một ý kiến / quan điểm/ tư tưởng nhất định

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết: Từ dùng sai: thiên lệch

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết: Từ dùng sai: thống nhất

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết: Từ dùng sai: truyền cảm

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết: Từ dùng sai: tranh luận

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết: Từ dùng sai: Quốc ngữ

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về phương thức biểu đạt

Giải chi tiết: Phương thức biểu đạt: thuyết minh

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Đọc, tìm ý

Giải chi tiết: Theo tác giả, sự chuyển động của nhãn cầu làm cho mắt có thể xác định và nhìn chính xác mọi vật

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Đọc, tìm ý

Giải chi tiết: Ý không được đề cập trong đoạn trích: Con ngươi ở mắt dần thu nhỏ lại là lúc con người ở trong trạng thái sợ hãi.

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Đọc kĩ đoạn trích, tìm ý.

Giải chi tiết: Theo đoạn trích, khi con ngươi của mắt thu nhỏ lại là con người đang rầu rĩ

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết: Chủ đề đoạn trích: Sự biến đổi của con ngươi ở mắt người

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải: Đọc tổng hợp ý

Giải chi tiết: Bài viết đề cập tới: Vấn đề giữ gìn tiếng Việt trong thời kì toàn cầu hóa

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Đọc, phân tích, tổng hợp

Giải chi tiết: Tác giả bày tỏ thái độ suy tư trong bài viết

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về biện pháp tu từ

Giải chi tiết: Biện pháp tu từ nhân hóa

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Loại trừ

Giải chi tiết: Đọc kĩ các câu văn và soi chiếu lại trong từng đoạn văn của văn bản.

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải:Loại trừ

Giải chi tiết: Ý không có trong bài: “Cần phải có trách nhiệm công dân với ngôn ngữ mẹ đẻ.”

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về biện pháp tu từ

Giải chi tiết: Những biện pháp tu từ được sử dụng: So sánh, câu hỏi tu từ

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết: Từ “thành kiến” có ý nghĩa là: Chỉ cách nhìn nhận có phần thiên lệch từ trước, khó thay đổi.

Đáp án cần chọn là: B