Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Phú Diễn (Hà Nội) có đáp án

1. Hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 3y = 15}\\{4x + y = 19}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình được \( - 4y =  - 4\) suy ra \(y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình thứ hai: \(4x + 1 = 19\) suy ra \(x = \frac{9}{2}\).

Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{9}{2};\,\,1} \right)\).

2. Thu gọn hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5\left( {x + 2} \right) = 2\left( {y + 7} \right)}\\{3\left( {x + y} \right) = 17 - x}\end{array}} \right.\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 2y = 4}\\{4x + 3y = 17}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với \(3\), phương trình thứ hai với \(2\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 6y = 12}\\{8x + 6y = 34}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình được \(23x = 46\) suy ra \(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình thứ nhất: \(5 \cdot 1 - 2y = 4\) suy ra \(y = 3\).

Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)\).

3. Điều kiện xác định: \(x \ne 0,\,\,y \ne 0\).

Đặt \(u = \frac{1}{x},\,\,v = \frac{1}{y}\), hệ trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u + v =  - 1}\\{3u - 2v = 7}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất suy ra \(v =  - 1 - u\).

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3u - 2\left( { - 1 - u} \right) = 7\) suy ra \(5u = 5\) suy ra \(u = 1\).

Suy ra \(v =  - 1 - 1 =  - 2\).

Ta có: \(\frac{1}{x} = 1\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn) và \(\frac{1}{y} =  - 2\) suy ra \(y =  - \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\).

1. Điều kiện xác định: \(x \ne 1\).

\(A = 3\)

\(\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = 3\)

\(2x + 4 = 3\left( {x - 1} \right)\)

\(x = 7\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 7\).

2. Ta có \(A = \frac{{x + 4}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 7}}{{x - 3}} = 1 + \frac{7}{{x - 3}}\,\,\left( {x \ne 3} \right)\).

Để \(A\) nhận giá trị nguyên với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(\left( {x - 3} \right)\) phải là ước của \(7\).

Do đó \(x - 3 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 7} \right\}\).

Suy ra \(x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}\).

3. Điều kiện xác định: \(x \ne 2\).

Ta có:

\(2P = \frac{{2\left( {3x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{3\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}} = 3 + \frac{5}{{x - 2}}\)

Vì \(P\) là số nguyên dương nên \(2P\) là số nguyên. Với \(x\) nguyên, suy ra \(\left( {x - 2} \right)\) là ước của \(5\):

\(x - 2 \in \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}\) suy ra \(x \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}\).

Thay lại vào biểu thức \(P\):

Với \(x =  - 3\) thì \(P = \frac{{3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right) - 4}} = 1\) (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với \(x = 1\) thì \(P = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{2 \cdot 1 - 4}} =  - 1\) (loại vì không dương).

Với \(x = 3\) thì \(P = \frac{{3 \cdot 3 - 1}}{{2 \cdot 3 - 4}} = 4\) (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với \(x = 7\) thì \(P = \frac{{3 \cdot 7 - 1}}{{2 \cdot 7 - 4}} = 2\) (thỏa mãn là số nguyên dương).

Vậy \(x \in \left\{ { - 3;\,\,3;\,\,7} \right\}\).

Gọi giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là \(x\) (nghìn đồng), giá niêm yết của bộ cốc chén là \(y\) (nghìn đồng) với \(0 < x,\,\,y < 580\).

Theo giả thiết ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 580}\\{10\% x + 15\% y = 72}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 580}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 2y = 1160}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được:

\(\left( {2x + 3y} \right) - \left( {2x + 2y} \right) = 1440 - 1160\) suy ra \(y = 280\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 280\) vào phương trình \(x + y = 580\) ta được:

\(x + 280 = 580\) suy ra \(x = 580 - 280\) suy ra \(x = 300\) (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là \(300\) nghìn đồng, bộ cốc chén là \(280\) nghìn đồng.

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là \(40:2 = 20\) (m).

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là \(x{\rm{\;m}}\) với \(10 < x < 20\).

Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là \(20 - x\) (m).

Chiều dài sau khi giảm \(2{\rm{\;m}}\) là \(x - 2\) (m).

Chiều rộng sau khi tăng \(2{\rm{\;m}}\) là \(\left( {20 - x} \right) + 2 = 22 - x\) (m).

Vì diện tích tăng thêm \(4{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình:

\(\left( {x - 2} \right)\left( {22 - x} \right) - x\left( {20 - x} \right) = 4\)

\(22x - {x^2} - 44 + 2x - 20x + {x^2} = 4\)

\(4x - 44 = 4\)

\(4x = 48\)

\(x = 12\) (thỏa mãn).

Chiều rộng ban đầu là \(20 - 12 = 8\) m.

Vậy chiều dài ban đầu là \(12{\rm{\;m}}\), chiều rộng ban đầu là \(8{\rm{\;m}}\).

Xét hai tam giác vuông \({\rm{\Delta }}EDF\) và \({\rm{\Delta }}BAC\) có \(\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) và \(\widehat {EFD} = \widehat {BCA}\) (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất).

Suy ra $\text{Δ}EDF\backsim \text{Δ}BAC$ (g.g).

Do đó, \(\frac{{ED}}{{BA}} = \frac{{DF}}{{AC}}\) hay \(\frac{7}{{BA}} = \frac{4}{{80}}\) suy ra \(BA = \frac{{7 \cdot 80}}{4} = 140\) (m)

Số tầng của tòa nhà là:

                                   \(140:3,5 = 40\) (tầng).

a) Xét \({\rm{\Delta }}ACK\) và \({\rm{\Delta }}ABH\) có:

\(\widehat {AKC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(CK \bot AB,\,\,BH \bot AC\));

              \(\widehat {BAC}{\rm{\;l\`a \;g\'o c\;chung}}\).

Suy ra $\text{Δ}ACK\backsim \text{Δ}ABH$ (g.g).

Từ đó ta có: \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}}\) suy ra \(AC \cdot AH = AB \cdot AK\).

b) Từ \(AC \cdot AH = AB \cdot AK\) suy ra \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}AHK\) và \({\rm{\Delta }}ABC\) có:

\(\widehat {BAC}\) là góc chung;

\(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}\).

Suy ra $\text{Δ}AHK\backsim \text{Δ}ABC$ (c.g.c).

Do đó \(\widehat {AKH} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AKH} + \widehat {BKH} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {BKH} + \widehat {ACB} = 180^\circ \).

c)

Xét \({\rm{\Delta }}BHM\) và \({\rm{\Delta }}BCH\) có \(\widehat {BMH} = \widehat {BHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBC}\) là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}BHM\backsim \text{Δ}BCH$ suy ra \(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{BH}}\) suy ra \(B{H^2} = BM \cdot BC\).

Trong \({\rm{\Delta }}BHM\), \(BI\) là đường phân giác của góc \(\widehat {HBM}{\rm{\;}}\left( {I \in HM} \right)\), theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

                \(\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{BH}}{{BM}}\).

Trong \({\rm{\Delta }}BHC\), \(BN\) là đường phân giác của góc \(\widehat {HBC}{\rm{\;}}\,\,\left( {N \in HC} \right)\), theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta cũng có:

                \(\frac{{NH}}{{NC}} = \frac{{BH}}{{BC}}\).

Nhân từng vế hai tỉ số, ta được:

\(\frac{{IH}}{{IM}} \cdot \frac{{NH}}{{NC}} = \frac{{BH}}{{BM}} \cdot \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{B{H^2}}}{{BM \cdot BC}}\)

Thay \(B{H^2} = BM \cdot BC\) vào biểu thức:

\(\frac{{IH}}{{IM}} \cdot \frac{{NH}}{{NC}} = \frac{{BM \cdot BC}}{{BM \cdot BC}} = 1\)

Gọi chiều rộng và chiều dài của phần màu xám lần lượt là \(x\) và \(y\) (đơn vị: cm).

Điều kiện: \[x,\,\,y > 0\].

Diện tích phần màu xám: \(xy = 384\).

Chiều rộng của cả trang giấy là \(x + 2 + 2 = x + 4\) cm.

Chiều dài của cả trang giấy là \(y + 3 + 3 = y + 6\) cm.

Diện tích toàn bộ trang giấy:

\(S = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 6} \right) = xy + 6x + 4y + 24 = 384 + 24 + 6x + 4y = 408 + 6x + 4y\).

Với \(a > 0;\,\,b > 0\) ta luôn có:

\({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2\sqrt a \sqrt b  + {\left( {\sqrt b } \right)^2} \ge 0\)

\(a - 2\sqrt {ab}  + b \ge 0\)

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

\(\sqrt a  - \sqrt b  = 0\) suy ra \(\sqrt a  = \sqrt b \) suy ra \(a = b\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(6x\) và \(4y\):

\(6x + 4y \ge 2\sqrt {6x \cdot 4y}  = 2\sqrt {24xy}  = 2\sqrt {24 \cdot 384}  = 2\sqrt {9216}  = 2 \cdot 96 = 192\).

Suy ra: \(S \ge 408 + 192 = 600\) cm²

Dấu bằng xảy ra khi \(6x = 4y\) suy ra \(y = 1,5x\).

Thay vào phương trình:

\[xy = 384\]

\[x \cdot 1,5x = 384\]

\[1,5{x^2} = 384\]

\[{x^2} = 256\]

\[x = 16\] (thỏa mãn).

Khi đó \(y = 24\) (thỏa mãn).

Vậy để diện tích trang giấy nhỏ nhất thì:

Chiều ngang trang giấy là \(16 + 4 = 20\) (cm).

Chiều dọc trang giấy là: \(24 + 6 = 30\) (cm).