Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Từ Liêm 1 (Hà Nội) có đáp án

Với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\):

1. Thay \(x = 5\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{5 \cdot 5 - 3}}{{5 - 1}} = \frac{{22}}{4} = \frac{{11}}{2}\).

Vậy \(A = \frac{{11}}{2}\) khi \(x = 5\).

2. Rút gọn biểu thức \(B\) với \(x \ne  \pm 1\):

\(B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{x + 1}}\)

\(B = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2x - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{x^2} + x - 2x - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

3. Ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{5x - 3}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{5x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{5\left( {x + 1} \right) - 8}}{{x + 1}} = 5 - \frac{8}{{x + 1}}\) (với \(x \ne  \pm 1\)).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên khi \(x\) nguyên thì \(x + 1\) phải là ước của \(8\).

Suy ra \(x + 1 \in \left\{ { - 8;\,\, - 4;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}\).

Nếu \(x + 1 = 1\) suy ra \(x = 0\) (thỏa mãn), khi đó \(P = 5 - 8 =  - 3\).

Nếu \(x + 1 = 2\) suy ra \(x = 1\) (loại).

Nếu \(x + 1 = 4\) suy ra \(x = 3\) (thỏa mãn), khi đó \(P = 5 - 2 = 3\).

Nếu \(x + 1 = 8\) suy ra \(x = 7\) (thỏa mãn), khi đó \(P = 5 - 1 = 4\).

Với các trường hợp \(x + 1 < 0\), phân thức \( - \frac{8}{{x + 1}} > 0\) nên \(P = 5 - \frac{8}{{x + 1}} > 5\).

So sánh các giá trị nguyên nhận được của \(P\), giá trị nhỏ nhất là \( - 3\).

Vậy \(x = 0\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên nhỏ nhất là \( - 3\).

a) \(5x - 15 = 4x + 39\)

\(5x - 4x = 39 + 15\)

\(x = 54\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 54\).

b) \(\frac{{2x - 5}}{6} - x + 2 = \frac{{5x - 3}}{3} - \frac{{6x - 7}}{4}\)

\[\frac{{2\left( {2x - 5} \right)}}{{12}} - \frac{{12\left( {x + 2} \right)}}{{24}} = \frac{{4\left( {5x - 3} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {6x - 7} \right)}}{{12}}\]

\(2\left( {2x - 5} \right) - 12x + 24 = 4\left( {5x - 3} \right) - 3\left( {6x - 7} \right)\)

\(4x - 10 - 12x + 24 = 20x - 12 - 18x + 21\)

\( - 8x + 14 = 2x + 9\)

\(10x = 5\)

\(x = \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{2}\).

a) Từ phương trình thứ nhất suy ra \(x = y + 3\), thay vào phương trình thứ hai ta được:

\(3\left( {y + 3} \right) - 4y = 2\) suy ra \( - y =  - 7\) suy ra \(y = 7\).

Thay \(y = 7\) vào \(x = y + 3\) ta được \(x = 7 + 3 = 10\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {10;\,\,7} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {x + 2y} \right) - 2y = 7}\\{2\left( {x + 4y} \right) - 10 =  - x + 1}\end{array}} \right.\)

Thu gọn hệ phương trình ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = 7}\\{3x + 8y = 11}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình ta có:

\(4y = 4\) suy ra \(y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình thứ nhất ta được:

\(3x + 4 = 7\) suy ra \(x = 1\).

Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Đổi \(1\) giờ \(40\) phút \( = \frac{5}{3}\) giờ.

Gọi vận tốc của xe đạp là \(x\) (km/h), điều kiện \(x > 0\).

Vận tốc của xe máy là \(x + 15\) (km/h).

Sau \(\frac{5}{3}\) giờ hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được là \(85\) km.

Do đó ta có phương trình:

\(\frac{5}{3}\left( {x + x + 15} \right) = 85\)

\(2x + 15 = 51\)

\(2x = 36\)

\(x = 18\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc của xe đạp là \(18\) km/h, vận tốc của xe máy là \(18 + 5 = 33\) km/h.

Gọi giá bán của mỗi chiếc bút là \(x\) (nghìn đồng) và của mỗi quyển vở là \(y\) (nghìn đồng), điều kiện \(x > 0,\,\,y > 0\).

Bạn An mua \(3\) chiếc bút và \(8\) quyển vở với tổng số tiền \(172\) nghìn đồng nên ta có:

\(3x + 8y = 172\).

Bạn Hải mua \(6\) chiếc bút và \(7\) quyển vở với tổng số tiền \(164\) nghìn đồng nên ta có:

\(6x + 7y = 164\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 8y = 172}\\{6x + 7y = 164}\end{array}} \right.\).

Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất ta được hệ phương trình mới là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x + 16y = 344}\\{6x + 7y = 164}\end{array}} \right.\).

Trừ vế theo vế ta được:

\(9y = 180\) suy ra \(y = 180:9 = 20\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 20\) vào phương trình \(3x + 8y = 172\), ta được:

\(3x + 8 \cdot 20 = 172\) suy ra \(3x + 160 = 172\) suy ra \(3x = 12\) suy ra \(x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy giá bán của mỗi chiếc bút là \(4\) nghìn đồng, giá bán của mỗi quyển vở là \(20\) nghìn đồng.

Gọi chiều dài của thang là đoạn thẳng \(AB = 2,5{\rm{ m}}\).

Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là đoạn thẳng \(BC = 1,1{\rm{ m}}\).

Góc nghiêng tạo bởi thang và mặt đất là góc \(\widehat {ABC}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,1}}{{2,5}} = 0,44\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 63^\circ 54'\).

Vì \(60^\circ  < 63^\circ 54' < 75^\circ \) nên thang được đặt đảm bảo an toàn.

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9\) cm.

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \);

\(\widehat {B\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHB\backsim \text{Δ}CAB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}}\) suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7,2\) cm.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = 0,8\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 53^\circ 8'\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) và \({\rm{\Delta }}BAC\) có:

                   \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {C\,}\) là góc chung.

Do đó, $\text{Δ}AHC\backsim \text{Δ}BAC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) suy ra \(A{C^2} = CH \cdot CB\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B\).

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AC \cdot \sin C\).

Từ đó suy ra \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\).

c)

Do \(AH \bot BC\) nên góc \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(HD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AHB}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta HED\) vuông tại \(E\), có \(\widehat {EHD} = 45^\circ \) nên \(\Delta HED\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(ED = EH\) và \(DH = \sqrt {E{D^2} + E{H^2}}  = ED\sqrt 2 \) suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Ta có đường thẳng \(DE \bot AH\) và đường thẳng \(BH \bot AH\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,BH\).

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác \(ABH\) với \(DE\,{\rm{//}}\,BH\) ta có: \(\frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AE}}{{AH}}\).

Mặt khác, do \(DE = EH\) nên: \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{EH}}{{AH}}\).

Cộng từng vế hai đẳng thức ta được:

\(\frac{{DE}}{{AH}} + \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{EH}}{{AH}} + \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AH}} = 1\).

Chia cả hai vế cho \(DE\) ta được: \(\frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Do đó: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}}\) (1).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH}\).

\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}\) suy ra \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABH}\).

Thay vào (1) ta được: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {BAH}}} + \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {ABH}}}\).