Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Giảng Võ (Hà Nội) có đáp án

Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(AC = AB \cdot \tan 31^\circ  = 20 \cdot \tan 31^\circ  \approx 20 \cdot 0,6009 \approx 12{\rm{\;m}}\).

Vậy chiều cao của cây là \(12\) m.

a) Xét hai tam giác: \({\rm{\Delta }}AMH\) và \({\rm{\Delta }}AHB\) có:

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HM \bot AB\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAB}\) là góc chung (hay \(\widehat {MAH} = \widehat {HAB}\)).

Suy ra $\text{Δ}AMH\backsim \text{Δ}AHB$ (g.g)

b) ⦁ Chứng minh \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\):

Từ $\text{Δ}AMH\backsim \text{Δ}AHB$ suy ra \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}\).

Chứng minh tương tự $\text{Δ}ANH\backsim \text{Δ}AHC$, ta cũng có: \(AN \cdot AC = A{H^2}\).

Từ đó suy ra: \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\)

⦁ Chứng minh \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\):

Từ hệ thức \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) , ta có tỉ số: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}AMN\) và \({\rm{\Delta }}ACB\) có:

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) là góc chung;

\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\).

Do đó, $\text{Δ}AMN\backsim \text{Δ}ACB$ (c.g.c), do đó: \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\).

c) ⦁ Chứng minh \(K{H^2} = KB \cdot KC\):

Ta có: \(\widehat {AHC} = \widehat {AHN}\) (cùng phụ với \(\widehat {NHC}\)).

Tứ giác \(AMHN\) có 3 góc vuông (\(\widehat {A\,\,} = \widehat {M\,} = \widehat {N\,} = 90^\circ \)) nên là hình chữ nhật.

Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\) suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {AMN}\).

Mà \(\widehat {KMB} = \widehat {AMN}\) (hai góc đối đỉnh) suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {KMB}\) hay \(\widehat {KMB} = \widehat {KCN}\).

Xét \({\rm{\Delta }}KBM\) và \({\rm{\Delta }}KNC\) có:

\(\widehat {K\,}\) chung;

\(\widehat {KMB} = \widehat {KCN}\) (cùng bù với \(\widehat {BMN}\)).

Do đó, $\text{Δ}KBM\backsim \text{Δ}KNC$ suy ra \(\frac{{KB}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KC}}\) hay \(KM \cdot KN = KB \cdot KC\) (1).

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {KHM} = \widehat {KNH}\)

Xét \({\rm{\Delta }}KHM\) và \({\rm{\Delta }}KNH\) có:

\(\widehat {K\,}\) là góc chung;

\(\widehat {KHM} = \widehat {KNH}\).

Do đó, $\text{Δ}KHM\backsim \text{Δ}KNH$ suy ra \(\frac{{KH}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KH}}\) suy ra \(K{H^2} = KM \cdot KN\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(K{H^2} = KB \cdot KC\).

⦁ Chứng minh \(\frac{{KH}}{{KB}} = {\cot ^2}\widehat {AMN}\):

Vì \(AB < AC\) nên điểm \(K\) nằm về phía \(B\), thứ tự các điểm trên đường thẳng \(BC\) là \(K - B - H - C\) .

Từ hệ thức \(K{H^2} = KB \cdot KC\) , ta có tỉ lệ thức:

                \(\frac{{KH}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KH}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{KH}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KH}} = \frac{{KC - KH}}{{KH - KB}} = \frac{{HC}}{{HB}}\).

Chứng minh tương tự câu b, ta có: \(A{C^2} = HC \cdot BC\) và \(A{B^2} = HB \cdot BC\).

Từ đó suy ra: \(\frac{{HC}}{{HB}} = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = {\cot ^2}\widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {AMN}\) , do đó: \(\frac{{KH}}{{KB}} = {\cot ^2}\widehat {AMN}\).

Áp dụng đồng nhất thức đại số, ta có:

\(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\).

Theo đề bài, \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = 2026\), nên:

\(2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Khi đó, mẫu số thứ nhất của biểu thức \(T\) biến đổi thành:

\({a^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = {a^2}\left( {a + b + c} \right) + \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + ab + bc + ca} \right)\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\)

Tương tự cho hai mẫu số còn lại:

\({b^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\)

\({c^2}\left( {a + b + c} \right) + 2026 + abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\)

Quy đồng mẫu thức chung \(M = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\), ta có:

\(T = \frac{{\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{2}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)

Thay giả thiết \(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 2026\) vào, ta được:

\(T = \frac{2}{{2026}} = \frac{1}{{1013}}\).

*Chứng minh \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\):

Đặt tổng của ba số là \(S = a + b + c\).

Từ đó biểu diễn từng nhân tử ở vế trái theo \(S\), ta được:

\(b + c = \left( {a + b + c} \right) - a = S - a\);

\(c + a = \left( {a + b + c} \right) - b = S - b\);

\(a + b = \left( {a + b + c} \right) - c = S - c\).

Khi đó, \({\rm{VT}} = \left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right)\).

Khai triển biểu thức VT ta được:

\(\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right) = {S^3} - \left( {a + b + c} \right){S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\).

Thay \(S = a + b + c\) vào biểu thức vừa khai triển, ta được:     

\({S^3} - \left( {a + b + c} \right){S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\)

\( = {S^3} - S \cdot {S^2} + \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\)

\( = \left( {ab + bc + ca} \right)S - abc\).

\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc = {\rm{VP}}\).

Vậy \(\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\) (điều phải chứng minh).