Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y = 11\,\,\left( 1 \right)}\\{4x + y = 11\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình \(\left( 2 \right)\), ta có: \(y = 11 - 4x\)

Thay \(y = 11 - 4x\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta có:

\(3x - 2\left( {11 - 4x} \right) = 11\)

\(3x - 22 + 8x = 11\)

\(11x - 22 = 11\)

\(11x = 33\)

\(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào \(y = 11 - 4x\) ta được: \(y = 11 - 4 \cdot 3 = 11 - 12 =  - 1\).

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\, - 1} \right)\).

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - 2} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 4\,\,\left( 1 \right)}\\{\left( {2x + 1} \right)\left( {y - 4} \right) = 2xy - 33\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất:

\(\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\) suy ra \(xy - x + 2y - 2 = xy\) suy ra \(x - 2y =  - 2\).

Từ phương trình thứ hai:

\(\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 3\) suy ra \(xy + 2x - y - 2 = xy + 3\) suy ra \(2x - y = 5\).

Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y =  - 2}\\{2x - y = 5}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất suy ra \(x = 2y - 2\), thay vào phương trình thứ hai, ta được:

\(2\left( {2y - 2} \right) - y = 5\) suy ra \(3y = 9\) suy ra \(y = 3\).

Suy ra \(x = 2 \cdot 3 - 2 = 4\).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\,3} \right)\).

Với \(x \ne 0;\,\,x \ne 1;\,\,x \ne  - 1\).

1. Thay \(x = 3\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{2 \cdot 3 + 5}}{3} = \frac{{11}}{3}\).

Vậy khi \(x = 3\) thì \(A = \frac{{11}}{3}\).

2. Ta có:

\(B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 1}} - \frac{2}{{{x^2} - 1}}\)

\(B = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{x^2} + x - 2x + 2 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{x}{{x + 1}}\).

3. Ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{2x + 5}}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) + 3}}{{x + 1}} = 2 + \frac{3}{{x + 1}}\).

Với \(x \in \mathbb{Z}\), để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) phải là ước của \(3\).

Do đó \(x + 1 \in \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}\), suy ra \(x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}\).

Kết hợp điều kiện xác định \(x \ne 0\) và \(x \ne  \pm 1\), ta loại \(x = 0\) và nhận \(x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}\).

Vậy tất cả các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn là \(x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}\).

Gọi chiều dài quãng đường \(AB\) lúc đi là \(s\) với điều kiện \(s > 0\) và đơn vị tính là \({\rm{km}}\).

Thời gian ô tô đi từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) là \(\frac{s}{{40}}\) (giờ).

Chiều dài quãng đường lúc về là \(s + 10{\rm{\;km}}\), thời gian ô tô đi từ điểm \(B\) về điểm \(A\) là:

\(\frac{{s + 10}}{{50}}\) (giờ).

Đổi \(30\) phút \( = \frac{1}{2}\) giờ.

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là \(30{\rm{\;ph\'u t}}\) nên ta có phương trình:

\(\frac{s}{{40}} - \frac{{s + 10}}{{50}} = \frac{1}{2}\)

\(5s - 4\left( {s + 10} \right) = 100\)

\(s - 40 = 100\)

\(s = 140\) (thỏa mãn).

Vậy chiều dài quãng đường \(AB\) lúc đi là \(140{\rm{\;km}}\).

Gọi số chi tiết máy theo kế hoạch tổ I và tổ II sản xuất lần lượt là \(x\) và \(y\) (chi tiết máy).

Điều kiện: \(x,\,\,y \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(x,\,\,y < 800\).

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất tổng cộng \(800\) chi tiết máy nên ta có phương trình:

                                       \(x + y = 800\).

Thực tế tổ I vượt mức \(20\% \) nên sản xuất được \(\left( {1 + 20\% } \right)x = 1,2x\) (chi tiết máy).

Thực tế tổ II vượt mức \(10\% \) nên sản xuất được \(\left( {1 + 10\% } \right)y = 1,1y\) (chi tiết máy).

Cả hai tổ sản xuất được tổng cộng \(923\) chi tiết máy nên ta có phương trình:

                                  \(1,2x + 1,1y = 923\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 800\,\,\left( 1 \right)}\\{1,2x + 1,1y = 923\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1) ta có: \(y = 800 - x\).

Thế \(y = 800 - x\) vào phương trình (2):

\(1,2x + 1,1\left( {800 - x} \right) = 923\)

\(1,2x + 880 - 1,1x = 923\)

\(0,1x + 880 = 923\)

\(0,1x = 923 - 880\)

\(0,1x = 43\)

\(x = 430\) (thỏa mãn).

Suy ra: \(y = 800 - 430 = 370\) (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch tổ I phải sản xuất \(430\) chi tiết máy, tổ II phải sản xuất \(370\) chi tiết máy.

Gọi \(AB\) là chiếc thang, \(AC\) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Khi đó, tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), \(AB = 3,5\) m và \(\widehat {BAC} = 65^\circ \)

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(AC = AB \cdot \cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = 3,5 \cdot \cos \left( {65^\circ } \right) \approx 1,48\) (m).

Vậy khoảng cách từ chân thang \(A\) đến chân tường \(C\) khoảng \(1,48\) m.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{3,5}} = \frac{{12}}{{35}}\) suy ra \(\widehat {BAC} \approx 70^\circ \).

Vậy góc tạo bởi thang và mặt đất lúc này xấp xỉ \(70^\circ \).

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \);

\(\widehat {ABC}\) là góc chung.

Do đó $\text{Δ}ABC\backsim \text{Δ}HBA$.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên đoạn thẳng \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Suy ra đường thẳng \(MN\,{\rm{//}}\,AC\).

Lại có \(AC \bot AB\) nên \(MN \bot AB\), do đó \(IN \bot AB\) tại điểm \(N\).

Xét \({\rm{\Delta }}INB\) và \({\rm{\Delta }}IBM\) có:

\(\widehat {INB} = \widehat {IBM} = 90^\circ \);

\(\widehat {NIB}\) là góc chung.

Do đó $\text{Δ}INB\backsim \text{Δ}IBM$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{IN}}{{IB}} = \frac{{IB}}{{IM}}\) suy ra \(I{B^2} = IM \cdot IN\).

c)

Gọi điểm \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(CA\) và đường thẳng \(BI\).

Vì \(IN\,{\rm{//}}\,AC\) và ba điểm \(A,\,\,K,\,\,C\) thẳng hàng nên đường thẳng \(IN\,{\rm{//}}\,AK\).

Trong tam giác \(ABK\), \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), \(I\) thuộc đoạn thẳng \(BK\) và đường thẳng \(NI\,{\rm{//}}\,AK\), suy ra điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BK\).

Do đó \(IB = IK\).

Mặt khác, vì \(AH \bot BC\) và \(BK \bot BC\) nên \(AH\,{\rm{//}}\,BK\).

Do điểm \(O\) là giao điểm của đường thẳng \(IC\) và đoạn thẳng \(AH\) nên ta có:

\(OA\,{\rm{//}}\,KI\) suy ra $\Delta COA\backsim \Delta CIK$ suy ra \(\frac{{OA}}{{IK}} = \frac{{CO}}{{CI}}\) (1).

\(OH\,{\rm{//}}\,BI\) suy ra $\Delta CHO\backsim \Delta CBI$ suy ra \(\frac{{OH}}{{IB}} = \frac{{CO}}{{CI}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{OA}}{{IK}} = \frac{{OH}}{{IB}}\).

Vì \(IK = IB\) nên \(OA = OH\), do đó điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\).

Thể tích chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp là:

\(V = {x^2}h = 4000\) suy ra \(h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}\) (với \({\rm{\;}}x > 0,\,\,h > 0\)).

Diện tích tấm bìa các-tông dùng để làm hộp là tổng diện tích một đáy hình vuông và bốn mặt bên:

\(S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x} = {x^2} + \frac{{8000}}{x} + \frac{{8000}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \({x^2},\,\,\frac{{8000}}{x},\,\,\frac{{8000}}{x}\):

\(S \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \frac{{8000}}{x} \cdot \frac{{8000}}{x}}} = 3 \cdot \sqrt[3]{{64000000}} = 3 \cdot 400 = 1200\) (cm²).

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

\({x^2} = \frac{{8000}}{x}\) suy ra \({x^3} = 8000\) suy ra \(x = 20\) (cm) (thỏa mãn).

Khi đó chiều cao \(h = \frac{{4000}}{{{{20}^2}}} = 10\) (cm) (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh đáy \(x\) để diện tích tấm bìa nhỏ nhất là \(x = 20\) cm.

*Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương \(a,b,c > 0\):

\(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\) suy ra \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Chứng minh:

Đặt \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\), \(z = \sqrt[3]{c}\). Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên \(x,\,\,y,\,\,z > 0\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

                       \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

Xét biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\):

\(P = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz\)

\(P = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

Nhân thêm 2 vào trong ngoặc để tạo thành tổng các bình phương:

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

Vì \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) nên \(x + y + z > 0\).

Các bình phương \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {y - z} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y,\,\,z\).

Do đó:

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

Suy ra \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0\) suy ra \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

Thay lại \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\), \(z = \sqrt[3]{c}\), ta được:

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) suy ra \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \(x - y = y - z = z - x = 0\) suy ra \(x = y = z\) hay \(a = b = c\).