Đề kiểm tra Giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn C

\(\tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha  < 0\,\forall \,\alpha  \in \left( {0\,;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

Chọn C

\[\cos 150^\circ  =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]suy ra A sai.

\[\cot 150^\circ  =  - \sqrt 3 \]suy ra B sai.

\[\tan 150^\circ  =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] suy ra C đúng.

\[\sin 150^\circ  = \frac{1}{2}\] suy ra D sai.

Chọn A

Trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \[\widehat {xOM} = \frac{\pi }{6}\] khi đó \[M\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\] nên \[\tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

a) \(A = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 3\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = \frac{1}{2} - 3 + 1 =  - \frac{3}{2}\).

b) \(B = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - 2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - 2 =  - \frac{{11}}{{12}}\).

c) \(C = 2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{5}{2}\)

d) \(D = \frac{{1 + 1}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} - 2}} =  - \frac{6}{5}\).

a) Ta có: $0^{°}<\alpha <{90}^{°}\Rightarrow {90}^{°}<\alpha +{90}^{°}<{180}^{°}$ $\Rightarrow \sin \left(\alpha +{90}^{°}\right)>0.$

b) Ta có: $0^{°}<\alpha <{90}^{°}\Rightarrow -{45}^{°}<\alpha -{45}^{°}<{45}^{°}$ $\Rightarrow \cos \left(\alpha -{45}^{°}\right)>0.$

c) Ta có: $0^{°}<\alpha <{90}^{°}\Rightarrow -{90}^{°}<-\alpha <0^{°}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {270}^{°}+\left(-{90}^{°}\right)<{270}^{°}+(-\alpha )<{270}^{°}+0^{°}\\ \Rightarrow {180}^{°}<{270}^{°}-\alpha <{270}^{°}\\ \Rightarrow \tan \left({270}^{°}-\alpha \right)>0\end{array}$

d) Ta có: $0^{°}<\alpha <{90}^{°}\Rightarrow {90}^{°}<2\alpha +{90}^{°}<{270}^{°}$

$\Rightarrow \cos \left(2\alpha +{270}^{°}\right)<0$

Ta có: \(\tan x =  - 2 \Rightarrow \cot x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow {A_1} = \frac{{ - \frac{5}{2} + 4 \cdot ( - 2)}}{{ - \frac{5}{2} - 4 \cdot ( - 2)}} =  - \frac{{21}}{{11}}\).

Vì \(\tan x =  - 2\) nên \(\cos x \ne 0\).

Chia tử và mẫu của biểu thức \({A_2}\) cho \(\cos x\), ta được:

\({A_2} = \frac{{\frac{{2\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} - \frac{{3\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{2\tan x + 1}}{{1 - 3\tan x}} = \frac{{2( - 2) + 1}}{{1 - 3( - 2)}} =  - \frac{3}{7}\)

a) Một vòng di chuyển của \(X\) chính là chu vi đường tròn:

\(C = 2\pi R = 2\pi .9200 = 18400\pi (km){\rm{. }}\)

Sau 1 giờ, vệ tinh di chuyển nửa đường tròn với quãng đường là:

\(\frac{1}{2}C = 9200\pi  \approx 28902,65(\;km){\rm{. }}\)

b) Sau 1,5 giờ, vệ tinh di chuyển được \(\frac{{1,5.1}}{2}\) đường tròn (hay \(\frac{3}{4}\) đường tròn), quãng đường là: \(\frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \cdot 18400\pi  = 13800\pi  \approx 43353,98(\;km)\).

c) Số giờ để vệ tinh \(X\) thực hiện quãng đường \(240000\;km\) là: \(\frac{{240000}}{{9200\pi }} \approx 8,3\) (giờ).

d) Sau 4,5 giờ thì số vòng tròn mà vệ tinh \(X\) di chuyển được là: \(\frac{{4,5}}{2} = \frac{9}{4}\) (vòng).

Số đo góc lượng giác thu được là: \(\frac{9}{4} \cdot 2\pi  = \frac{{9\pi }}{2}(rad)\).

Ta có:

6 giờ thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo \(\pi \) nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là \(\frac{1}{{12}}\pi \), suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là \(l = R\alpha  = 10,57 \times \frac{{3,14}}{{12}} \approx 2,77\;cm\).

Chú ý: 1 cung tròn bán kính \(R\) có góc tương ứng \(\alpha (rad)\) thì độ dài cung tròn là: \(l = \alpha R\).

Ta có $(Ou,Ov)={90}^{°}+k{360}^{°}(k\in \mathbb{Z})$

Tốc độ xe là: \(50\;km/h = \frac{{50.100000}}{{3600}}\;cm/s = \frac{{12500}}{9}\;cm/s\).

Mỗi vòng bánh \(x\) e có chiều dài: \(2\pi R = 2\pi  \cdot \frac{{55}}{2} = 55\pi (cm)\).

Vậy mỗi giây thì bánh xe lăn được số vòng là \(\frac{{12500}}{9}:(55\pi ) \approx 8,04\) (vòng).

Ta có: \(\alpha  = {\left( {\frac{1}{{60}}} \right)^ \circ } = \frac{{\pi  \cdot \frac{1}{{60}}}}{{180}} = \frac{\pi }{{10800}}{\rm{rad}}\).

Độ dài cung chắn góc \(a\) là: \(a \cdot R = \frac{\pi }{{10800}} \cdot 6371 \approx 1,85{\rm{\;km}}\).

Vậy 1 hải lí bằng 1,85km.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Kẻ MH vuông góc với Ox.

Điểm \(M\) là điểm biểu diễn góc lượng giác \(\alpha \).

Ta có: \(\alpha  = 3\frac{1}{{10}} \cdot {360^ \circ } = {1116^ \circ }\).

Khi đó \(M\left( {{\rm{cos }}{{1116}^ \circ }.15;{\rm{sin }}{{1116}^ \circ }.15} \right)\)

Suy ra \({\rm{OH}} = \left| {{\rm{cos }}{{1116}^ \circ }} \right|.15 \approx 12,1\).

Vậy độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được \(3\frac{1}{{10}}\) vòng là \(12,1{\rm{\;cm}}\).

Sau một phút di chuyển, van \(V\)đã quay được một góc lượng giác có số đo góc là: \[\;\alpha  = {\rm{11}}{\rm{.60 = }}660{\rm{ }}\left( {rad} \right).\]Khi đó tọa độ điểm \(V\) biểu diễn cho góc lượng giác trên có tọa độ là:

\(V\left( {58 \cdot {\rm{cos}}\alpha ;58 \cdot {\rm{sin}}\alpha } \right) \approx \left( {56;15,2} \right)\)

Khi đó khoảng cách từ van đễn mặt đất khoảng \(58 - 15,2 = 42,8{\rm{\;cm}}\).