Bài tập Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là sai?
sin(– 180°) = – sin 180°;
cos 0° = 1;
sin 0° = 0;
cot 0° = 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khẳng định D sai vì cot 0° không xác định.
Cho sin α = , cos α = . Giá trị của tan α là
;
2;
1;
– 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: tan α = = .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
sin 135° = sin 45°;
tan 90° = cot 90°;
sin = – cos 1;
tan = – cot 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức góc bù nhau ta có: sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45°.
Cho sin α = và 0° < α < 90°. Giá trị của cos α là:
;
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ cos2 α = 1 – sin2 α.
⇒ cos α = = = .
Vì 0° < α < 90° nên cos α > 0.
Vậy
Số thích hợp để điền vào chỗ trống sin (– 135°) = … là
;
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: sin (– 135°) = sin (45° – 180°) = – sin 45° = .
Vậy số thích hợp điền vào chỗ trống là
cos (x + 2023π) bằng kết quả nào sau đây?
cos x;
– sin x;
sin x;
– cos x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: cos (x + 2023π) = cos (x + 2022π + π) = cos (x + π + 1011. 2π)
= cos (x + π) = – cos x.
Cho cos α = và 0 < α < . Khi đó sin α có giá trị là:
;
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ sin2 α = 1 – cos2 α.
⇒ sin α = = = .
Vì 0 < α < nên sin α > 0.
Vậy
Trên nửa đường tròn đơn vị cho góc α sao cho sin α = \(\frac{2}{3}\) và cos α < 0. Khi đó tan α có giá trị bằng bao nhiêu?
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\);
\( - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\);
\( - \frac{2}{5}\);
1.
Đáp án đúng là: B
Ta có: sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ cos2 α = 1 – sin2 α.
\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\)
Mà cos α < 0 nên cos α = \( - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Hơn nữa, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
Cho cot α = và 90° < α < 180°. Đáp án nào sau đây là đúng?
sin α = ;
cos α = ;
sin α = ;
tan α = .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: 1 + cot2 α = ⇔ = 1 + ⇔ = .
Vì 90° < α < 180° nên sin α > 0 suy ra sin α = .
Cho tan α = , với π < α < . Khi đó cos α có giá trị bằng
;
;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: .
Suy ra = .
Mặt khác π < α < nên cos α < 0 ⇒ cos α = .
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Chọn khẳng định đúng?
sinα > 0, cosα > 0.
sinα < 0, cosα < 0.
sinα > 0, cosα < 0.
sinα < 0, cosα > 0.
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên sinα > 0, cosα < 0.
Chọn phát biểu đúng.
sin2α – cos2α = 1.
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
sin2α + cos2α = 1.
Đáp án đúng là: D
sin2α + cos2α = 1.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của sinα bằng
\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(\frac{5}{9}\).
\( - \frac{5}{9}\).
Đáp án đúng là: B
Có sin2α + cos2α = 1 nên \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\).
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên sinα < 0 nên \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) và \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\). Giá trị của tanα bằng
\(\sqrt {15} \).
\( - \sqrt {15} \).
\(\frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
\( - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\) nên sinα < 0 và cosα < 0. Suy ra tanα > 0.
Có \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}:\frac{{ - 1}}{4} = \sqrt {15} \).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của sinα bằng:
\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \sin \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) thay vào biểu thức sin2α + cos2α = 1, ta được: \({\sin ^2}\alpha + \left( {\sin \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha - \sqrt 2 \sin \alpha - \frac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt 6 }}{4}\).
Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên sinα > 0. Do đó \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
Cho góc lượng giác α có số đo tổng quát \(x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
Điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.
Giá trị cosα nhận dấu dương.
Giá trị sinα nhận dấu dương.
Giá trị tanα nhận dấu âm.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Có \( - \frac{\pi }{2} < - \frac{\pi }{3} < 0\) thuộc góc phần tư thứ IV nên điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.
b) Đúng. Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên cosα > 0.
c) Sai. Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên sinα < 0.
d) Đúng. Vì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\) và 90° < α < 180°.
Giá trị \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).
Giá trị \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\).
Giá trị \(\cot \alpha = - \frac{4}{3}\).
Điểm biểu diễn của góc α nằm ở góc phần tư thứ II.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0.
Do đó \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}} = \frac{3}{5}\).
b) Sai. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{5}:\left( { - \frac{4}{5}} \right) = - \frac{3}{4}\).
c) Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{4}{3}\).
d) Đúng. Vì 90° < α < 180° nên điểm biểu diễn của góc α nằm ở góc phần tư thứ II.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn tanα = 2 và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\).
Giá trị của \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\).
Giá trị của \(\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Giá trị của \(\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Cả hai giá trị sinα và cosα đều nhận dấu âm do góc α thuộc góc phần tư thứ III.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}\).
b) Đúng. Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cosα < 0.
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {2^2} = 5 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
c) Sai. Ta có \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
d) Đúng. Góc phần tư thứ III nên sinα < 0; cosα < 0.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn cosα < 0 và cotα = −3.
Vì cotα < 0 và cosα < 0 nên góc α có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II.
Giá trị của \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Giá trị của \(\cos \alpha = - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Giá trị của tanα = 3.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì cosα < 0 và cotα < 0 nên sinα > 0 nên góc α có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II.
b) Đúng. \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\)
\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\) (do sinα > 0).
c) Đúng. \(\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = - 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
d) Sai. \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{1}{3}\).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha = - \frac{1}{3}\).
Điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác nằm ở góc phần tư thứ III.
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\tan \alpha = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
\(\cot \alpha = 2\sqrt 2 \).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và sinα < 0 nên điểm biểu diễn của góc α thuộc góc phần tư thứ III.
b) Đúng. Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cosα < 0.
Do đó \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
c) Sai. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \left( { - \frac{1}{3}} \right):\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
d) Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\sqrt 2 \).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\). Tính giá trị của cosα (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: -0,92
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosα < 0.
Do đó \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{{ - 12}}{{13}} = - 0,92\).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\cot \alpha = - \sqrt 3 \) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \). Tính giá trị của sinα
Đáp án: -0,5
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên sinα < 0.
Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{1}{2} = - 0,5\).
Cho góc lượng giác α có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ III và thỏa mãn \({\cos ^2}\alpha = \frac{9}{{25}}\). Tính giá trị của tanα.
Đáp án: 1,33
Vì góc lượng giác α có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ III nên sinα < 0 và cosα < 0 nên tanα > 0.
Có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{{25}}{9} - 1 = \frac{{16}}{9}\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{4}{3} \approx 1,33\) (do tanα > 0).
Cho góc lượng giác α thỏa mãn \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}\). Biết \(\cos \alpha = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính a + b.
Đáp án: 9
Bình phương hai vế của \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}\) ta được:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{24}}{{25}}\)
Xét hiệu: \({\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{{24}}{{25}} = \frac{1}{{25}}\).
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}\) nên \(\cos \alpha > \sin \alpha \Rightarrow \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{5}\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{7}{5}}\\{\cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow 2\cos \alpha = \frac{8}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5}\).
Suy ra a = 4; b = 5. Vậy a + b = 9.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn tanα = −2 và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Biết \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt b }}{c}\). Tính b + c.
Đáp án: 10
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) (góc phần tư thứ II) nên sinα > 0 và cosα < 0.
Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( { - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Suy ra b = 5; c = 5. Vậy b + c = 10.
