Bài tập Số đo của góc lượng giác và hệ thức Chasles lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng 120° là
–120° + k360° (k ∈ ℤ);
120° + k360° (k ∈ ℤ);
120° + k180° (k ∈ ℤ);
–120° + k180° (k ∈ ℤ).
Đáp án đúng là: B
Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng 120° là: 120° + k360° (k ∈ ℤ).
Cho góc hình học uOv = 45°. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong hình vẽ sau:
60°;
– 45°;
45°;
– 60°.
Đáp án đúng là: C
Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov quay theo chiều dương có số đo là:
sđ (Ou, Ov) = 45°.
Cho góc hình học uOv = 75°. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong hình vẽ sau:
315°;
–315°;
285°;
–285°.
Đáp án đúng là: D
Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov quay theo chiều âm có số đo là:
– (360° – 75°) = – 285°.
Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong hình vẽ sau:
225°;
–225°;
135°;
–135°.
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ, góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov quay theo chiều âm có số đo là:
–225°.
Cho góc lượng giác (OA, OB) có số đo bằng \(\frac{\pi }{5}\). Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác (OA, OB)?
\(\frac{{6\pi }}{5}\);
\(\frac{{ - 11\pi }}{5}\);
\(\frac{{9\pi }}{5}\);
\(\frac{{31\pi }}{5}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{31\pi }}{5} = \frac{\pi }{5} + \frac{{30\pi }}{5} = \frac{\pi }{5} + 6\pi = \frac{\pi }{5} + 3 \cdot 2\pi \).
Vậy góc lượng giác có số đo \(\frac{{31\pi }}{5}\) có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác (OA, OB).
Cho góc lượng giác (OA, OB) có số đo 395°. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác (OA, OB)?
45°;
–35°;
35°;
–45°.
Đáp án đúng là: C
Ta có: 395° = 360° + 35°.
Trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 30 phút, kim phút quét một góc lượng giác bằng
– 900°;
– 1 000°;
900°;
– 1 000°.
Đáp án đúng là: A
Đổi 2 giờ 30 phút = \(\frac{5}{2}\) giờ.
Trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 30 phút, kim phút quét một góc lượng giác là: \(\frac{5}{2}\). (– 360°) = – 900° (do chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm).
Các góc lượng giác (Ox, Ou) và (Ox, Ov) có số đo lần lượt là –270° và 135°. Số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) là
50° + m360°, m ∈ ℤ;
45° + m360°, m ∈ ℤ;
–45° + m360°, m ∈ ℤ;
–50° + m360°, m ∈ ℤ.
Đáp án đúng là: B
C. Theo hệ thức Chasles, ta có:
D. sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° (k ∈ ℤ).
A. =135°– (– 270°) + k360° = 405° + k360° = 45° + 360° + k360°
B. = 45° + (k + 1)360° = 45° + m360° (m = k + 1, m ∈ ℤ).
C. Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là: 45° + m360° (m ∈ ℤ).
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là \(\frac{{3\pi }}{4}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{5\pi }}{4}\). Số đo của góc lượng giác (Ov, Ow) là
\(\frac{{ - \pi }}{2}\) + k2π (k ∈ ℤ);
\(\frac{\pi }{2}\) + k2π (k ∈ ℤ);
\(\frac{{ - \pi }}{3}\) + k2π (k ∈ ℤ);
\(\frac{\pi }{3}\) + k2π (k ∈ ℤ).
Đáp án đúng là: B
Theo hệ thức Chasles, ta có:
sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) – sđ (Ou, Ov) + k2π = \(\frac{{5\pi }}{4}\) – \(\frac{{3\pi }}{4}\) + k2π = \(\frac{\pi }{2}\) + k2π (k ∈ ℤ).
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là \(\frac{{ - 5\pi }}{4}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{15\pi }}{4}\). Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow) biết rằng 4π < sđ (Ov, Ow) < 6π.
4π;
7π;
5π;
6π.
Đáp án đúng là: C
Theo hệ thức Chasles: sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k2π (k ∈ ℤ).
Suy ra: sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) – sđ (Ou, Ov) + k2π
= \(\frac{{15\pi }}{4}\)– \(\left( {\frac{{ - 5\pi }}{4}} \right)\)+ k2π
= 5π + k2π (k ∈ ℤ).
Theo đề: 4π < sđ (Ov, Ow) < 6π ⇔ 4π < 5π + k2π < 6π ⇔ –π < k2π < π
⇔ \(\frac{{ - 1}}{2} < k < \frac{1}{2}\)⇔ k = 0 (vì k ∈ ℤ).
Vậy sđ (Ov, Ow) = 5π.
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo tổng quát là 120° + k360° (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)). Giá trị nào sau đây cũng là một số đo của góc lượng giác đã cho?
240°.
480°.
−120°.
340°.
Đáp án đúng là: B
Giá trị 480° cũng là một số đo của góc lượng giác đã cho vì với k = 1 thì
120° + k360° = 120° + 360° = 480°.
Cho ba tia Ou, Ov, Ow bất kì. Chọn phát biểu đúng?
(Ou, Ov) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
(Ou, Ov) + (Ow, Ov) = (Ou, Ow) + k2π (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
(Ou, Ov) (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
(Ov, Ou) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Đáp án đúng là: A
(Ou, Ov) + (Ov, Ow) = (Ou, Ow) + k2π (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Cho hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối. Biết số đo của góc thứ nhất là \(\frac{\pi }{4}\). Số đo của góc thứ hai có thể là giá trị nào sau đây?
\( - \frac{\pi }{4}\).
\(\frac{{5\pi }}{4}\).
\(\frac{{9\pi }}{4}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo là \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do đó \(\frac{{9\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 2\pi \). Nên số đo góc thứ hai có thể là \(\frac{{9\pi }}{4}\).
Cho ba tia Ou, Ov, Ow thỏa mãn số đo của hai góc lượng giác lần lượt là (Ou, Ov) = 45° + k360° và (Ov, Ow) = 60° + n360° (k, n \(\in\) \(\mathbb{Z}\)). Số đo tổng quát của góc lượng giác (Ou, Ow) là
105° + m360° (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
−15° + m360° (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
15° + m360° (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
105° + m180° (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Đáp án đúng là: A
Ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) = 45° + k360° + 60° + n360° = 105° + (k + n)360°
= 105° + m360° (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng \(\frac{\pi }{5}\). Trong các góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, góc lượng giác có số đo α thỏa mãn điều kiện −3π < α ≤ −π là
\( - \frac{{4\pi }}{5}\).
\( - \frac{{9\pi }}{5}\).
\( - \frac{{14\pi }}{5}\).
\( - \frac{{19\pi }}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo là \(\frac{\pi }{5} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì −3π < α ≤ −π nên \( - 3\pi < \frac{\pi }{5} + k2\pi \le - \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{8}{5} < k \le - \frac{3}{5}\).
Mà k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) nên k = 1. Suy ra \(\alpha = \frac{\pi }{5} - 2\pi = - \frac{{9\pi }}{5}\).
Các phát biểu sau đúng hay sai?
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo trùng nhau hoàn toàn.
Khi một tia quay xung quanh gốc của nó từ tia đầu đến tia cuối ngược chiều kim đồng hồ đúng 2 vòng thì số đo góc lượng giác tạo thành là 720°.
Hệ thức Chasles chỉ đúng khi ba tia Ou, Ov, Ow đôi một không trùng nhau.
Với hai tia Ou, Ov bất kì, ta luôn có (Ou, Ov) = -(Ov, Ou) + k2π, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì số đo của chúng sai khác nhau một bội nguyên của 2π hoặc 360° chứ không bắt buộc phải bằng nhau tuyệt đối.
b) Đúng. Quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương. 1 vòng ứng với 360°, quay 2 vòng ứng với 2360° = 720°.
c) Sai. Hệ thức Chasles luôn đúng với mọi bộ ba tia bất kỳ trong mặt phẳng, không phân biệt trùng nhau hay không.
d) Đúng. Đây là tính chất đảo tia của góc lượng giác: (Ou, Ov) = (Ov, Ou) + k2π, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).
Cho hai tia Ou và Ov. Biết một góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng −150°. Các phát biểu sau đúng hay sai?
Số đo tổng quát của tất cả các góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov là −150° + k360° (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Góc lượng giác (Ou, Ov) có một số đo dương là 210°.
Góc lượng giác (Ou, Ov) có một số đo âm là −410°.
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, tia cuối Ov của góc lượng giác này nằm ở góc phần tư thứ III.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo là \( - 150^\circ + k360^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Đúng. Với k = 1 thì 150° + k360° = −150° + 360° = 210°.
c) Sai. Có 410° = 150° + k360° \(\Leftrightarrow\) \(k = - \frac{{13}}{{18}} \notin \mathbb{Z}\). Do đó góc lượng giác (Ou, Ov) không có một số đo âm là −410°.
d) Đúng. Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, tia cuối Ov của góc lượng giác này nằm ở góc phần tư thứ III.
Cho ba tia lượng giác Ou, Ov, Ow thỏa mãn \(\left( {Ou,Ov} \right) = \frac{\pi }{6} + k2\pi \) và \(\left( {Ow,Ov} \right) = \frac{\pi }{3} + n2\pi \) (k, n \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Theo hệ thức Chasles, ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + m2π (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Số đo tổng quát của góc lượng giác (Ov, Ow) là \( - \frac{\pi }{3} + n'2\pi \left( {n' \in \mathbb{Z}} \right)\).
Số đo tổng quát của góc lượng giác (Ou, Ow) là \( - \frac{\pi }{6} + m2\pi \left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).
Góc hình học bởi hai tia cuối của hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ou, Ow) bằng 90°.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Theo hệ thức Chasles, ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + m2π (m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
b) Đúng. Vì \(\left( {Ow,Ov} \right) = \frac{\pi }{3} + n2\pi \) nên \(\left( {Ov,Ow} \right) = - \frac{\pi }{3} + n'2\pi \left( {n' \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Đúng. Có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow)
\( = \frac{\pi }{6} + k2\pi + \left( { - \frac{\pi }{3} + n'2\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + m2\pi \left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) Sai. (Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) \( = - \frac{\pi }{6} + m2\pi - \left( {\frac{\pi }{6} + k2\pi } \right) = - \frac{\pi }{3} + h2\pi \left( {h \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do đó góc hình học bởi hai tia cuối của hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ou, Ow) bằng 60°.
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo tổng quát là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Người ta cần lọc ra các giá trị của k sao cho số đo x nằm trong khoảng giới hạn từ −2π đến 5π.
Có tất cả 4 giá trị nguyên của k thỏa mãn điều kiện bài toán.
Số đo lớn nhất của góc lượng giác thỏa mãn điều kiện giới hạn trên là \(\frac{{17\pi }}{4}\).
Số đo nhỏ nhất của góc lượng giác thỏa mãn điều kiện giới hạn trên là \( - \frac{{7\pi }}{4}\).
Tổng tất cả các số đo x tìm được thỏa mãn điều kiện bằng 5π.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì −2π ≤ x ≤ 5π nên \( - 2\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{9}{8} \le k \le \frac{{19}}{8}\).
mà k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) nên k \(\in\) {−1; 0; 1; 2}.
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên.
b) Đúng. Số đo lớn nhất của góc lượng giác thỏa mãn điều kiện giới hạn trên ứng với k = 2.
Khi đó \(x = \frac{\pi }{4} + 2 \cdot 2\pi = \frac{{17\pi }}{4}\).
c) Đúng. Số đo nhỏ nhất của góc lượng giác thỏa mãn điều kiện giới hạn trên ứng với k = 1.
Khi đó \(x = \frac{\pi }{4} - 2\pi = - \frac{{7\pi }}{4}\).
d) Đúng. Tổng tất cả các số đo x là \( - \frac{{7\pi }}{4} + \frac{\pi }{4} + \frac{{9\pi }}{4} + \frac{{17\pi }}{4} = 5\pi \).
Một người quan sát chiếc kim phút của một đồng hồ công cộng. Ban đầu, kim phút đang chỉ đúng vào số 12 (gọi là tia đầu Ou). Người bảo trì tiến hành vặn kim phút để điều chỉnh lại giờ theo hai giai đoạn liên tiếp:
Giai đoạn 1: Vặn kim phút quay ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương lượng giác) đúng 3 vòng toàn vẹn rồi dừng lại ở vị trí tia Ov.
Giai đoạn 2: Từ vị trí tia Ov, người đó tiếp tục vặn kim phút quay cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm lượng giác) một góc có số đo bằng 90° và kết thúc tại vị trí tia Ow (kim phút chỉ vào số 3). Kí hiệu (Ou, Ov) và (Ov, Ow) lần lượt là các góc lượng giác tạo bởi các giai đoạn quay của kim phút. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
Góc lượng giác (Ou, Ov) ở giai đoạn 1 có số đo bằng 720°.
Góc lượng giác (Ov, Ow) ở giai đoạn 2 có số đo bằng −90°.
(Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + k360°, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).
Giá trị α = 990° là một số đo của góc lượng giác (Ou, Ow).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. (Ou, Ov) = 3360° = 1080°.
b) Đúng. (Ov, Ow) = −90°.
c) Đúng. (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + k360°, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).
d) Đúng. Ta có (Ou, Ow) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + k360° = 1080° + (−90°) + k360°
= 990° + k360°, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).
Với k = 0 thì (Ou, Ow) = 990°.
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo tổng quát \(x = - 45^\circ + k360^\circ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Tìm số đo dương nhỏ nhất (đơn vị độ) của góc lượng giác đã cho.
Đáp án: 315
Số đo dương nhỏ nhất ứng với k = 1.
Do đó x = −45° + 360° = 315°.
Cho ba tia Ou, Ov, Ow trong mặt phẳng. Biết số đo của hai góc lượng giác tương ứng là (Ou, Ov) = 110° + k360° và (Ou, Ow) = −50° + n360° (k, n \(\in\) \(\mathbb{Z}\)). Áp dụng hệ thức Chasles, hãy tính số đo dương nhỏ nhất (đơn vị: độ) của góc lượng giác (Ov, Ow).
Đáp án: 200
Có (Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) = −50° + n360° (110° + k360°) = 160° + m360° (m \(\in\) Z).
Số đo dương nhỏ nhất ứng với m = 1.
Khi đó (Ov, Ow) = −160° + 360° = 200°.
Cho hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối. Biết góc thứ nhất có số đo là \(\frac{\pi }{3}\), góc hai có số đo tổng quát là \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Tìm giá trị số nguyên k để góc thứ hai đạt số đo âm lớn nhất.
Đáp án: −1
Theo đề ta có \(\frac{\pi }{3} + k2\pi < 0\)\( \Leftrightarrow k < - \frac{1}{6}\).
Để góc thứ hai đạt số đo âm lớn nhất thì k = −1.
Cho bốn tia Ou, Ov, Ow, Ox sắp xếp theo thứ tự vòng quay lượng giác. Biết rằng (Ou, Ov) = 40° + k360°, (Ov, Ow) = 50° + n360° và (Ow, Ox) = 30° + m360° (k, n, m \(\in\) \(\mathbb{Z}\)). Tìm hằng số góc cố định (đơn vị: độ, thuộc khoảng [0°; 360°)) của góc lượng giác tạo bởi tia đầu Ou và tia cuối Ox.
Đáp án: 120
(Ou, Ox) = (Ou, Ov) + (Ov, Ow) + (Ow, Ox) = 40° + 50° + 30° + p360° = 120° + p360°, (p \(\in\) \(\mathbb{Z}\)).
Hằng số góc cố định là 120°.
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo tổng quát là x = 135° + k360° (k \(\in\) \(\mathbb{Z}\)). Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để số đo x của góc lượng giác này thỏa mãn điều kiện −1000° ≤ x ≤ 1000°.
Đáp án: 6
Theo đề ta có −1000° ≤ 135° + k360° ≤ 1000° \(\Leftrightarrow\) \( - \frac{{173}}{{72}} \le k \le \frac{{227}}{{72}}\).
Mà k \(\in\) \(\mathbb{Z}\) nên k \(\in\) {−2; −1; 0; 1; 2; 3}.
Vậy có 6 giá trị nguyên.
