Bài tập Xác định độ dài cung tròn lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một đường tròn có bán kính là 10 cm. Độ dài cung tròn có số đo bằng là
cm;
cm;
cm;
cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Độ dài của cung tròn là: l = 10 . = cm.
Một đường tròn có bán kính là 15 cm. Độ dài cung tròn có số đo bằng 30° là
cm;
cm;
cm;
cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Độ dài cung tròn là: l = 15. = cm.
Một đường tròn có bán kính là 12 cm. Độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 30° là
3,5π cm;
2,5π cm;
3π cm;
2π cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: số đo cung thì bằng góc ở tâm cùng chắn một cung (lý thuyết lớp 9).
Vì vậy cung tròn có góc ở tâm bằng 30° thì có số đo là 30°.
Độ dài cung tròn có số đo 30° là: 12 . = 2π cm.
Một đường tròn có bán kính là 25 cm. Một cung tròn có số đo là 3,5 rad. Độ dài của cung tròn đó là
87,5 cm;
88,5 cm;
89 cm;
90 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có l = 25 . 3,5 = 87,5 cm.
Cho đường tròn có bán kính bằng 5 cm. Kí hiệu α là số đo của cung có độ dài bằng 4 cm. Đáp án nào sau đây là đúng?
α = 1 rad;
α = 1,8 rad;
α = 0,8 rad;
α = 0,9 rad.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ công thức tính độ dài l = R . α.
Suy ra α = .
Vậy số đo cung có độ dài bằng 4 cm là:
α = = 0,8 rad.
Cho đường tròn có bán kính bằng 8 cm. Số đo của cung tròn có độ dài bằng 4 cm là
5 rad;
0,5 rad;
2 rad;
0,2 rad.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
- Ta có: α = .
- Vậy số đo cung có độ dài bằng 4 cm là:
α = = 0,5 rad.
Cho đường tròn có bán kính bằng 10 cm. Số đo của cung tròn có độ dài bằng 6 cm là α = ... rad. Số thích hợp để điền vào chỗ trống là
0,4;
0,9;
0,8;
0,6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: α = .
Vậy số đo cung có độ dài bằng 6 cm là:
α = = 0,6 rad.
Trong 10 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 30 vòng. Độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 2 phút, biết rằng bán kính xe máy bằng 5 cm (lấy π = 3,1416) là
11 309,75 cm;
11 307,76 cm;
11 304,6 cm;
11 309,76 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đổi: 2 phút = 120 giây
Trong 2 phút bánh xe gắn máy quay được số vòng là:
120 . = 360 (vòng)
Khi bánh xe của xe gắn máy quay 1 vòng thì xe đi được:
5 . 2π= 5 . 2. 3,1416 = 31,416 (cm)
Độ dài quãng đường xe máy đi được trong 2 phút là:
31,416 . 360 = 11 309,76 (cm).
Biết độ dài cung tròn có số đo 60° là 6π. Độ dài cung tròn có số đo 100° là
6π;
8π;
10π;
10,5π.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Độ dài cung tròn có số đo 60° là l1 = R . = = 6π.
Từ đó suy ra bán kính R = 18.
Vậy độ dài cung tròn có số đo 100° là l2 = R . = = 10π.
Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây. Độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe là 680 mm là
89 760π mm;
89 761π mm;
88 760π mm;
90 760π mm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có 1 phút = 60 giây.
Trong 1 phút bánh xe quay được: 60 . = 132 vòng.
Chu vi của bánh xe đạp là: C = π . 2R = π . d = 680π mm.
Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút là:
680π . 132 = 89 760π mm.
Một đường tròn có bán kính R. Độ dài l của một cung tròn có số đo α (tính bằng đơn vị radian) được xác định bởi công thức nào sau đây?
\(l = \frac{R}{\alpha }\).
l = Rα.
\(l = \frac{\alpha }{R}\).
l = πR2α.
Đáp án đúng là: B
l = Rα.
Một đường tròn có bán kính R. Độ dài l của một cung tròn có số đo a° (tính bằng đơn vị độ) được xác định bởi công thức nào sau đây?
\(l = \frac{{\pi Ra}}{{180}}\).
\(l = \frac{{\pi Ra}}{{360}}\).
\(l = \frac{{Ra}}{{180}}\).
\(l = \frac{{\pi {R^2}a}}{{180}}\).
Đáp án đúng là: A
\(l = R \cdot \left( {a \cdot \frac{\pi }{{180}}} \right) = \frac{{\pi Ra}}{{180}}\).
Trên một đường tròn có bán kính R = 20 cm, độ dài của cung tròn có số đo α = 1,5 rad bằng bao nhiêu?
15 cm.
30 cm.
40 cm.
13,3 cm.
Đáp án đúng là: B
Có l = Rα = 201,5 = 30 cm.
Một cung tròn có độ dài bằng bán kính của đường tròn đó. Số đo bằng radian của cung tròn này là
π rad.
1 rad.
\(\frac{\pi }{2}\) rad.
180 rad.
Đáp án đúng là: B
Theo đề ta có R = Rα α = 1 rad.
Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo tròn có bán kính tính từ tâm Trái Đất là 6800 km. Nếu vệ tinh di chuyển dọc theo quỹ đạo được một cung tròn có số đo bằng 30°, quãng đường vệ tinh đã bay được bằng bao nhiêu ki lô mét? (lấy π ≈ 3,1416 làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
1780 km.
3560 km.
1187 km.
2136 km.
Đáp án đúng là: B
Quãng đường vệ tinh bay được chính là độ dài cung tròn quỹ đạo dịch chuyển
\(l = \frac{{\pi R\alpha }}{{180}} = \frac{{3,1416 \cdot 6800 \cdot 30}}{{180}} \approx 3560\) km.
Cho đường tròn bán kính R = 12 cm. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
Độ dài của cung tròn có số đo α = 2 rad là 24 cm.
Độ dài của cung tròn chắn góc bẹt ở tâm là 12π cm.
Độ dài của một cung tròn bất kì trên đường tròn này luôn lớn hơn bán kính R.
Cung tròn có số đo α = 0,5 rad thì có độ dài bằng 6 cm.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. l = 122 = 24 cm.
b) Đúng. l = 12π = 12π cm.
c) Sai. ví dụ α = 0,1 rad thì l = 1,2 cm < 12 cm.
d) Đúng. l = 120,5 = 6 cm.
Một kim phút của chiếc đồng hồ treo tường có chiều dài tính từ trục quay đến đầu mút của kim là R = 15 cm. Người ta theo dõi chuyển động đầu mút của kim phút trong các khoảng thời gian khác nhau.
Trong 15 phút, kim phút quét được một cung tròn có số đo radian là \(\frac{\pi }{2}\) rad.
Quãng đường đầu mút kim phút dịch chuyển trong 15 phút là 7,5π cm.
Trong đúng 1 giờ, đầu mút kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng 30π cm.
Nếu đầu mút kim phút dịch chuyển một quãng đường dài đúng bằng 10π cm thì thời gian đã trôi qua là 25 phút.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Một vòng đồng hồ là 60 phút ứng với 2π rad. Trong 15 phút (bằng \(\frac{1}{4}\) vòng), kim phút quét được góc \(\frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\) rad.
b) Đúng. Độ dài mút kim vạch lên là l = Rα = \(15 \cdot \frac{\pi }{2} = 7,5\pi \) cm.
c) Đúng. Trong 1 giờ, độ dài l = 152π = 30π cm.
d) Sai. Ta có l = 10π (cm) \( \Rightarrow \alpha = \frac{{10\pi }}{{15}} = \frac{{2\pi }}{3}\) rad.
Vì 1 vòng đồng hồ 2π tương ứng với 60 phút nên góc \(\frac{{2\pi }}{3}\) tương ứng với 20 phút.
Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) có bán kính thỏa mãn tỉ lệ R2 = 2R1. Trên đường tròn (O1) lấy cung c1 có số đo α1 = 60°, trên đường tròn (O2) lây cung c2 có số đo α2 = 30°. Gọi l1, l2 lần lượt là độ dài của hai cung tròn đó.
Số đo của cung c1 đổi sang radian là \(\frac{\pi }{3}\) rad.
Độ dài cung l1 được tính theo công thức \({l_1} = \frac{{\pi {R_1}}}{3}\).
Độ dài cung l2 nhỏ hơn độ dài cung l1.
Hai cung trong c1 và c2 có độ dài bằng nhau.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{3}\) rad.
b) Đúng. \({l_1} = {R_1} \cdot \frac{\pi }{3} = \frac{{\pi {R_1}}}{3}\).
c) Sai. Có \(30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{6}\)\( \Rightarrow {l_2} = {R_2} \cdot \frac{\pi }{6}\).
Mà R2 = 2R1 nên \({l_2} = 2{R_1} \cdot \frac{\pi }{6} = \frac{{\pi {R_1}}}{3}\) . Suy ra l1 = l2.
d) Đúng. Theo câu c.
Một chiếc ròng rọc có bán kính trục xoay quay là R = 10 cm. Người ta kéo một đầu dây thừng làm ròng rọc quay xung quanh trục. Xét chuyển động của một điểm cố định trên mép ròng rọc.
Nếu ròng rọc quay được đúng 2,5 vòng thì đoạn dây thừng bị kéo đi một chiều dài là 50π cm.
Nếu đoạn dây thừng dịch chuyển một khoảng dài 15 cm, góc mà ròng rọc đã quay bằng 1,5 rad.
Để ròng rọc quay được một góc bằng 120°, ta phải kéo sợi dây dịch chuyển một đoạn dài khoảng 30,94 cm (lấy π ≈ 3,1416).
Khi kéo sợi dây thừng một đoạn đúng bằng chu vi ròng rọc, số đo của cung quay tương ứng là 360°.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. 1 vòng tương ứng với góc 2π rad 2,5 vòng tương ứng với 2,52π = 5π rad.
Chiều dài dây bị kéo bằng độ dài cung lăn l = 105π = 50π cm.
b) Đúng. Có l = 15 cm \( \Rightarrow \alpha = \frac{l}{R} = \frac{{15}}{{10}} = 1,5\) rad.
c) Sai. Có \(120^\circ = \frac{{2\pi }}{3}\) rad \( \Rightarrow l = 10 \cdot \frac{{2 \cdot 3,1416}}{3} \approx 20,944\;cm \approx 20,94\;cm\).
d) Đúng. Chu vi đường tròn là cung trọn vẹn 1 vòng có số đo bằng 360°.
Một cung tròn có độ dài l = 10π cm nằm trên một đường tròn có bán kính R.
Nếu số đo của cung tròn là 60° thì bán kính đường tròn tương ứng R = 30 cm.
Nếu số đo của cung tròn là \(\frac{\pi }{4}\) rad thì bán kính đường tròn tương ứng là R = 40 cm.
Bán kính R và số đo góc lượng giác α (đơn vị radian) của cung tròn này luôn tỉ lệ thuận với nhau.
Khi bán kính đường tròn tăng lên gấp đôi thì số đo góc ở tâm (đơn vị độ) chắn cung tròn có độ dài 10π cm cố định trên sẽ giảm đi một nửa.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Có \(l = \frac{{\pi R\alpha }}{{180}} \Rightarrow 10\pi = \frac{{\pi \cdot R \cdot 60}}{{180}} \Rightarrow R = 30\) cm.
b) Đúng. \(l = R\alpha \Rightarrow 10\pi = R \cdot \frac{\pi }{4} \Rightarrow R = 40\)cm.
c) Sai. Có \(\alpha = \frac{l}{R} \Rightarrow \alpha = \frac{{10\pi }}{R}\).
Do đó bán kính R và số đo góc α tỉ lệ nghịch với nhau.
d) Đúng. Vì α và R tỉ lệ nghịch với nhau nên khi bán kính R tăng lên gấp 2 lần thì số đo góc chắn cung giảm đi 1 nửa.
Một chiếc quạt giấy khi mở rộng tối đa tạo thành một hình quạt tròn bán kính 30 cm với góc ở tâm bằng 150°. Độ dài cung tròn mép ngoài cùng của chiếc quạt giấy đó là \(a\pi \) (cm, a ∈ ℕ). Tính a + b.
Đáp án: 25
Có \(150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}rad\).
Độ dài cung tròn mép quạt giấy là \(l = R\alpha = 30 \cdot \frac{{5\pi }}{6} = 25\pi \). Suy ra a = 25.
Trên một đường tròn, một cung có số đo 135° thì có độ dài bằng 9π cm. Hãy xác định bán kính R (cm) của đường tròn này.
Đáp án: 12
Có \(135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{4}rad\).
Mà \(l = R\alpha \Rightarrow 9\pi = R \cdot \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow R = 12\).
Một vận động viên chạy xe đạp địa hình trên một đường đua hình tròn bán kính R = 50 cm. Người đó xuất phát từ điểm xuất phát và dừng lại sau khi đi được quãng đường dài đúng 125 cm. Tính số đo của cung tròn mà vận động viên đã di chuyển (đơn vị rad).
Đáp án: 2,5
Số đo cung tròn \(\alpha = \frac{l}{R} = \frac{{125}}{{50}} = 2,5\) rad.
Một khúc cua trên đường đua xe công thức 1 được thiết kế dạng một cung tròn. Một tay đua điều khiển xe di chuyển dọc theo khúc cua này với tốc độ không đổi. Hệ thống định vị ghi nhận xe mất đúng 3 giây để đi hết khúc cua, đồng thời góc quay của vô lăng tạo nên một góc ở tâm chắn cung cua đó có số đo bằng 60°. Biết vận tốc của xe đua trong suốt khúc cua là 60 m/s. Hãy xác định bán kính thiết kế (đơn vị: mét) của khúc cua tròn này. (Lấy π ≈ 3,1416 và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 172
Độ dài cung tròn chính là quãng đường xe đua đã di chuyển trong khúc cua suốt thời gian 3 giây với vận tốc 60 m/s.
Khi đó l = vt = 603 = 180 m.
Có \(\alpha = 60 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{3}\) rad.
Có \(R = \frac{l}{\alpha } = \frac{{180}}{{\frac{\pi }{3}}} = \frac{{540}}{{3,1416}} \approx 172\) m.
Một con lắc đồng hồ có chiều dài dây treo thanh lắc là 60 cm. Khi hoạt động con lắc dao động qua lại vạch nên một cung tròn có độ dài bằng 8π cm. Góc mở biên độ dao động từ vị trí tận cùng bên trái đến vị trí tận cùng bên phải của con lắc đó bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 24
Ta có \(l = R\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{l}{R} = \frac{{8\pi }}{{60}} = \frac{{2\pi }}{{15}}\) rad \( = \frac{{2\pi }}{{15}} \cdot {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ } = 24^\circ \).
