Bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Biểu thức rút gọn H = 2cos x – 3cos (π– x) + 5sin \(\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\) bằng
tan x;
cot x;
sin x;
cos x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
H = 2cos x – 3cos (π– x) + 5sin \(\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\)
= 2cos x + 3cos x + 5sin \(\left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\)
= 5cos x + 5sin \(\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
= 5cos x – 5sin \(\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) + tan x
= 5cos x – 5cos x + tan x
= tan x.
Biểu thức đơn giản củaK = (1 – sin2 x)cot2 x + (1 – cot2 x)là
sin2 x;
cos2 x;
– sin2 x;
– cos2 x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
K = (1 – sin2 x)cot2 x + (1 – cot2 x) = cot2 x – sin2 x.cot2 x + 1 – cot2 x
= – cos2 x + 1 = sin2 x.
Rút gọn biểu thức M = cos + sin (α –π) ta được
cos α + sin α;
2sin α;
sin α– cos α;
0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
M = cos + sin (α – π) = cos – sin α = sin α – sin α = 0.
Biết \(P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }} = a{\tan ^2}\alpha .\) Giá trị của a là
1;
2;
– 2;
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha c{\rm{os }}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1}}{{\frac{{{\rm{cos }}\alpha }}{{{\rm{sin }}\alpha }} - \sin \alpha \cos \alpha }}\)
\( = \frac{{ - 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha {\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cos \alpha }}\) \( = \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha c{\rm{os }}\alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}}\) \( = \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\)
= \( - 2{\tan ^2}\alpha \).
Vậy a = – 2.
Đơn giản biểu thức Q = sin4 x – cos4 x + 2cos2 x, ta có Q bằng
0;
1;
2;
– 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
Q = sin4 x – cos4 x + 2cos2 x = (sin2 x – cos2 x)( sin2 x + cos2 x) + 2cos2 x
= sin2 x – cos2 x + 2cos2 x = sin2 x + cos2 x = 1.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
tan2 x – sin2 x = tan2 x.sin2 x;
tan2 x – sin2 x = tan2 x.cos2 x;
tan2 x – sin2 x = cot2 x.cos2 x;
tan2 x – sin2 x = sin2 x.cos2 x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: tan2 x – sin2 x =
= sin2 x(1 + tan2 x – 1) = tan2 x.sin2 x.
Rút gọn biểu thức L = sin4 α – cos4 α+ 1 ta được
3sin2 α;
sin2 α;
– sin2 α;
2sin2 α.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
L = sin4 α – cos4 α+ 1 = (sin2 α – cos2 α)( sin2 α + cos2 α) + 1
= sin2 α – cos2 α + 1 = sin2 α + (1 – cos2 α)
= sin2 α + sin2 α = 2sin2 α.
Cho biểu thức T = = m + n.sin α.cos α (với m,n ∈ ℝ). Giá trị của m + n là:
0;
1;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
T = = = 1 – sin α.cos α.
Như vậy m = 1; n = – 1 ⇒ m + n = 0.
Rút gọn biểu thứcE = ta được
1;
2;
– 1;
– 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có E = = = = 1.
Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
sin B = sin (A + C);
cos (A + B) = – cos C;
cos (A + B – C) = cos 2C;
sin = cos C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
· Mệnh đề A đúng:
Giả sử A, B, C là số đo 3 góc của tam giác ABC, khi đó ta có:
A + B + C = 180°
⇒ B = 180° – (A + C)
⇒sin B = sin [180° – (A + C)] = sin (A + C).
· Mệnh đề B đúng:
Ta có: A + B = 180° –C
⇒ cos (A + B) = cos (180° – C) = – cos C.
· Mệnh đề D đúng:
Ta có:A + B + C = 180°
⇒A + B + 3C = 180° + 2C
⇒ =
⇒ sin = sin (90° + C)
⇒ sin = cos (–C) = cos C.
· Mệnh đề C sai:
Ta có A + B = 180° – C
⇒A + B – C = 180° – 2C
⇒ cos (A + B – C) = cos (180° – 2C) = – cos 2C.
Với mọi góc lượng giác x làm cho biểu thức có nghĩa, biểu thức \(P = \sin \left( {x + \pi } \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) được rút gọn về kết quả nào sau đây?
2sinx.
−2sinx.
0.
−2cosx.
Đáp án đúng là: C
\(P = \sin \left( {x + \pi } \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \sin x + \sin x = 0\).
Chọn đáp án đúng.
cos(x – y) = cosxcosy – sinxsiny.
cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny.
cos(x – y) = cosxsiny – sinxcosy.
cos(x – y) = sinxsiny – cosxcosy.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin 2x + \sin x}}{{1 + \cos 2x + \cos x}}\) (với điều kiện biểu thức có nghĩa), ta thu được kết quả là
tanx.
cotx.
tan2x.
cot2x.
Đáp án đúng là: A
\(A = \frac{{2\sin x\cos x + \sin x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \cos x}} = \frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x}} = \frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x\).
Biến đổi biểu thức tổng thành tích B = cosx + cos3x + cos5x + cos7x ta được kết quả thu gọn là
4cosxcos2xcos4x.
4sinxcos2xcos4x.
2cosxcos3xcos5x.
4cosxcos3xcos4x.
Đáp án đúng là: A
B = cosx + cos3x + cos5x + cos7x = (cos7x + cosx) + (cos5x + cos3x)
= 2cos4xcos3x + 2cos4xcosx = 2cos4x(cos3x + cosx) = 2cos4x(2cos2xcosx)
= 4cosxcos2xcos4x.
Rút gọn biểu thức Q = sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x, ta thu được giá trị không đổi bằng
0.
1.
2.
−1.
Đáp án đúng là: B
Q = sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x
= (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x + cos4x) + 3sin2xcos2x
= sin4x – sin2xcos2x + cos4x + 3sin2xcos2x
= sin4x + 2sin2xcos2x + cos4x
= (sin2x + cos2x)2 = 1.
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
sin2x = 2sinxcosx.
cos2x = 1 – 2sin2x.
\(\sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\).
\(\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x - y} \right) + \cos \left( {x + y} \right)} \right]\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. sin2x = 2sinxcosx.
b) Đúng. cos2x = 1 – 2sin2x.
c) Sai. \(\sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\).
d) Đúng. \(\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x - y} \right) + \cos \left( {x + y} \right)} \right]\).
Xét biểu thức \(M = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Bằng cách áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, biểu thức M có thể đưa về dạng tích của hai hàm số sin.
Biểu thức sau khi áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích có chứa hằng số \(\sin \frac{\pi }{3}\).
\(M = \sqrt 3 \sin x\).
Tại giá trị \(x = \frac{\pi }{2}\), biểu thức M đạt giá trị bằng 0.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Áp dụng công thức \(\cos A - \cos B = - 2\sin \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A - B}}{2}\).
b) Đúng. \(M = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)\( = - 2\sin \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x + \frac{\pi }{3}}}{2}\sin \frac{{x - \frac{\pi }{3} - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)
\( = - 2\sin x \cdot \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = 2\sin x\sin \frac{\pi }{3}\). Có chứa hằng số \(\sin \frac{\pi }{3}\).
c) Đúng. Thay \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow M = 2\sin x \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \sin x\).
d) Sai. Tại \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow M = \sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cdot 1 = \sqrt 3 \ne 0\).
Cho biểu thức lượng giác phụ thuộc vào một biến số x sau đây (với điều kiện biểu thức luôn có nghĩa): \(P = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\cos x + \cos 2x}}\). Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
cos3x + cosx = 2cos2xcosx.
Tử số của biểu thức P được thu gọn bằng 2cos2x(cosx + 1).
Kết quả rút gọn cuối cùng của biểu thức P là một hàm số độc lập với biến số x.
Tại \(x = \frac{\pi }{3}\) thì P = 1.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. cos3x + cosx \( = 2\cos \frac{{3x + x}}{2}\cos \frac{{3x - x}}{2} = 2\cos 2x\cos x\).
b) Sai. 1 + cosx + cos2x + cos3x = 1 + cos2x + 2cos2xcosx = 2cos2x + 2cos2xcosx
= 2cosx(cosx + cos2x).
c) Sai. \(P = \frac{{2\cos x\left( {\cos x + \cos 2x} \right)}}{{\cos x + \cos 2x}} = 2\cos x\).
d) Đúng. Tại \(x = \frac{\pi }{3}\) thì \(P = 2\cos \frac{\pi }{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
Xét biểu thức lượng giác \(N = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\).
Biểu thức sin4x + cos4x có thể biến đổi thành \(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\).
Khi thay thế hệ thức ở ý a vào biểu thức N, ta thu được N = 1 – sin22x.
Sử dụng công thức hạ bậc, biểu thức N tiếp tục được thu gọn về dạng chứa góc nhân đôi là cos2x.
\(N = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\)
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x = \(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\).
b) Đúng. \(N = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - {\sin ^2}2x\).
c) Sai. \(N = 1 - {\sin ^2}2x = {\cos ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\).
d) Đúng. \(N = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\).
Cho biểu thức lượng giác \(F = \frac{{\sin \left( {x + y} \right) - \sin x\cos y}}{{\cos x\cos y}}\).
sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny.
Tử số của biểu thức F được thu gọn bằng cosxsiny.
Kết quả rút gọn cuối cùng của biểu thức F là một hàm số độc lập với biến số x.
\(F = \tan y\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny.
b) Đúng. sin(x + y) – sinxcosy = sinxcosy + cosxsiny – sinxcosy = cosxsiny.
c) Đúng. \(F = \frac{{\sin \left( {x + y} \right) - \sin x\cos y}}{{\cos x\cos y}} = \frac{{\cos x\sin y}}{{\cos x\cos y}} = \tan y\).
d) Đúng. \(F = \tan y\).
Cho biểu thức B = sinxcos3x – cosxsin3x. Biết rằng biểu thức B có thể rút gọn về dạng asinbx (a, b ∈ \(\mathbb{Q}\)). Tính ab.
Đáp án: 1
B = sinxcos3x – cosxsin3x = sinxcosx(cos2x – sin2x) = sinxcosxcos2x
\( = \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{4}\sin 4x\).
Suy ra \(a = \frac{1}{4};b = 4\). Suy ra ab = 1.
Rút gọn biểu thức sin5x – 2sinx(cos4x + cos2x) = sinkx (k ∈ ℤ). Tìm k.
Đáp án: 1
sin5x – 2sinx(cos4x + cos2x) = sin5x – 2sinx(2cos3xcosx) = sin5x – 4sinxcosxcos3x
= sin5x – 2sin2xcos3x = sin5x – sin(2x + 3x) – sin(2x – 3x)
= sin5x – sin5x – sin(−x) = sinx.
Suy ra k = 1.
Tính giá trị biểu thức P = tan20°tan40°tan80°.
Đáp án: 1,73
Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác tanxtan(60° − x) tan(60° + x) = tan3x.
Khi đó P = tan20°tan40°tan80° = tan(320°) = tan60° \( = \sqrt 3 \)≈ 1,73.
Biểu thức E = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) có giá trị bằng bao nhiêu?
Đáp án: 1
sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x = \(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\).
sin6x + cos6x = (cos2x + sin2x)3 – 3sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = \(1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x\).
Khi đó E = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) \( = 3\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right) - 2\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right)\) = 1.
Cho biểu thức lượng giác chứa biến số x sau đây (với điều kiện biểu thức luôn có nghĩa): \[Q = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x \cdot \cos x}}\] . Biết rằng biểu thức Q có thể rút gọn về dạng tối giản là ktan2x. Hãy xác định giá trị của hằng số k.
Đáp án: 2
\(Q = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x \cdot \cos x}}\)\( = \frac{{1 + 2\sin x\cos x - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x \cdot \cos x}}\)\( = \frac{{2{{\sin }^2}x\cos x}}{{\cos x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}\)\( = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x\).
Suy ra k = 2.
