Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
9 câu hỏi
Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ | 20° | ? | 150° | 500° | ? | ? |
Số đo rađian | ? | \(\frac{{11\pi }}{2}\) | ? | ? | \(\frac{{ - 5\pi }}{6}\) | \(\frac{{7\pi }}{{15}}\) |
Ta có: \(20^\circ = 20.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}\); \(150^\circ = 150.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}\); \(500^\circ = 500.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{25\pi }}{9}\);
\(\frac{{11\pi }}{2} = \frac{{11\pi }}{2}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 990^\circ \); \(\frac{{ - 5\pi }}{6} = \frac{{ - 5\pi }}{6}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = - 150^\circ \); \(\frac{{7\pi }}{{15}} = \frac{{7\pi }}{{15}}.\left( {\frac{{180^\circ }}{\pi }} \right) = 84^\circ \).
Khi đó ta có
Số đo độ | 20° | 990° | 150° | 500° | – 150° | 84° |
Số đo rađian | \(\frac{\pi }{9}\) | \(\frac{{11\pi }}{2}\) | \(\frac{{5\pi }}{6}\) | \(\frac{{25\pi }}{9}\) | \(\frac{{ - 5\pi }}{6}\) | \(\frac{{7\pi }}{{15}}\) |
Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a) \(\frac{\pi }{6}\); b) \(\frac{{ - 5\pi }}{7}\); c) 270°; d) – 415°.
a) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là \(\frac{\pi }{6}\) được xác định như hình dưới đây.
b) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là \(\frac{{ - 5\pi }}{7}\) được xác định như hình dưới đây.
c) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là 270° được xác định như hình dưới đây.
d) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là – 415° được xác định như hình dưới đây.
Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:
a) \(\frac{{2\pi }}{7}\); b) 36°.
Lời giải
a) Ta có l = Rα = 20 . \(\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{40\pi }}{7}\) (m).
b) Ta có l = R . \(\frac{{\pi a}}{{180}} = 20.\frac{{\pi .36}}{{180}} = 4\pi \) (m).
Cho cos x = \( - \frac{5}{{13}}\) (90° < x < 180°). Tính các
giá trị lượng giác còn lại của góc x.
Lời giải
Từ đẳng thức sin2 x + cos2 x = 1, suy ra
sin2 x = 1 – cos2 x = \(1 - {\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)^2} = \frac{{144}}{{169}}\)
Mặt khác 90° < x < 180° nên sinx > 0. Do đó sin x = \(\sqrt {\frac{{144}}{{169}}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra tan x = \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{12}}{{13}}:\left( { - \frac{5}{{13}}} \right) = - \frac{{12}}{5}\), cot x = \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \left( { - \frac{5}{{13}}} \right):\frac{{12}}{{13}} = - \frac{5}{{12}}\).
Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.
a) sin a cos a;
b) sin3 a + cos3 a;
c) sin4 a + cos4 a.
Lời giải
a) Ta có: sin a + cos a = m nên (sin a + cos a)2 = m2
hay sin2 a + cos2 a + 2sin a cos a = m2 hay 1 + 2sin a cos a = m2.
Từ đó suy ra sin a cos a = \(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
b) sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)3 – 3sin a cos a(sin a + cos a)
= m3 – 3m\(\frac{{{m^2} - 1}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}\).
c) sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a)2 – 2sin2 a cos2 a
= 1 – 2(sin a cos a)2 = \(1 - 2.{\left( {\frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{2}\).
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos4 x – sin4 x = 2 cos2 x – 1;
b) tan2 x – sin2 x = tan2 x . sin2 x;
c) (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)2 = 2.
Lời giải
a) Ta có VT = cos4 x – sin4 x = (cos2 x – sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = cos2 x – sin2 x
= cos2 x – (1 – cos2 x) = 2 cos2 x – 1 = VP.
b) Ta có
VT = tan2 x – sin2 x = \(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {\sin ^2}x\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\)
\( = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.{\sin ^2}x\) = tan2 x . sin² x = VP.
c) Ta có
VT = (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)²
= sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x + sin2 x – 2sin x cos x + cos2 x
= 2 sin2 x + 2 cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x) = 2 . 1 = 2 = VP.
Rút gọn biểu thức
A = 2cos4 x – sin4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x.
Lời giải
A = 2cos4 x – sin4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x
= cos4 x – sin4 x + cos4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x
= (cos2 x – sin2 x)(cos2 x + sin2 x) + cos2 x (cos2 x + sin2 x) + 3sin2 x
= cos2 x – sin2 x + cos2 x + 3 sin2 x
= 2cos2 x + 2 sin2 x
= 2(cos2 x + sin2 x)
= 2 . 1 = 2.
Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm.
Lời giải
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được \(\frac{{12}}{6}\) = 2 vòng, tức là quay được một góc 4π (rad) hay 720°.
b) Bán kính xe đạp là: 860 : 2 = 430 (mm).
Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là:
l = 430 . 4π . 60 = 103 200π (mm).
Lời giải
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2π; kim giờ quét được một góc \(\frac{\pi }{6}\).
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\).
Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là
\(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}\) (giờ).
Vậy sau \(\frac{1}{{11}}\) (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là
l = R .α = \[6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi = \frac{{23\pi }}{{11}}\] (cm).
