Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
9 câu hỏi
Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ | 20° | ? | 150° | 500° | ? | ? |
Số đo rađian | ? | \(\frac{{11\pi }}{2}\) | ? | ? | \(\frac{{ - 5\pi }}{6}\) | \(\frac{{7\pi }}{{15}}\) |
Lời giải
Ta có: \(20^\circ = 20.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}\); \(150^\circ = 150.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}\); \(500^\circ = 500.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{25\pi }}{9}\);
\(\frac{{11\pi }}{2} = \frac{{11\pi }}{2}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 990^\circ \); \(\frac{{ - 5\pi }}{6} = \frac{{ - 5\pi }}{6}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = - 150^\circ \); \(\frac{{7\pi }}{{15}} = \frac{{7\pi }}{{15}}.\left( {\frac{{180^\circ }}{\pi }} \right) = 84^\circ \).
Khi đó ta có
Số đo độ | 20° | 990° | 150° | 500° | – 150° | 84° |
Số đo rađian | \(\frac{\pi }{9}\) | \(\frac{{11\pi }}{2}\) | \(\frac{{5\pi }}{6}\) | \(\frac{{25\pi }}{9}\) | \(\frac{{ - 5\pi }}{6}\) | \(\frac{{7\pi }}{{15}}\) |
Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a) \(\frac{\pi }{6}\); b) \(\frac{{ - 5\pi }}{7}\); c) 270°; d) – 415°.
Lời giải
a) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là \(\frac{\pi }{6}\) được xác định như hình dưới đây.
b) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là \(\frac{{ - 5\pi }}{7}\) được xác định như hình dưới đây.
c) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là 270° được xác định như hình dưới đây.
d) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là – 415° được xác định như hình dưới đây.
Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:
a) \(\frac{{2\pi }}{7}\); b) 36°.
Lời giải
a) Ta có l = Rα = 20 . \(\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{40\pi }}{7}\) (m).
b) Ta có l = R . \(\frac{{\pi a}}{{180}} = 20.\frac{{\pi .36}}{{180}} = 4\pi \) (m).
Cho cos x = \( - \frac{5}{{13}}\) (90° < x < 180°). Tính các
giá trị lượng giác còn lại của góc x.
Lời giải
Từ đẳng thức sin2 x + cos2 x = 1, suy ra
sin2 x = 1 – cos2 x = \(1 - {\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)^2} = \frac{{144}}{{169}}\)
Mặt khác 90° < x < 180° nên sinx > 0. Do đó sin x = \(\sqrt {\frac{{144}}{{169}}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra tan x = \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{12}}{{13}}:\left( { - \frac{5}{{13}}} \right) = - \frac{{12}}{5}\), cot x = \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \left( { - \frac{5}{{13}}} \right):\frac{{12}}{{13}} = - \frac{5}{{12}}\).
Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.
a) sin a cos a;
b) sin3 a + cos3 a;
c) sin4 a + cos4 a.
Lời giải
a) Ta có: sin a + cos a = m nên (sin a + cos a)2 = m2
hay sin2 a + cos2 a + 2sin a cos a = m2 hay 1 + 2sin a cos a = m2.
Từ đó suy ra sin a cos a = \(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).
b) sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)3 – 3sin a cos a(sin a + cos a)
= m3 – 3m\(\frac{{{m^2} - 1}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}\).
c) sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a)2 – 2sin2 a cos2 a
= 1 – 2(sin a cos a)2 = \(1 - 2.{\left( {\frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{2}\).
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos4 x – sin4 x = 2 cos2 x – 1;
b) tan2 x – sin2 x = tan2 x . sin2 x;
c) (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)2 = 2.
Lời giải
a) Ta có VT = cos4 x – sin4 x = (cos2 x – sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = cos2 x – sin2 x
= cos2 x – (1 – cos2 x) = 2 cos2 x – 1 = VP.
b) Ta có
VT = tan2 x – sin2 x = \(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {\sin ^2}x\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\)
\( = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.{\sin ^2}x\) = tan2 x . sin² x = VP.
c) Ta có
VT = (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)²
= sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x + sin2 x – 2sin x cos x + cos2 x
= 2 sin2 x + 2 cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x) = 2 . 1 = 2 = VP.
Rút gọn biểu thức
A = 2cos4 x – sin4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x.
Lời giải
A = 2cos4 x – sin4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x
= cos4 x – sin4 x + cos4 x + sin2 x cos2 x + 3 sin2 x
= (cos2 x – sin2 x)(cos2 x + sin2 x) + cos2 x (cos2 x + sin2 x) + 3sin2 x
= cos2 x – sin2 x + cos2 x + 3 sin2 x
= 2cos2 x + 2 sin2 x
= 2(cos2 x + sin2 x)
= 2 . 1 = 2.
Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm.
Lời giải
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được \(\frac{{12}}{6}\) = 2 vòng, tức là quay được một góc 4π (rad) hay 720°.
b) Bán kính xe đạp là: 860 : 2 = 430 (mm).
Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là:
l = 430 . 4π . 60 = 103 200π (mm).
Kim giờ dài 6 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?
Lời giải
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2π; kim giờ quét được một góc \(\frac{\pi }{6}\).
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\).
Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là
\(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}\) (giờ).
Vậy sau \(\frac{1}{{11}}\) (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là
l = R .α = \[6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi = \frac{{23\pi }}{{11}}\] (cm).
