Đề kiểm tra Giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Ta có $250°=\frac{250.\mathrm{\pi }}{180}=\frac{25\mathrm{\pi }}{18}$

Chọn A

Ta có công thức tính độ dài của một cung tròn là: \(l = R.\alpha  \Rightarrow \alpha  = \frac{l}{R} = \frac{{10}}{5} = 2\) rad.

Chọn C

\(R = 30,\alpha  = 2,5rad \Rightarrow \)Độ dài l của cung tròn là \(l = R\alpha  = 30.2,5 = 75cm\).

Vậy tổng quãng đường cần tìm là \(S = {S_1} + {S_2} = 10\pi  + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{32}}{3}\pi \)\(\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Chọn A

Chọn A

\(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha  < 2\pi  \Leftrightarrow \frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{4} < \alpha  < 2\pi \) nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là A

Chọn A

Điểm biểu diễn cung lượng giác \(\alpha \)nằm góc phần tư thứ nhất nên \(\tan \alpha  > 0,\cot \alpha  > 0.\)

Chọn B

Ta có: \(A = \cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right)\)\( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)\[ = \sin \alpha \].

Chọn B

Ta có \(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ  + 2{\cos ^2}60^\circ  - 3{\tan ^2}45^\circ \)\( = 3 - {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2}\)\( =  - \frac{1}{2}\).

Chọn D

Ta có: \[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\,\,;\,\,\forall a \in \mathbb{R}\] nên D đúng.

Chọn C

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\).

Chọn A

\(P = \frac{{\sin \alpha }}{{2{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\sin \alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)}}{{2{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + \tan \alpha }}{{2{{\tan }^3}\alpha  + 8}} = \frac{5}{{26}}\)

Chọn B

Áp dụng công thức: \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow 1 + \frac{9}{{16}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{{16}}{{25}}\)

Do \({0^O} < \alpha  < {90^O} \Rightarrow \sin \alpha  > 0\)\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{4}{5}\).

Ta có: ${90}^{°}=\frac{90\mathrm{\pi }}{180}\mathrm{rad}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{rad};{75}^{°}=\frac{75\mathrm{\pi }}{180}\mathrm{rad}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\mathrm{rad}$

Ta có: $-{\left(\frac{5}{\mathrm{\pi }}\right)}^{°}=-\left(\frac{5}{\mathrm{\pi }}\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)\mathrm{rad}=-\frac{1}{36}\mathrm{rad}$

Ta có: \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\cos \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\); \(\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 ;\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

a) \(\cos x > 0\)

b) \(\cos x = - \frac{4}{5}\)

c) \(\tan x = \frac{3}{4}\)

d) \(\cot x = \frac{4}{3}\)

Lời giải

Do \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos x < 0\).

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)

\( \Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}\).

Vì \(\cot x = 2\) nên \(\sin x \ne 0\).

Chia cả tử và mẫu của biểu thức \({B_1}\) cho \(\sin x\), ta được:

\({B_1} = \frac{{2\frac{{\sin x}}{{\sin x}} + 3\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{3\frac{{\sin x}}{{\sin x}} - 2\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{2 + 3\cot x}}{{3 - 2\cot x}} = \frac{{2 + 3 \cdot 2}}{{3 - 2 \cdot 2}} = - 8\)

Chia cả tử và mẫu của biểu thức \({B_2}\) cho \({\sin ^2}x\), ta được:

\({B_2} = \frac{{\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}}}{{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{\sin x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}}} = \frac{{2\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)}}{{{{\cot }^2}x - \cot x}} = \frac{{2\left( {1 + {2^2}} \right)}}{{{2^2} - 2}} = 5\)

Ta có \(\alpha  = \frac{{60}}{{13}} \cdot 2\pi  = \frac{{120\pi }}{{13}}\). Suy ra \(O'M' = \left| {OM{\rm{cos}}\alpha } \right| = \left| {10{\rm{cos}}\frac{{120\pi }}{{13}}} \right| \approx 7,5{\rm{\;cm}}\).

\(d\left( {31} \right) = 9,01\) giờ.

Theo giả thiết, vệ tinh chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau \(2{\rm{\;h}}\), bán kính của vòng quay khi vệ tinh chuyển động quét được một góc lượng giác bằng \( - 2\pi \) (rad).

Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \( - 2\pi \left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{ - 2\pi }}{{15}} \cdot 10 = \frac{{ - 4\pi }}{3}\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

a) Trong 1 giây, bánh xe quay được \(\frac{{12}}{6} = 2\) vòng, tức là quay được một góc\(4\pi ({\rm{rad}})\) hay ${720}^{°}$.

b) Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là: \(l = 430.4\pi .60 = 103200\pi ({\rm{mm}}){\rm{. }}\)

Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác \(2\pi \); kim giờ quét được một góc\(\frac{\pi }{6}\).

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là \(2\pi  - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\).

Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là \(\frac{{2\pi }}{3}\).

Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là: \(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}{\rm{\;}}\)(giờ)

Vậy sau \(\frac{1}{{11}}\) (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.

Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là:\(l = R.\alpha  = 6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi  = \frac{{23\pi }}{{11}}\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)