Đề kiểm tra Giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cung có số đo \[250^\circ \] thì có số đo theo đơn vị radian là:
\[\frac{{25\pi }}{{12}}\].
\[\frac{{25\pi }}{{18}}\].
\[\frac{{25\pi }}{9}\].
\[\frac{{35\pi }}{{18}}\].
Chọn B
Ta có 250°=250.π180=25π18
Trên đường tròn bán kính bằng 5, cho một cung tròn có độ dài bằng 10. Số đo rađian của cung tròn đó là
\(2\).
\(3\).
\(1\).
\(4\).
Chọn A
Ta có công thức tính độ dài của một cung tròn là: \(l = R.\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{l}{R} = \frac{{10}}{5} = 2\) rad.
Một đường tròn có bán kính 30cm. Tính độ dài của cung tròn trên đường tròn đó có số đo \(2,5\).
\(7,5cm\).
\(0,83cm\).
\(75cm\).
\(12cm\).
Chọn C
\(R = 30,\alpha = 2,5rad \Rightarrow \)Độ dài l của cung tròn là \(l = R\alpha = 30.2,5 = 75cm\).
Vậy tổng quãng đường cần tìm là \(S = {S_1} + {S_2} = 10\pi + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{32}}{3}\pi \)\(\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Trong các hệ thức sau đây, hệ thức nào đúng?
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).
\(\sin {x^2} + \cos {x^2} = 1\).
\(\sin 2x + \cos 2x = 1\).
\({\sin ^2}x + \cos {x^2} = 1\).
Chọn A
Cho \(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi \).Xét câu nào sau đây đúng?
\(\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
Chọn A
\(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi \Leftrightarrow \frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{4} < \alpha < 2\pi \) nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là A
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha > 0,\cot \alpha < 0.\)
\(\tan \alpha < 0,\cot \alpha < 0.\)
\(\tan \alpha < 0,\cot \alpha > 0.\)
Chọn A
Điểm biểu diễn cung lượng giác \(\alpha \)nằm góc phần tư thứ nhất nên \(\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0.\)
Đơn giản biểu thức \(A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\), ta được:
\[\cos \alpha \].
\[\sin \alpha \].
\[--\cos \alpha \].
\[ - \sin \alpha \].
Chọn B
Ta có: \(A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\)\( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)\[ = \sin \alpha \].
Giá trị của biểu thức \(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ + 2{\cos ^2}60^\circ - 3{\tan ^2}45^\circ \) bằng
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(1\).
\(3\)
Chọn B
Ta có \(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ + 2{\cos ^2}60^\circ - 3{\tan ^2}45^\circ \)\( = 3 - {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2}\)\( = - \frac{1}{2}\).
Cho \(a\) là số thực bất kỳ. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\[\sin a + \cos a = 1\].
\[{\sin ^3}a + {\cos ^3}a = 1\].
\[{\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1\].
\[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\].
Chọn D
Ta có: \[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\,\,;\,\,\forall a \in \mathbb{R}\] nên D đúng.
Các đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\);\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 5 }}{3}\].
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\);\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\(\sin \alpha = \frac{4}{5}\);\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{ - 3}}{5}\].
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\);\[{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{1}{4}\].
Chọn C
Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\).
Cho \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha }}{{2{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}\) là
\(\frac{5}{{26}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{5}{{26}}\).
\( - \frac{1}{3}\).
Chọn A
\(P = \frac{{\sin \alpha }}{{2{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\sin \alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)}}{{2{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + \tan \alpha }}{{2{{\tan }^3}\alpha + 8}} = \frac{5}{{26}}\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa \({\rm{cot}}\alpha = \frac{3}{4}\) và \({0^O} < \alpha < {90^O}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{4}{5}\].
\(\sin \alpha = \frac{4}{5}\).
\({\rm{sin}}\alpha = - \frac{4}{5}\).
\[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\].
Chọn B
Áp dụng công thức: \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow 1 + \frac{9}{{16}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}}\)
Do \({0^O} < \alpha < {90^O} \Rightarrow \sin \alpha > 0\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.Đổi số đo các góc sang đơn vị radian:
a) 90°=π2rad
b) 75°=5π12rad
c) 750°=25π6rad;
d)−5π°=−136rad
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: 90°=90π180rad=π2rad;75°=75π180rad=5π12rad
Ta có: −5π°=−5π⋅π180rad=−136rad
Tính được các giá trị lượng giác của góc \(\alpha = \frac{\pi }{3} + k2\pi \)(biết \(k \in \mathbb{Z}\)). Khi đó:
a) \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
b) \(\cos \alpha = - \frac{1}{2}\)
c) \(\tan \alpha = \sqrt 3 \)
d) \(\cot \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\cos \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\); \(\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 ;\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc \(x\), biết: \(\sin x = - \frac{3}{5}\) với \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó:
a) \(\cos x > 0\)
b) \(\cos x = - \frac{4}{5}\)
c) \(\tan x = \frac{3}{4}\)
d) \(\cot x = \frac{4}{3}\)
Lời giải
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Do \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos x < 0\).
Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)
\( \Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}\).
Cho \(\cot x = 2\). Tính được các biểu thức \({B_1} = \frac{{2\sin x + 3\cos x}}{{3\sin x - 2\cos x}},{B_2} = \frac{2}{{{{\cos }^2}x - \sin x\cos x}}\), khi đó:
a) Vì \(\cot x = 2\) nên \(\sin x \ne 0\).
b) \({B_1} = - 8\)
c) \({B_2} = - 5\)
d) \({B_1} + {B_2} = - 13\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Vì \(\cot x = 2\) nên \(\sin x \ne 0\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \({B_1}\) cho \(\sin x\), ta được:
\({B_1} = \frac{{2\frac{{\sin x}}{{\sin x}} + 3\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{3\frac{{\sin x}}{{\sin x}} - 2\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{2 + 3\cot x}}{{3 - 2\cot x}} = \frac{{2 + 3 \cdot 2}}{{3 - 2 \cdot 2}} = - 8\)
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \({B_2}\) cho \({\sin ^2}x\), ta được:
\({B_2} = \frac{{\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}}}{{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{\sin x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}}} = \frac{{2\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)}}{{{{\cot }^2}x - \cot x}} = \frac{{2\left( {1 + {2^2}} \right)}}{{{2^2} - 2}} = 5\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Thanh \(OM\) quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc \(O\) của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như hình bên. Vị trí ban đầu của thanh là \(OA\). Hỏi độ dài bóng \(O'M\) của \(OM\) khi thanh quay được \(\frac{{60}}{{13}}\) vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh \(OM\) là \(10{\rm{\;cm}}\)? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Ta có \(\alpha = \frac{{60}}{{13}} \cdot 2\pi = \frac{{120\pi }}{{13}}\). Suy ra \(O'M' = \left| {OM{\rm{cos}}\alpha } \right| = \left| {10{\rm{cos}}\frac{{120\pi }}{{13}}} \right| \approx 7,5{\rm{\;cm}}\).
Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn ở một thành phố \(X\) trong ngày thứ \(t\) của năm được tính xấp xỉ bởi công thức \(d\left( t \right) = 4{\rm{sin}}\left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12{\rm{\;}}\left( {t \in \mathbb{Z}{\rm{\;v\`a \;}}1 \le t \le 365} \right).\)
Thành phố \(X\) vào ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
\(d\left( {31} \right) = 9,01\) giờ.
Một vệ tinh được định vị tại vị trí \(A\) trong không gian. Từ vị trí \(A\), vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm \(O\) của Trái Đất. Giả sử vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong \(2{\rm{\;h}}\) theo chiều kim đồng hồ. Khi vệ tinh chuyển động được \(3{\rm{\;h}}\), bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).
Theo giả thiết, vệ tinh chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau \(2{\rm{\;h}}\), bán kính của vòng quay khi vệ tinh chuyển động quét được một góc lượng giác bằng \( - 2\pi \) (rad).
Vậy khi vệ tinh chuyển động được \(3{\rm{\;h}}\) thì bán kính của vòng quay quét được một góc lượng giác bằng \( - 3\pi \left( {{\rm{rad}}} \right)\)
Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Khi vòng quay chuyển động được 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).
Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \( - 2\pi \left( {{\rm{rad}}} \right)\).
Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{ - 2\pi }}{{15}} \cdot 10 = \frac{{ - 4\pi }}{3}\left( {{\rm{rad}}} \right)\).
Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là \(860{\rm{\;mm}}\).
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được \(\frac{{12}}{6} = 2\) vòng, tức là quay được một góc\(4\pi ({\rm{rad}})\) hay 720°.
b) Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là: \(l = 430.4\pi .60 = 103200\pi ({\rm{mm}}){\rm{. }}\)
Kim giờ dài \(6{\rm{\;cm}}\) và kim phút dài \(11{\rm{\;cm}}\) của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác \(2\pi \); kim giờ quét được một góc\(\frac{\pi }{6}\).
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\).
Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là \(\frac{{2\pi }}{3}\).
Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là: \(\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}{\rm{\;}}\)(giờ)
Vậy sau \(\frac{1}{{11}}\) (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là:\(l = R.\alpha = 6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi = \frac{{23\pi }}{{11}}\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)
