Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Bánh xe quay theo chiều âm nên góc lượng giác mang dấu âm.

Quay được 2 vòng tương ứng góc \( - 2 \cdot 2\pi = - 4\pi \).

Thêm một phần tư vòng tương ứng góc \( - \frac{1}{4} \cdot 2\pi = - \frac{\pi }{2}\).

Góc quay tổng cộng là: \(\alpha = - 4\pi - \frac{\pi }{2} = - \frac{{9\pi }}{2}{\rm{ rad}}\).

Đáp án đúng là: B

Kim giờ quay cùng chiều kim đồng hồ nên góc mang dấu âm.

Khoảng cách từ số 12 đến số 3 chiếm \(\frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\) mặt đồng hồ (tương ứng một phần tư vòng quay). Số đo góc lượng giác quét qua là: \(\alpha = - \frac{1}{4} \cdot 2\pi = - \frac{\pi }{2}{\rm{ rad}}\).

Đáp án đúng là: B

\(\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Tam giác vuông tạo bởi dốc có cạnh đối (độ cao) bằng \(3{\rm{ m}}\), cạnh huyền (mặt dốc) bằng \(5{\rm{ m}}\).

Áp dụng định lý Pitago, cạnh kề (chiều dài mặt sàn nằm ngang) là: \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4{\rm{ m}}\).

Giá trị lượng giác: \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \theta = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vì góc tổng hợp lọt vào góc phần tư thứ III (nơi cả sin và cos đều nhận giá trị âm) nên sinθ < 0. Do đó, \(\sin \theta = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do góc mang dấu âm nên chuyển động cùng chiều kim đồng hồ.

b) Đúng. \( - \frac{{7\pi }}{4} \cdot {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ } = - 315^\circ \).

c) Đúng. Góc \( - \frac{{7\pi }}{4} = - 2\pi + \frac{\pi }{4}\). Điểm biểu diễn góc này trùng với vị trí góc \(\frac{\pi }{4}\) lọt vào góc phần tư thứ I.

d) Sai. Do thuộc góc phần tư thứ I nên \(\sin \left( { - \frac{{7\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} > 0\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do α nhọn nên sinα > 0. Ta có \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{5}{{13}}\).

b) Đúng. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{5}{{13}}}}{{\frac{{12}}{{13}}}} = \frac{5}{{12}}\).

c) Sai. Trong khoảng góc nhọn \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), khi góc α tăng lên thì giá trị cosα sẽ giảm xuống (hàm số nghịch biến trên khoảng này).

d) Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{12}}{5}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) chính là góc phần tư thứ IV.

b) Sai. Góc phần tư thứ IV có cosα > 0.

Áp dụng hệ thức:

\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5}\).

c) Đúng. Góc phần tư thứ IV có sinα < 0. Ta có \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = - \frac{3}{5}\).

d) Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{4}{3}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khoảng \(\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) tương ứng góc phần tư thứ III, nơi hoành độ và tung độ đều âm.

b) Đúng. Bình phương hai vế

\({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\left( { - \frac{7}{5}} \right)^2} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}\).

c) Sai. Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \alpha + \cos \alpha = - \frac{7}{5}}\\{\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \alpha = - \frac{7}{5} - \cos \alpha }\\{\left( { - \frac{7}{5} - \cos \alpha } \right) \cdot \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \alpha = - \frac{7}{5} - \cos \alpha }\\{ - {{\cos }^2}\alpha - \frac{7}{5}\cos \alpha - \frac{{12}}{{25}} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \alpha = - \frac{7}{5} - \cos \alpha }\\{\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{4}{5}\\\cos \alpha = - \frac{3}{5}\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{4}{5}\\\sin \alpha = - \frac{3}{5}\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{3}{5}\\\sin \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\]

Vì hoành độ của điểm M có độ lớn nhỏ hơn tung độ của nó nên \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \frac{3}{5}\\\sin \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\].

d) Đúng. Tương ứng từ hệ nghiệm, giá trị \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Trong hệ thống truyền động dây đai hoặc dây xích không bắt chéo (loại phổ thông của xe đạp), khi đĩa xích quay theo chiều nào thì dây xích sẽ kéo líp xe quay theo đúng chiều đó. Do đó, đĩa xích và líp xe luôn quay cùng chiều với nhau (cùng là chiều dương lượng giác).

b) Đúng. Độ dài quãng đường dịch chuyển của mắt xích trên vành đĩa xích là:

\(s = {R_1} \cdot \alpha = 10 \cdot \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{40\pi }}{3}{\rm{ cm}}\).

c) Đúng. Vì dây xích không co giãn nên độ dài quãng đường dịch chuyển trên lip xe cũng phải bằng đúng độ dài trên đĩa xích.

Góc lương giác β mà líp xe quét được là \(\beta = \frac{s}{{{R_2}}} = \frac{{\frac{{40\pi }}{3}}}{4} = \frac{{10\pi }}{3}\) rad.

d) Đúng. Khi đĩa xích quay được 2 vòng, góc quay của đĩa là α₁ = 4π rad.

Quãng đường dây xích dịch chuyển là S = R₁α₁ = 104π = 40π cm.

Góc quay tổng cộng của líp xe là \({\beta _1} = \frac{{40\pi }}{4} = 10\pi \) rad.

Số vòng quay của líp xe là \(N = \frac{{10\pi }}{{2\pi }} = 5\) vòng.

Đáp án: 13

Vệ tinh quay 1 vòng hết 100 phút, tương ứng góc quét 2π rad.

Tỉ lệ góc quét sau 15 phút là: \(\alpha = \frac{{15}}{{100}} \cdot 2\pi = \frac{3}{{20}} \cdot 2\pi = \frac{{3\pi }}{{10}}{\rm{ rad}}\).

Suy ra a = 3; b = 10. Vậy a + b = 13.

Đáp án: −0,5

cos(−120°) = −0,5.

Đáp án: 0,38

Áp dụng hệ thức: \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {(2,4)^2} = 6,76 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{6,76}} = \frac{{25}}{{169}}\).

Vì máy bay bay dốc lên tạo góc nhọn nên \(\sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{{13}} \approx 0,38\).

Đáp án: 0,89

Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {( - 2)^2} = 5 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}\).

Vì góc thuộc phần tư thứ II nên \(\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

\(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \approx 0,89\).

Đáp án: 0,87

Ta có \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin 2\alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Trong khoảng góc nhọn điều kiện \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < 2\alpha < \frac{\pi }{2}\), suy ra \(2\alpha = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{6}\).

Giá trị cần tìm: \(\cos \alpha = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,87\).