Đề kiểm tra Giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương ánNếu một cung tròn có số đo bằng radian là 
thì số đo bằng độ của cung tròn đó là
.
.
.
.
Chọn C
Ta có \[{a^0} = \frac{{{{180}^0}}}{\pi }.\alpha = \frac{{{{180}^0}}}{\pi }.\frac{{5\pi }}{4} = {225^0}\].
Góc có số đo \[{108^{\rm{o}}}\]đổi ra radian là
\[\frac{{3\pi }}{5}\].
\[\frac{\pi }{{10}}\].
\[\frac{{3\pi }}{2}\].
\[\frac{\pi }{4}.\]
Chọn A
Áp dụng công thức đổi độ ra rad \[\alpha = \frac{{n.\pi }}{{180}} = \frac{{108.\pi }}{{180}} = \frac{{3\pi }}{5}\].
Góc có số đo \[\frac{\pi }{9}\]đổi sang độ là
\[{15^{\rm{o}}}\].
\[{18^{\rm{o}}}\].
\[{20^{\rm{o}}}\].
\[{25^{\rm{o}}}\]
Chọn C
Áp dụng công thức đổi rad sang độ \[n = \frac{{\alpha .180}}{\pi }\].
\[n = \frac{\pi }{9}.\frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } = {20^{\rm{o}}}\].
Đổi sang radian góc có số đo \(108^\circ \) ta được
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{{10}}\).
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
Chọn D
Ta có \(1^\circ = \frac{\pi }{{180}}\,\)nên \(108^\circ = \frac{{108\pi }}{{180}}\)\( = \frac{{3\pi }}{5}\).
Tìm mệnh đề đúng.
\(\pi \,rad = \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\).
\(\pi \,rad = 1^\circ \).
\(\pi \,rad = 60^\circ \).
\(\pi \,rad = 180^\circ \).
Chọn D
Số đo radian của góc \(135^\circ \) là
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
Chọn B
Sử dụng máy tính bỏ túi ta tính được \(135^\circ = \frac{{3\pi }}{4}\).
Cung có số đo \(\frac{{5\pi }}{3}\) rad đổi sang đơn vị độ bằng
\(300^\circ \).
\(5^\circ \).
\(600^\circ \).
\(270^\circ \).
Chọn A
Theo công thức \[a\,{\rm{rad = }}{\left( {a.\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}\]\( \Rightarrow \frac{{5\pi }}{3}{\rm{rad = }}{\left( {\frac{{5\pi }}{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^o} = 300^\circ \).
Góc có số đo \[ - \frac{{3\pi }}{{16}}\] có số đo theo độ là
\({33^{\rm{o}}}45'\).
\( - {29^{\rm{o}}}30'\).
\( - {32^{\rm{o}}}55'\).
\( - {33^{\rm{o}}}45'\).
Chọn D
Vì \(1\,{\rm{rad}} = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^{\rm{o}}}\) nên \(\frac{{ - 3\pi }}{{16}} = {\left( {\frac{{ - 3\pi }}{{16}}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^{\rm{o}}} = {\left( {\frac{{ - 135}}{4}} \right)^{\rm{o}}} = - 33,{75^{\rm{o}}} = - {\rm{3}}{{\rm{3}}^{\rm{o}}}{\rm{45}}'.\)
Nếu một góc có số đo \(\frac{{5\pi }}{{12}}\,rad\)thì số đo của góc đó khi đổi sang đơn vị độ, phút, giây là
\(45^\circ \).
\(75^\circ \).
\(55^\circ \).
\(65^\circ \).
Chọn B
Ta có \(1\,rad = \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^\circ \Rightarrow \frac{{5\pi }}{{12}}\,rad = \left( {\frac{{180}}{\pi }.\frac{{5\pi }}{{12}}} \right)^\circ = 75^\circ \).
Một đường tròn có bán kính\[R = 10\,{\rm{cm}}\]. Độ dài cung \[{40^{\rm{o}}}\] trên đường tròn gần bằng:
\[7\,{\rm{cm}}\].
\[9\,{\rm{cm}}\].
\[11\,{\rm{cm}}\].
\[13\,{\rm{cm}}\].
Chọn A
Độ dài của cung \[{40^{\rm{o}}}\] trên đường tròn được tính bằng công thức: \(\frac{{\pi .\,{a^{\rm{o}}}}}{{180}}.R = \frac{\pi }{{180}}.40.10 \approx 7\,{\rm{cm}}\).
Cho đường tròn có bán kính bằng \(9\left( {cm} \right)\). Tìm số đo (theo radian) của cung có độ dài \(3\pi \left( {cm} \right)\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{6}\).
Chọn A
\(l = R\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{l}{R} = \frac{{3\pi }}{9} = \frac{\pi }{3}\).
Một đường tròn có bán kính \(R = 12cm\). Tính độ dài của cung \({60^0}\) trên đường tròn gần bằng
\(2cm\).
\[4cm\].
\(6.28cm\).
\(12.56cm\).
Chọn D
Ta có \({60^0}\)tương ứng với góc \(\frac{\pi }{3}rad\). Do đó độ dài cung tròn là \(l = R\alpha = 12.\frac{\pi }{3} = 4\pi = 12,56cm\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Đổi số đo các góc sau đây sang radian. Vậy:
a) 108°=3π5 rad
b) 120°=2π3 rad
c) 22°30'=π8 rad
d) 16π°=110 rad
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: 1080=1080⋅π180°=3π5 rad
b) Ta có: 120°=120°⋅π180°=2π3 rad
c) Ta có: 22030'=22030'⋅π180°=π8 rad
d) 16π°=16ππ180=11080 rad
Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc \(x\), biết: \(\cos x = \frac{1}{4}\) với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\). Khi đó:
a) \(\sin x < 0\)
b) \(\sin x = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
c) \(\tan x = \sqrt {15} \)
d) \(\cot x = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Do \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin x > 0\).
Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}}\)
\( \Rightarrow \sin x = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt {15} ;\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.\)
Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau đây trên đường tròn lượng giác. Khi đó:
a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo 218° là điểm \(M\) thuộc góc phần tư thứ III của đường tròn lượng giác thoả mãn AOM^=218°
b) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo −405° là điểm \(N\) thuộc góc phần tư thứ IV của đường tròn lượng giác thoả mãn AON^=−45°
c) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{25\pi }}{4}\) là điểm \(P\) thuộc góc phần tư thứ I của đường tròn lượng giác thoả mãn \(\widehat {AOP} = \frac{\pi }{4}\)
d) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{15\pi }}{2}\) là điểm \(Q(0; - 1)\) thuộc đường tròn lượng giác thoả mãn \(\widehat {AOQ} = - \frac{\pi }{2}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo 218° là điểm \(M\) thuộc góc phần tư thứ III của đường tròn lượng giác thoả mãn AOM^=218°
Hình 1
b) Ta có: −405°=−45°−360°. Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo −405° là điểm \(N\) thuộc góc phần tư thứ IV của đường tròn lượng giác thoả mãn AON^=45° (Hình 2).
Hình 2
c) Ta có: 25π4=π+24π4=π4+6π. Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{25\pi }}{4}\) là điểm \(P\) thuộc góc phần tư thứ I của đường tròn lượng giác thoả mãn \(\widehat {AOP} = \frac{\pi }{4}\)(Hình 3).
Hình 3
d) Ta có: \(\frac{{15\pi }}{2} = \frac{{16\pi - \pi }}{2} = - \frac{\pi }{2} + 8\pi \). Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{15\pi }}{2}\) là điểm \(Q(0; - 1)\) thuộc đường tròn lượng giác thoả mãn \(\widehat {AOQ} = \frac{\pi }{2}\) (Hinh 4).
Hình 4
Trong hình vẽ bên, ta xem hình ảnh đường tròn trên một bánh lái tàu thuỷ tương ứng với một đường tròn lượng giác.
a) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác \((OA,OB)\) theo đơn vị radian: \((OA,OB) = \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z});\)
b) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với bốn điểm biểu diễn là \(A,C,E,G\) theo đơn vị radian là \(k\frac{\pi }{3}(k \in \mathbb{Z})\)
c) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với hai điểm biểu diễn là \(A,E\) theo đơn vị độ là: \(k{180^^\circ }(k \in \mathbb{Z})\)
d) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác \((OA,OC) + (OC,OH)\) theo đơn vị radian:
\(\frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \[(OA,OB) = \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\];
b) Ta thấy \(A,C,E,G\) lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác \(0rad,\frac{\pi }{2}rad,\pi rad,\frac{{3\pi }}{2}rad,2\pi rad\), \(\frac{{5\pi }}{2}{\mathop{\rm rad}\nolimits} ,..\). Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau \(\frac{\pi }{2}\) rad. Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là \(k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z})\).
c) Ta thấy hai điểm \(A,E\) lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác 0°,180°,360°,540°,… Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau \({180^^\circ }\). Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là k180°(k∈ℤ)
d) Theo hệ thức Sa-lơ, ta có:
\(\begin{array}{l}(OA,OB) + (OB,OC) = (OA,OC) = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\\(OA,OC) + (OC,OH) = (OA,OH) = - \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\end{array}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ \(45\)vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau \(3\)giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?
Tốc độ góc của quạt trần là: \(\frac{{45.2\pi }}{{60}} = \frac{{3\pi }}{2}\left( {{\rm{rad}}/{\rm{s}}} \right)\).
Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo là: \(\frac{{3\pi }}{2}.3 = \frac{{9\pi }}{2}\) rad.
Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75m và 1,26m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu? Cũng câu hỏi đó cho kim giờ.
a) Trong \(15\)phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \(\frac{1}{4}\)độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng: \(\frac{1}{4}.2\pi .R = \frac{1}{4}.2\pi .1,75 = \frac{7}{8}\pi \approx 2,75\left( m \right)\).
b) Trong \(15\)phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \(\frac{1}{4}.\frac{1}{{12}}\)độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng: \(\frac{1}{4}.\frac{1}{{12}}.2\pi .R = \frac{1}{4}.\frac{1}{{12}}.2\pi .1,26 = \frac{{21}}{{400}}\pi \approx 0,16\left( m \right)\).
Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở \(105^\circ \)kinh đông, nhưng Quản Bạ ở \(23^\circ \)vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ \(9^\circ \)bắc. Hãy tính độ dài của cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính \(6278km\).
Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng \(23^\circ - 9^\circ = 14^\circ \). Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng \(\frac{{6378.14.\pi }}{{180}} \approx 1558\left( {km} \right)\).
Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là bao nhiêu?
Ta có:
01 bánh răng tương ứng với 360°72=5°⇒10 bánh răng là 50°.
Một cái đồng hồ treo tường có đường kính bằng \(60\;cm\), ta xem vành ngoài chiếc đồng hồ là một đường tròn với các điểm \(A,B,C\) lần lượt tương ứng với vị trí các số \(2,9,4\).
Tính độ dài các cung nhỏ \(AB\) và \(AC\) (kết quả tính theo đơn vị centimét và làm tròn đến hàng phần trăm).
Bán kính đường tròn là \(R = \frac{{60}}{2} = 30\;cm\).
a) Ta có: AOB^=150°=150π180rad=5π6rad; suy ra độ dài cung nhỏ \(AB\) là lAB⏜=R⋅AOB^=30⋅5π6=25π≈78,54 cm.
b) Ta có:AOC^=60°=60π180rad=π3rad ; suy ra độ dài cung nhỏ \(AC\) là lAC⏜=R⋅AOC^=30⋅π3=10π≈31,42 cm
Một vệ tinh được định vị tại vị trí \(A\) trong không gian. Từ vị trí \(A\), vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm \(O\) của Trái Đất. Giả sử vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong \(2\;h\) theo chiều kim đồng hồ. Khi vệ tinh chuyển động được \(3\;h\), bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).
Theo giả thiết, vệ tinh chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau \(2\;h\), bán kính của vòng quay khi vệ tinh chuyển động quét được một góc lượng giác bằng \( - 2\pi (rad)\).
Vậy khi vệ tinh chuyển động được \(3\;h\) thì bán kính của vòng quay quét được một góc lượng giác bằng \( - 3\pi \) (rad).
