Đề kiểm tra Giá trị lượng giác của góc lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Độ dài của cung \[{40^{\rm{o}}}\] trên đường tròn được tính bằng công thức: \(\frac{{\pi .\,{a^{\rm{o}}}}}{{180}}.R = \frac{\pi }{{180}}.40.10 \approx 7\,{\rm{cm}}\).

Chọn A

\(l = R\alpha  \Rightarrow \alpha  = \frac{l}{R} = \frac{{3\pi }}{9} = \frac{\pi }{3}\).

Chọn D

Ta có \({60^0}\)tương ứng với góc \(\frac{\pi }{3}rad\). Do đó độ dài cung tròn là \(l = R\alpha  = 12.\frac{\pi }{3} = 4\pi  = 12,56cm\).

a) Ta có: ${108}^0=\frac{{108}^0\cdot \mathrm{\pi }}{{180}^{°}}=\frac{3\mathrm{\pi }}{5}$ rad

b) Ta có: ${120}^{°}=\frac{{120}^{°}\cdot \pi }{{180}^{°}}=\frac{2\pi }{3}$ rad

c) Ta có: ${22}^0{30}^{\text{'}}=\frac{{22}^0{30}^{\text{'}}\cdot \mathrm{\pi }}{{180}^{°}}=\frac{\mathrm{\pi }}{8}$ rad

d) ${\left(\frac{1}{6\mathrm{\pi }}\right)}^{°}=\frac{\frac{1}{6\mathrm{\pi }}\mathrm{\pi }}{180}=\frac{1}{1080}$ rad

Do \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin x > 0\).

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}}\)

\( \Rightarrow \sin x = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt {15} ;\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.\)

a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo ${218}^{°}$ là điểm \(M\) thuộc góc phần tư thứ III của đường tròn lượng giác thoả mãn $\widehat{AOM}={218}^{°}$

Hình 1

b) Ta có: $-{405}^{°}=-{45}^{°}-{360}^{°}$. Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo $-{405}^{°}$ là điểm \(N\) thuộc góc phần tư thứ IV của đường tròn lượng giác thoả mãn $\widehat{AON}={45}^{°}$ (Hình 2).

Hình 2

c) Ta có: $\frac{25\pi }{4}=\frac{\pi +24\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+6\pi$. Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{25\pi }}{4}\) là điểm \(P\) thuộc góc phần tư thứ I của đường tròn lượng giác thoả mãn \(\widehat {AOP} = \frac{\pi }{4}\)(Hình 3).

Hình 3

d) Ta có: \(\frac{{15\pi }}{2} = \frac{{16\pi  - \pi }}{2} =  - \frac{\pi }{2} + 8\pi \). Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{15\pi }}{2}\) là điểm \(Q(0; - 1)\) thuộc đường tròn lượng giác thoả mãn \(\widehat {AOQ} = \frac{\pi }{2}\) (Hinh 4).

Hình 4

a) Ta có: \[(OA,OB) = \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\];

b) Ta thấy \(A,C,E,G\) lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác \(0rad,\frac{\pi }{2}rad,\pi rad,\frac{{3\pi }}{2}rad,2\pi rad\), \(\frac{{5\pi }}{2}{\mathop{\rm rad}\nolimits} ,..\). Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau \(\frac{\pi }{2}\) rad. Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là \(k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z})\).

c) Ta thấy hai điểm \(A,E\) lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác $0^{°},{180}^{°},{360}^{°},{540}^{°},\dots$ Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau \({180^^\circ }\). Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là $k{180}^{°}(k\in \mathbb{Z})$

d) Theo hệ thức Sa-lơ, ta có:

\(\begin{array}{l}(OA,OB) + (OB,OC) = (OA,OC) = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\\(OA,OC) + (OC,OH) = (OA,OH) =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\end{array}\)

Tốc độ góc của quạt trần là: \(\frac{{45.2\pi }}{{60}} = \frac{{3\pi }}{2}\left( {{\rm{rad}}/{\rm{s}}} \right)\).

Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo là: \(\frac{{3\pi }}{2}.3 = \frac{{9\pi }}{2}\) rad.

a) Trong \(15\)phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \(\frac{1}{4}\)độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng: \(\frac{1}{4}.2\pi .R = \frac{1}{4}.2\pi .1,75 = \frac{7}{8}\pi  \approx 2,75\left( m \right)\).

b) Trong \(15\)phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng \(\frac{1}{4}.\frac{1}{{12}}\)độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng: \(\frac{1}{4}.\frac{1}{{12}}.2\pi .R = \frac{1}{4}.\frac{1}{{12}}.2\pi .1,26 = \frac{{21}}{{400}}\pi  \approx 0,16\left( m \right)\).

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng \(23^\circ  - 9^\circ  = 14^\circ \). Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng \(\frac{{6378.14.\pi }}{{180}} \approx 1558\left( {km} \right)\).

Ta có:

01 bánh răng tương ứng với $\frac{{360}^{°}}{72}=5^{°}\Rightarrow 10$ bánh răng là ${50}^{°}$.

Bán kính đường tròn là \(R = \frac{{60}}{2} = 30\;cm\).

a) Ta có: $\widehat{AOB}={150}^{°}=\frac{150\pi }{180}rad=\frac{5\pi }{6}rad$; suy ra độ dài cung nhỏ \(AB\) là ${\mathrm{l}}_{\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}}=\mathrm{R}\cdot \widehat{\mathrm{AOB}}=30\cdot \frac{5\mathrm{\pi }}{6}=25\mathrm{\pi }\approx 78,54 \mathrm{cm}$.

b) Ta có:$\widehat{AOC}={60}^{°}=\frac{60\pi }{180}rad=\frac{\pi }{3}rad$ ; suy ra độ dài cung nhỏ \(AC\) là ${\mathrm{l}}_{\stackrel{⏜}{\mathrm{AC}}}=\mathrm{R}\cdot \widehat{\mathrm{AOC}}=30\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{3}=10\mathrm{\pi }\approx 31,42 \mathrm{cm}$

Theo giả thiết, vệ tinh chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau \(2\;h\), bán kính của vòng quay khi vệ tinh chuyển động quét được một góc lượng giác bằng \( - 2\pi (rad)\).

Vậy khi vệ tinh chuyển động được \(3\;h\) thì bán kính của vòng quay quét được một góc lượng giác bằng \( - 3\pi \) (rad).