8 câu Dạng 1: Phân biệt phép biến hình, phép dời hình có đáp án

Hướng dẫn giải

Lấy hai điểm $M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)$, ta có $MN=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$.

a) Ảnh của M, N qua phép biến hình $F_1$ lần lượt được$M\text{'}\left(y_1;-x_1\right),N\text{'}\left(y_2;-x_2\right)$ .

Ta có $M\text{'}N\text{'}=\sqrt{{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(x_1-x_2\right)}^2}=MN$.

Vậy phép biến hình $F_1$ là phép dời hình.

c) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình $F_3$ lần lượt được $M\text{'}\left(3x_1+1;y_1-1\right),N\text{'}\left(3x_2+1;y_2-1\right)$

Ta có $M\text{'}N\text{'}=\sqrt{9{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$

Nếu $x_1\ne x_2$ thì $M\text{'}N\text{'}\ne MN$.

Vậy phép biến hình $F_3$ không là phép dời hình (vì có một số điểm không bảo toàn khoảng cách).

Hướng dẫn giải

Phép biến hình F biến $M\left(x_1;y_1\right)$ tương ứng thành $M\text{'}\left(x_1^{\text{'}};y_1^{\text{'}}\right)$, với $\left\{\begin{array}{l}{x}_1\text{'}=x_1\cos \alpha -y_1\sin \alpha +a\\ y_1\text{'}=x_1\sin \alpha +y_1\cos \alpha +b\end{array}\right.$

Phép biến hình F biến $N\left(x_2;y_2\right)$ tương ứng thành $N\text{'}\left(x_2^{\text{'}};y_2^{\text{'}}\right)$, với $\left\{\begin{array}{l}{x}_2\text{'}=x_2\cos \alpha -y_2\sin \alpha +a\\ y_2\text{'}=x_2\sin \alpha +y_2\cos \alpha +b\end{array}\right.$

Ta có: $MN=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

$\begin{array}{l}M\text{'}N\text{'}=\sqrt{{\left(x_2\text{'}-x_1\text{'}\right)}^2+{\left(y_2\text{'}-y_1\text{'}\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left[\left(x_2-x_1\right)\cos \alpha -\left(y_2-y_1\right)\sin \alpha \right]}^2+{\left[\left(x_2-x_1\right)\sin \alpha +\left(y_2-y_1\right)\cos \alpha \right]}^2}\\ =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2{\cos }^2\alpha +{\left(y_2-y_1\right)}^2{\sin }^2\alpha +{\left(x_2-x_1\right)}^2{\sin }^2\alpha +{\left(y_2-y_1\right)}^2{\cos }^2\alpha }\\ =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)+{\left(y_2-y_1\right)}^2\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)}\\ =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}=MN\end{array}$

Vậy phép biến hình F là phép dời hình.

Lấy hai điểm $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ bất kì trong mặt phẳng.

Xét $\left\{\begin{array}{l}{F}_1\left(A\right)=A_1\left(-y_1;x_1\right)\\ F_1\left(B\right)=B_1\left(-y_2;x_2\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)\\ \overrightarrow{A_1{B}_1}=\left(y_1-y_2;x_2-x_1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\\ A_1{B}_1=\sqrt{{\left(y_1-y_2\right)}^2+{\left(x_2-x_1\right)}^2}\end{array}\right.$

Suy ra $A_1{B}_1=AB\Rightarrow F_1$ là phép dời hình.

Xét $\left\{\begin{array}{l}{F}_2\left(A\right)=A_2\left(2x_1;2y_1\right)\\ F_2\left(B\right)=B_2\left(2x_2;2y_2\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)\\ \overrightarrow{A_2{B}_2}=\left(2x_2-2x_1;2y_2-2y_1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\\ A_2{B}_2=\sqrt{4{\left(x_2-x_1\right)}^2+4{\left(y_2-y_1\right)}^2}\end{array}\right.$

Khi $x_1\ne x_2$ hoặc $y_1\ne y_2$ thì $F_2$ không là phép dời hình.