13 câu Dạng 1: Xác định ảnh một hình qua phép vị tự có đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $V_{\left(I;2\right)}\left(A\right)=A\text{'}$. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=kx+\left(1-k\right)x_0\\ y\text{'}=ky+\left(1-k\right)y_0\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $V_{\left(I;2\right)}:M\to M\text{'}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4=\left(-3\right).2+\left(1-2\right).a\\ 6=5.2+\left(1-2\right).b\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-10\\ b=4\end{array}\right.\Rightarrow I\left(-10;4\right)$

Hướng dẫn giải

(C) có tâm$A\left(3;-2\right)$, bán kính R=2 

(C') có tâm $A\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$, bán kính $R\text{'}=\frac{5}{2}$

Vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số $k=-\frac{1}{2}\Rightarrow \overrightarrow{IA\text{'}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IA}$.

Mà  $\overrightarrow{IA}=\left(x\text{'}-2;y\text{'}-1\right);\overrightarrow{IA}=\left(1;-3\right)$

Suy ra $A\text{'}\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)\Rightarrow \left(C\text{'}\right):x^2+y^2-3x-5y+\frac{9}{4}=0$.

Không có phép vị tự nào biến d thành d’ vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Phép vị tự có tâm là trung điểm OO’, tỉ số vị tự bằng -1.

$V_{\left(I;k\right)}\left(C\right)=C\text{'}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IO\text{'}}=k.\overrightarrow{IO}\\ R\text{'}=\left|k\right|.R\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IO\text{'}}=k.\overrightarrow{IO}\\ k=\pm \frac{R}{R\text{'}}=\pm 1\left(doR=R\text{'}\right)\end{array}\right.$

Ta có O khác O’ nên $k=-1$ và I là trung điểm của OO’.

Ta có: $A\text{'}\left(1;2\right)$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: $\left\{\begin{array}{l}1=x.\left(-2\right)+\left(1+2\right).1\\ 2=y.\left(-2\right)+\left(1+2\right).3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.\Rightarrow A\left(1;\frac{7}{2}\right)$

Gọi $I\left(x;y\right)$ là tâm vị tự. Theo định nghĩa, ta có: $\overrightarrow{IM\text{'}}=2.\overrightarrow{IM}$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}-2-x=2\left(1-x\right)\\ -4-y=2\left(2-y\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=8\end{array}\right.$.

Vậy tâm vị tự là $I\left(4;8\right)$.

$V_{\left(I;-2\right)}\left(d\right)=d\text{'}$ nên d’ có dạng $2x+y+c=0$

Chọn điểm $M\left(2;0\right)\in d$.

Ta có: $V_{\left(I;-2\right)}\left(M\right)=M\text{'}\left(x;y\right)\in d\text{'}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=5\\ y\text{'}=-2\end{array}\right.$.

Thế vào d’, ta có $10-2+c=0\Rightarrow c=8$.

Vậy $d\text{'}:2x+y+8=0$.

Ta có $d:2x-y-4=0\Rightarrow d//d\text{'}$

Chọn $M\left(2;0\right)\in d\Rightarrow V_{\left(O;k\right)}\left(M\right)=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=2k\\ y\text{'}=0\end{array}\right.$

Do $M\text{'}\in d\text{'}$ nên  $2.2k-0-6=0\iff k=\frac{3}{2}$.

Đường tròn (C) có tâm $I\left(8;1\right)$. Gọi (C')  là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-2.

Ta có $V_{\left(I;-2\right)}\left(J\right)=J\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\iff \overrightarrow{IJ\text{'}}=-2\overrightarrow{IJ}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-3\\ y=8\end{array}\right.\Rightarrow J\text{'}\left(-3;8\right)$ là tâm của đường tròn (C').

Bán kính $R\text{'}=\left|k\right|.R=2\sqrt{5}$

Vậy phương trình đường tròn (C') là ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2=20$.

Ta có đường tròn (C') có tâm $K\text{'}\left(3;0\right)$ và bán kính R'=4.

Gọi $K\left(x;y\right)$ và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Khi đó $\begin{array}{l}{V}_{\left(I;-2\right)}\left(C\right)=\left(C\text{'}\right)\iff V_{\left(I;-2\right)}\left(K\right)=\left(K\text{'}\right)\iff \overrightarrow{IK\text{'}}=-2\overrightarrow{IK}\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}-1=-2\left(x-1\right)\\ y\text{'}-2=-2\left(y-2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3-1=-2x+2\\ 0-2=-2y+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}\right.\end{array}$. Vậy $K\left(0;3\right)$.

Lại có $R\text{'}=\left|k\right|.R\iff R=\frac{R\text{'}}{\left|k\right|}=\frac{4}{2}=2$.

Vậy đường tròn $\left(C\right):x^2+{\left(y-3\right)}^2=4$

Ta thấy, thay tọa độ của điểm $N\left(-2;3\right)$ vào đường tròn (C) thấy thỏa mãn.

Vậy N thuộc đường tròn (C).