13 câu Dạng 1: Xác định ảnh một hình qua phép vị tự có đáp án
13 câu hỏi
Tìm ảnh A’ của điểm A(1,4) qua phép vị tự tâm I2;5,k=2.
Hướng dẫn giải
Ta có VI;2A=A'. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: x'=kx+1−kx0y'=ky+1−ky0
Suy ra: x'=2.3+1−2.2=4y'=2.4+1−2.5=3⇒A'4;3.
Cho M−3;5,M'4;6. Tìm tâm I của phép vị tự biến M thành M’ có tỉ số k=2.
Hướng dẫn giải
Ta có: VI;2:M→M'⇒4=−3.2+1−2.a6=5.2+1−2.b⇒a=−10b=4⇒I−10;4
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C:x2+y2−6x+4y−12=0. Tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm tỉ số k=−12
Hướng dẫn giải
(C) có tâmA3;−2, bán kính R=2
(C') có tâm A'x';y', bán kính R'=52
Vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=−12⇒IA'→=−12IA→.
Mà IA→=x'−2;y'−1;IA→=1;−3
Suy ra A'32;52⇒C':x2+y2−3x−5y+94=0.
Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thẳng d’?
0
1
2
vô số
Không có phép vị tự nào biến d thành d’ vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cho hai đường tròn bằng nhau O;R và O';R' với tâm O và O’ phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến O;R thành O';R'?
0
1
2
vô số
Phép vị tự có tâm là trung điểm OO’, tỉ số vị tự bằng -1.
VI;kC=C'⇒IO'→=k.IO→R'=k.R⇒IO'→=k.IO→k=±RR'=±1do R=R'
Ta có O khác O’ nên k=−1 và I là trung điểm của OO’.
Cho 4IA→=5IB→. Tỉ số vị tự k của phép vị tự tâm I, biến A thành B là:
k=45
k=35
k=54
k=15
Vậy 4IA→=5IB→⇔IB→=45IA→ Vậy có tỉ số k=45
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A3;2 Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k=−1là:
3;2
(2;3)
−2;−3
−3;−2
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự.
VO;−1A=A'⇒A':x'=kx+1−kx0y'=ky+1−ky0⇒x'=−3y'=−2Vậy A'−3;−2
Tìm A để điểmA'1;2 là ảnh của A qua phép vị tự tâm I1;3,k=−2là:
A1;13
A1;72
A-1;-72
A−1;−13
Ta có: A'1;2
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: 1=x.−2+1+2.12=y.−2+1+2.3⇒x=1y=72⇒A1;72
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M1;2,M'−2;−4 và số k=2. Phép vị tự tỉ số k=2 biến điểm M thành điểm M’ có tâm vị tự là:
I−4;8
I4;−8
I−4;−8
I4;8
Gọi Ix;y là tâm vị tự. Theo định nghĩa, ta có: IM'→=2.IM→
Suy ra −2−x=21−x−4−y=22−y⇔x=4y=8.
Vậy tâm vị tự là I4;8.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:2x+y−4=0,I−1;2. Ảnh của d qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 là:
2x−y+4=0
−2x+y+8=0
2x+y+8=0
x+12y+2=0
VI;−2d=d' nên d’ có dạng 2x+y+c=0
Chọn điểm M2;0∈d.
Ta có: VI;−2M=M'x;y∈d'⇒x'=5y'=−2.
Thế vào d’, ta có 10−2+c=0⇒c=8.
Vậy d':2x+y+8=0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d:x2−y4=1và d':2x−y−6=0 . Phép vị tựVO;kd=d'. Tìm k.
k=32
k=−23
k=13
k=-13
Ta có d:2x−y−4=0⇒d//d'
Chọn M2;0∈d⇒VO;kM=M'x';y'⇒x'=2ky'=0
Do M'∈d' nên 2.2k−0−6=0⇔k=32.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C:x−32+y+12=5 . Ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1,2) và tỉ số k=-2 là:
x2+y2+6x−16y+4=0
x2+y2−6x+6y−4=0
x+32+y−82=20
x−32+y+82=20
Đường tròn (C) có tâm I8;1. Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-2.
Ta có VI;−2J=J'x';y'⇔IJ'→=−2IJ→⇒x'=−3y=8⇒J'−3;8 là tâm của đường tròn (C').
Bán kính R'=k.R=25
Vậy phương trình đường tròn (C') là x+32+y−82=20.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C':x−32+y2=16 vàI1;2 điểm . Biết đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-2. Điểm nào sau đây thuộc đường tròn (C)?
M3;4
N−2;3
P2;0
Q3;2
Ta có đường tròn (C') có tâm K'3;0 và bán kính R'=4.
Gọi Kx;y và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).
Khi đó VI;−2C=C'⇔VI;−2K=K'⇔IK'→=−2IK→⇔x'−1=−2x−1y'−2=−2y−2⇔3−1=−2x+20−2=−2y+4⇔x=0y=3. Vậy K0;3.
Lại có R'=k.R⇔R=R'k=42=2.
Vậy đường tròn C:x2+y−32=4
Ta thấy, thay tọa độ của điểm N−2;3 vào đường tròn (C) thấy thỏa mãn.
Vậy N thuộc đường tròn (C).
