15 câu Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay có đáp án
15 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90 độ biến điểm M1;2 thành điểm nào?
Hướng dẫn giải
Biểu thức tọa độ của phép quay
QO;90°:Mx;y→M'x';y'⇒x'=−yy'=x
Với M1;2 , ta có: x'=−y=−2y'=x=1
Vậy M'−2;1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d':5x−3y+15=0 Tìm ảnh d’ của d qua phép quay QO;90°với O là gốc tọa độ?
Chọn A0;5∈d,B−3;0∈d
QO;90°A=A'−5;0∈d';QO;90°B=B'0;−3∈d'
Đường thẳng d’ là đường thẳng có phương trình là: A'B':3x+5y+15=0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C:x−12+y−22=4 .
Tìm ảnh (C') của đường tròn (C) qua QO;90°
Hướng dẫn giải
Với mọi Mx;y∈C thì
QO;90°M=M'x';y'∈C'
Biểu thức tọa độ x'=−yy'=x⇒y=−x'x=y'
Thay tọa độ vào đường tròn (C) , ta có:
y'−12+−x'−22=4⇔x'+22+y'−12=4
Vậy C:x+22+y−12=4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90° biến điểm M−3;5 thành điểm nào?
3;4
−5;−3
5;−3
−3;−5
Hướng dẫn giải
Biểu thức tọa độ QO;90°:Mx;y→M'x';y'⇒x'=−y=−5y'=x=−3 của phép quay
Suy ra M':x'=−5y'=3 . Vậy M'−5;−3.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1,1) . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O0;0, góc quay 45°?
M'2;0
M'0;2
M'0;1
M'1;−1
Hướng dẫn giải
Xét QO;90°:Mx;y→M'x';y'
Biểu thức tọa độ: x'=xcosφ−ysinφ=22x−22yy'=xsinφ+ycosφ=22x+22y
Với M(1,1), ta có: x'=0y'=2⇒M'0;2 .
Chọn B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm Ax;y. Biểu thức tọa độ của điểm A'=QO;90°A là:
x'=yy'=−x
x'=−yy'=x
x'=−yy'=−x
x'=yy'=x
Ta có: QO;90°Ax;y=A'x';y'⇒x'=−yy'=x
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm Ax;y. Biểu thức tọa độ của điểm A'=QO;−90°A là:
x'=yy'=−x
x'=−yy'=x
x'=−yy'=−x
x'=yy'=x
Ta có: QO;−90°Mx;y=M'x';y'⇒x'=yy'=−x
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểmA4;1. Tọa độ của điểm A'=QO;−90°A là:
A'−1;4
A'1;−4
A'4;−1
A'−4;−1
Ta có: QO;−90°Mx;y=M'x';y'⇒x'=y=1y'=−x=−4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I1;2, biết điểmA4;5 . Khi đó với BxB;yB,CxC;yC,DxD;yD thì xB.xC.xD bằng:
12
8
16
32
Dựa vào hình vẽ, ta có:
QI;90°A=B−2;5QI;180°A=C−2;−1QI;−90°A=D4;−1⇒xB.xC.xD=−2.−2.4=16
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:x+y+1=0 , điểm I1;−2, phép quay QO;90°d=d'. Phương trình đường thẳng d’ là:
−x+y−2=0
x−y−1=0
x−y+3=0
x−y−3=0
Với mọi điểm I1;−2∈d:QO;90°I=I'2;1∈d'
Phép quay QO;90°d=d'⇒d⊥d'.
Do đód:x−y+c=0. Mà I'2;1∈d' nên c=−1
Vậy d':x−y−1=0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A0;3. Ảnh của A qua phép quay A'=QO;−45° là:
A'12;32
A'34;14
A'−32;12
A'32;22
Ta có : QO;−45°Ax;y=A'x';y'
Suy ra x'=0.cos−45°−3sin−45°y'=0.sin−45°+3cos−45°⇒x'=32y'=32⇒A'32;32
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I2;1 và đường thẳng d:2x+3y+4=0 . Ảnh của d qua QI;45° là:
−x+5y−2+32=0
−x+5y−3+102=0
x−5y+3+2=0
−x+5y−3+112=0
Với mọi điểm Mx;y∈d ta có QI;45°M=M'x';y'∈d'.
Với I2;1, ta có biểu thức tọa độ x'−2=x−2.cos45°−y−1sin45°=x−222−y−122y'−1=x−2.sin45°+y−1cos45°=x−222+y−122
⇒x−y=1−22+2x'x+y=3−2+2y'⇒x=2−32+12x'+12y'x=1+12−12x'+12y'
Thay x và y vào phương trình đường thẳng d ta được d':−x+5y−3+112=0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C:x2+y2+6x+5=0. Ảnh đường tròn (C) của (C') qua QO;90° là:
x2+y−32=4
x2+y2+6y−6=0
x2+y+32=4
x2+y2+6y−5=0
Đường tròn (C) có tâm I−3;0 và bán kính R=2.
QO;90°Ix;y=I'x';y'⇒x'=0y'=3⇒I'0;−3.
Đường tròn (C') có tâm I'0;−3 và bán kính R'=R=2 nên có phương trình x2+y+32=4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O góc quay 45°. Ảnh của đường tròn C:x−12+y2=4là:
x−222+y−222=4
x+222+y+222=4
x−222+y+222=4
x2+y2+2x+2y−2=0
Đường tròn (C) có tâm I1;0 và bán kính R=2
Ta có: QO;45°Ix;y=I'x';y'⇒x'=1.cos45°−0sin45°y'=1.sin45°+0cos45°⇒x'=22y'=22⇒I'22;22
Đường tròn (C) có tâm I'22;22 và bán kính R'=R=2 nên có phương trình là: x−222+y−222=4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của ΔABC biết A1;2,B3;4 và cosA=25,cosB=310
AC:x−y−1=0; BC=x−y+5=0
AC:3x−y−2=0; BC=x−2y+3=0
AC:3x−y−1=0; BC=x−2y+5=0
AC:3x−y−4=0; BC=x−2y+2=0
Đặt BAC^=α. Khi đó sinα=1−cos2α=15.
Xét phép quay QA;αB=B'x';y'∈AC .
Ta có biểu thức tọa độ x'−1=2.cosα−2.sinα=2.25−2.15y'−2=2.sinα+2cosα=2.25+2.15
Suy ra x'=1+25y'=2+65⇒B'1+25;2+65
Đường thẳng AC qua A và B’ có phương trình là 3x−y−1=0
Tương tự. Đặt ABC^=β . Khi đó sinβ=1−cos2β=110.
Xét phép quay QB;βA=A'x';y'∈BC
Ta có biểu thức tọa độ x'−3=−2.cosβ+2.sinβ=−2.310+2.110y'−4=−2.sinβ−2cosβ=−2.110−2.310
Suy ra x'=3−410y'=4−810⇒B'3−410;4−810
Đường thẳng BC qua B và A’ có phương trình là x−2y+5=0.
