14 câu Dạng 2: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến có đáp án

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến  $T_{\overrightarrow{v}}$là$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x-2\\ y\text{'}=y+3\end{array}\right.$

Ta có điểm$A\left(1;-1\right)$.

$\begin{array}{l}A\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=1+\left(-2\right)\\ y\text{'}=-1+3\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-1\\ y\text{'}=2\end{array}\right.\Rightarrow A\text{'}\left(-1;2\right)\end{array}$

Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm $M\left(x;y\right)$ tùy ý thuộc đường tròn (C) , ta có: $x^2+y^2+2x-4y-4=0\left(*\right)$

Gọi $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+2\\ y\text{'}=y-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}-2\\ y=y\text{'}+3\end{array}\right.$

Thay vào phương trình (*), ta được: $\begin{array}{l}{\left(x\text{'}-2\right)}^2+{\left(y\text{'}+3\right)}^2+2\left(x\text{'}-2\right)-4\left(y\text{'}+3\right)-4=0\\ \iff x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2-2x\text{'}+2y\text{'}-7=0\end{array}$

Vậy ảnh của (C)  là đường tròn $\left(C\text{'}\right):x^2+y^2-2x+2y-7=0$

Ta có $\overrightarrow{MP}=\left(4;2\right)$

Gọi $N\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ là ảnh của $N\left(-4;1\right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{MP}$.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right.$, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-4+4\\ y\text{'}=1+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}\right.$

Vậy $N\text{'}\left(0;3\right)$

Chọn $A\left(1;0\right)\in \Delta \Rightarrow T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A\text{'}\left(2;-1\right)\in \Delta \text{'}$

Chọn $B\left(-1;1\right)\in \Delta \Rightarrow T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)=B\text{'}\left(0;0\right)\in \Delta \text{'}$

Đường thẳng $∆\text{'}$ chính là đường thẳng A’B’.

Đường thẳng $∆\text{'}$ qua $A\text{'}\left(2;1\right)$ và có một vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$ có phương trình là $\Delta \text{'}:1\left(x-2\right)+2\left(y+1\right)=0\iff x+2y=0$.

Ta có tọa độ trọng tâm $∆ABC$ là $G\left(2;1\right);\overrightarrow{BC}=\left(-6;-3\right)$.

Gọi $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$ là vectơ tịnh tiến biến d thành d’. Khi đó $M\left(x;y\right)\in d$ biến thành điểm $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)\in d\text{'}$

Áp dụng công thức $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}-a\\ y=y\text{'}-b\end{array}\right.$

Thay vào phương trình d ta có $3\left(x\text{'}-a\right)-2\left(y\text{'}-b\right)=0\iff 3x\text{'}-2y\text{'}-3a+2b=0$

Để biến d thành d’ thì $-3a+2b=1$

Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ta có đường tròn (C)  có tâm $I\left(1;-2\right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$

Với phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)$ thì ta có $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x+1\\ y\text{'}=y+2\end{array}\right.$

Suy ra $T_{\overrightarrow{v}}\left(I\right)=I\text{'}\left(2;0\right)$

Vậy đường tròn (C')  có tâm $I\text{'}\left(2;0\right)$, bán kính $R\text{'}=R=\sqrt{6}$ có phương trình ${\left(x-2\right)}^2+y^2=6$.

Đường thẳng d có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{w}=\left(2m;-3m\right)$.

$T_{\overrightarrow{w}}\left(M\right)=M\text{'}\left(2m;1-3m\right)$ với $M\in d$.

$T_{\overrightarrow{w}}\left(d\right)=d\text{'}\Rightarrow d\text{'}$ có dạng $2x-3y+\beta =0$

Vì d’ qua M’ nên $4m-3+9m+\beta =0\iff \beta =3-13m$

Vậy $d\text{'}:2x-3y+3-13m=0$. Để $d_1\equiv d\text{'}$ thì $3-13m=-5\iff m=\frac{8}{13}$

Suy ra $\overrightarrow{w}=\left(\frac{16}{23};-\frac{24}{13}\right)\Rightarrow a+b=-\frac{8}{13}$

Bán kính của đường tròn (C)  là R=2 

Ta có $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\left(2;2\right)$

Tâm I của đường tròn là trung điểm của đoạn AC nên I(1,3)

Xét $T_{\overrightarrow{v}}\left(I\right)=I\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$. Ta có $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=1+2=3\\ y\text{'}=3+2=5\end{array}\right.\Rightarrow I\text{'}\left(3;5\right)$

Qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ ảnh của (C)  là đường tròn (C') có tâm I’ và bán kính R=2.

Vậy ảnh của đường tròn (C)  có phương trình là: $\left(C\text{'}\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=4$.