12 Bài tập Áp dụng giải tam giác vào các bài toán thực tế (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cosA\)

\( = {700^2} + {900^2} - 2.700.900.cos60^\circ \)= 670 000.

Suy ra: BC = \(\sqrt {670000} \approx 818,5\)(m).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)\( \Rightarrow \widehat A = 85^\circ \).

Theo định lí sin ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin 85^\circ }}\)\( \Leftrightarrow AB = \sin 45^\circ .\frac{5}{{\sin 85^\circ }}\)≈ 3,55 (m).

Vậy chiều cao của cây khoảng 3,55 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Theo định lí côsin ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\).

Thay số: \(A{B^2} = {21^2} + {15^2} - 2.21.15.\cos 80^\circ \)≈ 556,6

Suy ra: AB ≈ \(\sqrt {556,6} \)≈ 23,6 (m).

Vậy khoảng cách AB là khoảng 23,6 m và gần nhất với kết quả 24 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác OCD vuông tại D có OD = AB = 55 (m); \(\widehat {COD} = 60^\circ \)

Nên CD = OD. tan\(\widehat {COD}\) = 55\(\sqrt 3 \)≈ 95,26 (m).

Vậy chiều cao của tháp là: 95,26 + 2 = 97,26 (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BAH} - \widehat {CAH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Lại có: \(\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\).

Trong tam giác ABC có: \(\widehat {BCA} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 29^\circ 30'\).

Áp dụng định lí sin vào ∆ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}\)\( \Rightarrow \)AC = \(\sin \widehat {ABC}.\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}\)≈ 234,83 (m).

Trong tam giác vuông AHC có: \(\frac{{CH}}{{AC}} = \sin 45^\circ \)\( \Rightarrow \)CH = AC. sin 45° ≈ 166,05.

Vậy điểm pháo hoa nổ cao so với mặt đất khoảng 166,05 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

\(\widehat {MNB} = 180^\circ - \widehat {BNA} = 135^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = 180^\circ - \widehat {BNM} - \widehat {BMN} = 15^\circ \)

Áp dụng định lí sin vào tam giác BMN ta có:

\(\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}} = \frac{{BN}}{{\sin \widehat {BMN}}}\)\( \Rightarrow BN = \sin \widehat {BMN}.\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MBN}}}\) ≈ 965,92 (m)

Xét tam giác BNA vuông tại A có:  AB = BN. sin \(\widehat {BNA}\) ≈ 683 (m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng định lí côsin trong ∆ABC ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat C = 2\,190\,000\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {2\,\,190\,\,000} \approx 1479,86\left( m \right)\)

Độ dài đường hầm AB là: 1479,86 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)

\( \Leftrightarrow 144 = A{B^2} + 64 - 16.AB.\cos 65^\circ \)

 \[ \Leftrightarrow A{B^2} - 16.AB.\cos {65^o} - 80 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB \approx 13\\AB \approx - 6,18\,\,(L)\end{array} \right.\]

Do đó: AB = 13 km.

Ta có: AC + BC – AB = 12 + 8 – 13 = 7 (km)

Vậy số tiền phải tốn thêm 7 . 150 000 = 1 050 000 (đồng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Trong tam giác ABC có: \(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 75^\circ \).

Theo định lý sin ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)\( \Leftrightarrow \)AC = \(\frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}}\)= \(\frac{{10.\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }}\)= −10 + 10\(\sqrt 3 \).

Vậy khoảng cách từ trạm A đến tháp C là −10 + 10\(\sqrt 3 \) km.