Đề kiểm tra Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \), \(b = 10\), \(c = 20\). Diện tích tam giác ABC bằng\[70\sqrt 3 \].
\[60\sqrt 3 \].
\[50\sqrt 3 \].
\[40\sqrt 3 \].
Chọn C
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}b.c.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ = 50\sqrt 3 \).
\(\sqrt 5 \).
\(\sqrt {17} \).
\(5\).
\(\frac{9}{4}\).
Chọn B
Theo định lý cosin: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\)\( = 2 + 9 - 2.\sqrt 2 .3.\cos {135^0} = 17\)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {17} \).
\[\sqrt {113} \].
\[\sqrt {73} \].
\[\sqrt {217} \].
\[8\]
Chọn B
![Cho tam giác \[\Delta ABC\] có \[AB = 9,BC = 8,\widehat {ABC} = {60^0}\]. Tính độ dài đoạn \[AC\]. A. \[\sqrt {113} \]. B. \[\sqrt {73} \]. C. \[\sqrt {217} \]. D. \[8\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/8-1760100523.png)
Ta có: \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC} = {8^2} + {9^2} - 2.9.8.\frac{1}{2} = 73 = > AC = \sqrt {73} \]
\(AB = 6\sqrt 7 \).
\(AB = 3\sqrt 7 \)
\(AB = 6\sqrt {21} \).
\(AB = 3\sqrt {21} \).
Chọn D
Theo định lí cosin ta có: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C = {12^2} + {15^2} - 2.12.15.\cos 60^\circ = 189\)
\( \Rightarrow AB = 3\sqrt {21} \).
\(C = 150^\circ .\)
\(C = 120^\circ .\)
\(C = 60^\circ .\)
\(C = 30^\circ .\)
Chọn B
Áp dụng định lí cô-sin cho tam giác \(ABC\) ta có \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)
Mặt khác theo giả thiết \({c^2} = {a^2} + {b^2} + ab\)
Do đó ta được \({c^2} = {a^2} + {b^2} + ab = {a^2} + {b^2} - 2abc{\rm{osC }} \Leftrightarrow c{\rm{osC = - }}\frac{1}{2} \Leftrightarrow C = {120^0}\)
\(5,2.\).
\(2,5.\).
\(2,6.\).
\(9,8.\)
Chọn B
Ta có
Áp dụng định lí \(\sin \)ta có
Vậy \(BC = 2,5.\).
\(3,1\).
\[3,7\].
\(3,5\).
\(3,8.\)
Chọn A
\[\widehat {C\,} = 180^\circ - \left( {40^\circ + 60^\circ } \right) = 80^\circ .\]
Áp đụng định lý sin vào \[\Delta ABC\]:
\[\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }}.\sin 40^\circ = 3,26.\].
\(5cm\).
\(10cm\).
\(5\sqrt 3 cm\).
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}cm\).
Chọn A
Áp dụng định lý sin ta có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{5}{{2.\sin {{30}^ \circ }}} = 5\).
\(24.\)
\(36.\)
\(22.\)
\(12.\)
Chọn A
Ta có \(\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}}\).
Theo định lý sin trong tam giác ta tính được \(b = 8,c = 6\).
Chu vi tam giác là \(a + b + c = 24\).
\(\sqrt {11} \).
\(4\).
\(\frac{9}{2}\).
\(\sqrt {10} \).
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: \[B{M^2} = \frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} = \frac{{{3^2} + {5^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow AC = 4\].
\[67{\rm{m}}\].
\[24{\rm{m}}\].
\[16{\rm{m}}\].
\[12{\rm{m}}\].
Chọn D
Gọi \[{h_1},{h_2}\] lần lượt là độ dài cạnh đối diện góc \[{45^0},\,{10^0}\].
\[{h_1} = 10m\]( do tam giác vuông cân).
\[{h_2} = 10.\tan {10^0} \approx 1,76m\].
\[h = {h_1} + {h_2} \approx 11,76m\].
\(195{\rm{m}}\).
\(234{\rm{m}}\).
\(165{\rm{m}}\).
\(135{\rm{m}}\).
Chọn D
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác \(ABC\) có \[\widehat {CAB} = {60^0}\], \[\widehat {ABC} = {105^0}30'\]và \[AB = 70.\]
Khi đó\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - {165^0}30' = {14^0}30'\].
Theo định lí sin, ta có \[\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\] hay \[\frac{{AC}}{{\sin {{105}^0}30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^0}30'}}\]
Do đó \[AC = \frac{{70.\sin {{105}^0}30'}}{{\sin {{14}^0}30'}} \approx 269,4\,{\rm{m}}\].
Gọi \[CH\] là khoảng cách từ \(C\)đến mặt đất. Tam giác vuông \(ACH\) có cạnh \(CH\) đối diện với góc \[{30^0}\] nên \[CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7\,{\rm{m}}\].
Vậy ngọn núi cao khoảng \(135m\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC có Khi đó:
a) \(a = \sqrt {127} \;cm\)
b) \(\cos C \approx 0,91\)
c) \(\cos B \approx 0,21\)
d) \(R \approx 6,03(\;cm)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:
Do đó, \(a = \sqrt {109} \;cm\).
Ta có \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109} .5}} \approx 0,81\).
Tương tự, \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109} .7}} \approx 0,91\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
nên
Cho tam giác ABC biết các cạnh \(a = 52,1\;cm,b = 85\;cm,c = 54\;cm\). Khi đó:
a) \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)
b) \(A \approx {32^0}\)
c)
d)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Theo hệ quả định lí \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
\( = \frac{{{{85}^2} + {{54}^2} - 52,{1^2}}}{{2.85.54}} \approx 0,81 \Rightarrow A \approx {36^0};\)\(\)
Cho tam giác ABC, biết \(b = 7,c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\). Khi đó:
a) \(\sin A = \frac{4}{5}\)
b) \(S = 14\)
c) \(a = 3\sqrt 2 \)
d) \(r = 4 - \sqrt 2 \)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = 14\)
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \). \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2};p = \frac{{a + b + c}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \)
\(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = 3 - \sqrt 2 \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 3,AC = 4\;A\), diện tích \(S = 3\sqrt 3 \). Khi đó:
a) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)
b) \(\sin A = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
c) \(\cos A = \frac{1}{2}\)
d) \(\cos A = - \frac{1}{2}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{2 \cdot 3\sqrt 3 }}{{3 \cdot 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). \({\cos ^2}A = 1 - {\sin ^2}A = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos A = \frac{1}{2}}\\{\cos A = - \frac{1}{2}}\end{array};B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A} \right.\).
Với \(\cos A = \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13 \Rightarrow BC = \sqrt {13} \).
Với \(\cos A = - \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 37 \Rightarrow BC = \sqrt {37} \).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho tam giác \(ABC\) có . Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cho tam giác ABC có \(a = 7\;cm,b = 8\)\(c = 6cm.\) Hãy tính độ dài đường trung tuyến \({m_a}\) của tam giác đã cho.?
Ta có:
\(m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{8^2} + {6^2}} \right) - {7^2}}}{4} = \frac{{151}}{4} \Rightarrow {m_a} = \frac{{\sqrt {151} }}{2}.\)
Cho tam giác ABC có \(AB = 4,AC = 10\) và đường trung tuyến \(AM = 6\). Tính độ dài cạnh \(BC\)?
Ta có: \(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - A{M^2}} \right) = 4\left( {\frac{{{4^2} + {{10}^2}}}{2} - {6^2}} \right) = 88 \Rightarrow BC = 2\sqrt {22} .\)
Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12\;m\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao \(h = 1,3\;m\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1},{B_1}\) cùng thẳng hàng với \({C_1}\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được góc và . Tính chiều cao \(CD\) của tháp.
Ta có: , nên .
Xét tam giác \({A_1}D{B_1}\), có:
Xét tam giác \({C_1}{A_1}D\) vuông tại \({C_1}\), có:
Trên ngọn đồi có một cái tháp cao \(100\;m\) (hình vẽ). Đỉnh tháp \(B\) và chân tháp \(C\) lần lượt nhìn điểm \(A\) ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng và so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao \(AH\) của ngọn đồi.
. Nên \(\Delta ABC\) cân tại \(C \Rightarrow AC = BC = 100\)
Trong tam giác vuông
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(20\;km/h\), tàu thứ hai chạy với tốc độ \(30\;km/h\). Hỏi sau 3 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
Ta có quãng đường tàu thứ nhất đi được là \({s_1} = {v_1}t = 20.3 = 60(\;km)\).
Quãng đường tàu thứ hai đi được là \({s_2} = {v_2}t = 30.3 = 90(\;km)\).
\(\Delta ABC\) với \(B\) là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là \(AB = {s_1} = 60\;km;C\)là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là \(AC = {s_2} = 90\;km\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = 6300\). Vậy khoảng cách hai tàu sau 3 giờ chạy là \(BC = 30\sqrt 7 \).
