Đề kiểm tra Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \), \(b = 10\), \(c = 20\). Diện tích tam giác ABC bằng
\[70\sqrt 3 \].
\[60\sqrt 3 \].
\[50\sqrt 3 \].
\[40\sqrt 3 \].
Chọn C
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}b.c.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ = 50\sqrt 3 \).
Cho tam giác ABC có \(B = {135^0}\), \(AB = \sqrt 2 \) và \(BC = 3\). Độ dài cạnh \(AC\)bằng?
\(\sqrt 5 \).
\(\sqrt {17} \).
\(5\).
\(\frac{9}{4}\).
Chọn B
Theo định lý cosin: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\)\( = 2 + 9 - 2.\sqrt 2 .3.\cos {135^0} = 17\)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {17} \).
Cho tam giác \[\Delta ABC\] có \[AB = 9,BC = 8,\widehat {ABC} = {60^0}\]. Tính độ dài đoạn \[AC\].
\[\sqrt {113} \].
\[\sqrt {73} \].
\[\sqrt {217} \].
\[8\]
Chọn B
![Cho tam giác \[\Delta ABC\] có \[AB = 9,BC = 8,\widehat {ABC} = {60^0}\]. Tính độ dài đoạn \[AC\]. A. \[\sqrt {113} \]. B. \[\sqrt {73} \]. C. \[\sqrt {217} \]. D. \[8\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/8-1760100523.png)
Ta có: \[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC} = {8^2} + {9^2} - 2.9.8.\frac{1}{2} = 73 = > AC = \sqrt {73} \]
Cho \(\Delta ABC\)có \(BC = 12\,,\,AC = 15\), góc \(\widehat C = 60^\circ \). Khi đó độ dài cạnh \(AB\)là:
\(AB = 6\sqrt 7 \).
\(AB = 3\sqrt 7 \)
\(AB = 6\sqrt {21} \).
\(AB = 3\sqrt {21} \).
Chọn D
Theo định lí cosin ta có: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C = {12^2} + {15^2} - 2.12.15.\cos 60^\circ = 189\)
\( \Rightarrow AB = 3\sqrt {21} \).
Tính góc \(C\) của tam giác ABC biết \({c^2} = {a^2} + {b^2} + ab\).
\(C = 150^\circ .\)
\(C = 120^\circ .\)
\(C = 60^\circ .\)
\(C = 30^\circ .\)
Chọn B
Áp dụng định lí cô-sin cho tam giác \(ABC\) ta có \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)
Mặt khác theo giả thiết \({c^2} = {a^2} + {b^2} + ab\)
Do đó ta được \({c^2} = {a^2} + {b^2} + ab = {a^2} + {b^2} - 2abc{\rm{osC }} \Leftrightarrow c{\rm{osC = - }}\frac{1}{2} \Leftrightarrow C = {120^0}\)
Cho tam giác ABC có AB=5 ; A^=30° ; B^=70°. Độ dài của cạnh \(BC\) có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây
\(5,2.\).
\(2,5.\).
\(2,6.\).
\(9,8.\)
Chọn B
Ta có C^=180°−A^+B^=80°.
Áp dụng định lí \(\sin \)ta có BCsinA=ABsinC⇔BC=ABsinAsinC=5.sin30°sin80°≈2,5.
Vậy \(BC = 2,5.\).
Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 5,\,\widehat {A\,} = 40^\circ ,\,\widehat {B\,} = 60^\circ \]. Độ dài \[BC\] gần nhất với kết quả nào?
\(3,1\).
\[3,7\].
\(3,5\).
\(3,8.\)
Chọn A
\[\widehat {C\,} = 180^\circ - \left( {40^\circ + 60^\circ } \right) = 80^\circ .\]
Áp đụng định lý sin vào \[\Delta ABC\]:
\[\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }}.\sin 40^\circ = 3,26.\].
Cho tam giác ABC có \(BC = 5cm,\,\widehat {BAC} = {30^ \circ }\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
\(5cm\).
\(10cm\).
\(5\sqrt 3 cm\).
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}cm\).
Chọn A
Áp dụng định lý sin ta có \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{5}{{2.\sin {{30}^ \circ }}} = 5\).
Cho tam giác ABC có \(\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}}\) và \(a = 10\). Tính chu vi tam giác đó.
\(24.\)
\(36.\)
\(22.\)
\(12.\)
Chọn A
Ta có \(\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}}\).
Theo định lý sin trong tam giác ta tính được \(b = 8,c = 6\).
Chu vi tam giác là \(a + b + c = 24\).
Cho tam giác ABC có \(AB = 3,\;BC = 5\) và độ dài đường trung tuyến \(BM = \sqrt {13} \). Tính độ dài \(AC\).
\(\sqrt {11} \).
\(4\).
\(\frac{9}{2}\).
\(\sqrt {10} \).
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: \[B{M^2} = \frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} = \frac{{{3^2} + {5^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow AC = 4\].
Một người quan sát đứng cách một cái tháp \[10m\], nhìn thẳng cái tháp dưới một góc \[{55^ \circ }\] và được phân tích như trong hình. Tính chiều cao của tháp. 
\[67{\rm{m}}\].
\[24{\rm{m}}\].
\[16{\rm{m}}\].
\[12{\rm{m}}\].
Chọn D
Gọi \[{h_1},{h_2}\] lần lượt là độ dài cạnh đối diện góc \[{45^0},\,{10^0}\].
\[{h_1} = 10m\]( do tam giác vuông cân).
\[{h_2} = 10.\tan {10^0} \approx 1,76m\].
\[h = {h_1} + {h_2} \approx 11,76m\].
Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\)của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc\({30^0}\), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \({15^0}30'\) (tham khảo hình vẽ). Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(195{\rm{m}}\).
\(234{\rm{m}}\).
\(165{\rm{m}}\).
\(135{\rm{m}}\).
Chọn D
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác \(ABC\) có \[\widehat {CAB} = {60^0}\], \[\widehat {ABC} = {105^0}30'\]và \[AB = 70.\]
Khi đó\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - {165^0}30' = {14^0}30'\].
Theo định lí sin, ta có \[\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\] hay \[\frac{{AC}}{{\sin {{105}^0}30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^0}30'}}\]
Do đó \[AC = \frac{{70.\sin {{105}^0}30'}}{{\sin {{14}^0}30'}} \approx 269,4\,{\rm{m}}\].
Gọi \[CH\] là khoảng cách từ \(C\)đến mặt đất. Tam giác vuông \(ACH\) có cạnh \(CH\) đối diện với góc \[{30^0}\] nên \[CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7\,{\rm{m}}\].
Vậy ngọn núi cao khoảng \(135m\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC có b=7 cm,c=5 cm,A^=120° Khi đó:
a) \(a = \sqrt {127} \;cm\)
b) \(\cos C \approx 0,91\)
c) \(\cos B \approx 0,21\)
d) \(R \approx 6,03(\;cm)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: a2=b2+c2−2bccosA⇒a2=72+52−2⋅7⋅5⋅cos120°=109.
Do đó, \(a = \sqrt {109} \;cm\).
Ta có \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109} .5}} \approx 0,81\).
Tương tự, \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109} .7}} \approx 0,91\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
asinA=bsinB=csinC=2R nên R=a2⋅sinA=1092⋅sin120°≈6,03( cm)
Cho tam giác ABC biết các cạnh \(a = 52,1\;cm,b = 85\;cm,c = 54\;cm\). Khi đó:
a) \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)
b) \(A \approx {32^0}\)
c) B^≈126°
d) C^≈38°.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Theo hệ quả định lí \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
\( = \frac{{{{85}^2} + {{54}^2} - 52,{1^2}}}{{2.85.54}} \approx 0,81 \Rightarrow A \approx {36^0};\)\(\)
cosB=a2+c2−b22ac=52,12+542−8522.52,1.54≈−0,28⇒B^≈106°
C^=180°−(A^+B^)≈38°.
Cho tam giác ABC, biết \(b = 7,c = 5,\cos A = \frac{3}{5}\). Khi đó:
a) \(\sin A = \frac{4}{5}\)
b) \(S = 14\)
c) \(a = 3\sqrt 2 \)
d) \(r = 4 - \sqrt 2 \)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\) (vì \(\sin A > 0\)).
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = 14\)
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \). \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2};p = \frac{{a + b + c}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \)
\(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = 3 - \sqrt 2 \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 3,AC = 4\;A\), diện tích \(S = 3\sqrt 3 \). Khi đó:
a) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)
b) \(\sin A = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
c) \(\cos A = \frac{1}{2}\)
d) \(\cos A = - \frac{1}{2}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{2 \cdot 3\sqrt 3 }}{{3 \cdot 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). \({\cos ^2}A = 1 - {\sin ^2}A = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos A = \frac{1}{2}}\\{\cos A = - \frac{1}{2}}\end{array};B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A} \right.\).
Với \(\cos A = \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13 \Rightarrow BC = \sqrt {13} \).
Với \(\cos A = - \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 37 \Rightarrow BC = \sqrt {37} \).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho tam giác \(ABC\) có AB=5,AC=8,A^=60°. Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Áp dụng định lí côsin, ta có: BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=52+82−2⋅5⋅8⋅cos60°=49⇒BC=7. AÙp duïng ñònh lí sin ta coù: BCsinA=2R⇒R=BC2sinA=72sin60°=733.
Cho tam giác ABC có \(a = 7\;cm,b = 8\)\(c = 6cm.\) Hãy tính độ dài đường trung tuyến \({m_a}\) của tam giác đã cho.?
Ta có:
\(m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{8^2} + {6^2}} \right) - {7^2}}}{4} = \frac{{151}}{4} \Rightarrow {m_a} = \frac{{\sqrt {151} }}{2}.\)
Cho tam giác ABC có \(AB = 4,AC = 10\) và đường trung tuyến \(AM = 6\). Tính độ dài cạnh \(BC\)?
Ta có: \(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - A{M^2}} \right) = 4\left( {\frac{{{4^2} + {{10}^2}}}{2} - {6^2}} \right) = 88 \Rightarrow BC = 2\sqrt {22} .\)
Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12\;m\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao \(h = 1,3\;m\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1},{B_1}\) cùng thẳng hàng với \({C_1}\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được góc DA1C1^=49° và DB1C1^=35°. Tính chiều cao \(CD\) của tháp.
Ta có: C1DA1^=90°−49°=41°;C1DB1^=90°−35°=55°, nên A1DB1^=14°.
Xét tam giác \({A_1}D{B_1}\), có: A1B1sinA1DB1^=A1DsinA1B1D^⇒A1D=12⋅sin35°sin14°≈28,45 m
Xét tam giác \({C_1}{A_1}D\) vuông tại \({C_1}\), có:
sinC1A1D^=C1DA1D⇒C1D=A1D⋅sinC1A1D=28,45⋅sin49°≈21,47 m⇒CD=C1D+CC1≈22,77 m.
Trên ngọn đồi có một cái tháp cao \(100\;m\) (hình vẽ). Đỉnh tháp \(B\) và chân tháp \(C\) lần lượt nhìn điểm \(A\) ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng 30° và 60° so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao \(AH\) của ngọn đồi.
ACB^=120°;ABC^=30°⇒BAC^=30°. Nên \(\Delta ABC\) cân tại \(C \Rightarrow AC = BC = 100\)
Trong tam giác vuông AHC:sinACH^=AHAC⇔AH=AC⋅sin30°=50 m
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(20\;km/h\), tàu thứ hai chạy với tốc độ \(30\;km/h\). Hỏi sau 3 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
Ta có quãng đường tàu thứ nhất đi được là \({s_1} = {v_1}t = 20.3 = 60(\;km)\).
Quãng đường tàu thứ hai đi được là \({s_2} = {v_2}t = 30.3 = 90(\;km)\).
\(\Delta ABC\) với \(B\) là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là \(AB = {s_1} = 60\;km;C\)là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là \(AC = {s_2} = 90\;km\)
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosBAC^⇔BC2=602+902−2⋅60⋅90⋅cos60°
\( \Leftrightarrow B{C^2} = 6300\). Vậy khoảng cách hai tàu sau 3 giờ chạy là \(BC = 30\sqrt 7 \).
