Đề kiểm tra Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho \(\Delta ABC\)có \(a = 2\), \(b = 6\), \(\widehat C = {153^{\rm{o}}}\). Diện tích của tam giác là
\(4\).
\(6\sqrt 2 \).
\(3\sqrt 2 \).
\(4\sqrt 2 \).
Chọn C
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}a.b.\sin C = \frac{1}{2}.2.6.\sin {135^{\rm{o}}} = 3\sqrt 2 \).
Cho tam giác ABC có ba cạnh \(a = 5,\;b = 6,\;c = 7\). Tính côsin góc\(A\).
\(\frac{5}{7}\).
\(\frac{2}{{21}}\).
\(\frac{{55}}{{42}}\).
\(\frac{{10}}{7}\).
Chọn A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ta có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{5}{7}\).
Cho tam giác ABC có các cạnh \(BC = a = 6\,cm\), \(AC = b = 7\,cm\), \(AB = c = 5\,cm\). Tính \(\cos B\)
\(\cos B = \frac{1}{5}\).
\(\cos B = \frac{{19}}{{35}}\).
\(\cos B = \frac{1}{{15}}\).
\(\cos B = \frac{5}{7}\).
Chọn A
Ta có: \[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\] \( = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.6.5}} = \frac{1}{5}\).
Cho tam giác ABC có ba cạnh a=5 ; b=6; c=7 . Tính côsin góc A.
57 .
211.
5542 .
107.
Chọn A
Tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(9\), \(10\), \(11\) có diện tích bằng:
\(15\sqrt 2 \).
\(30\sqrt 2 \).
\(50\sqrt 3 \).
\(25\sqrt 3 \).
Chọn B
Nửa chu vi của tam giác đã cho là \(p = \frac{{9 + 10 + 11}}{2} = 15\).
Diện tích của tam giác đã cho là \(S = \sqrt {p\left( {p - 9} \right)\left( {p - 10} \right)\left( {p - 11} \right)} = 30\sqrt 2 \).
Tam giác ABC có \(\widehat B = {135^0}\,,\,BC = 3\,,\,AB = \sqrt 2 \). Tính cạnh \(AC\).
\(\sqrt 5 \).
\(2,25\).
\(5\).
\(\sqrt {17} \).
Chọn D
Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB\,.\,BC\,\,.\,\,\cos B = 2 + 9 - 2\,.\,\sqrt 2 \,.\,3\,.\,\cos {135^0} = 17\).
Suy ra \(AC = \sqrt {17} \).
Cho tam giác ABC có \[BC = 10\] và góc \[\widehat A = {30^0}\]. Bán kính \[R\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
\[R = 5\].
\[R = 10\sqrt 3 \].
\[R = 10\].
\[R = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\].
Chọn C
Ta có \[\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2.\sin {{30}^0}}} = 10\].
Cho \(\Delta ABC\)có \(a = 6,b = 8,c = 10.\) Diện tích \(S\) của tam giác trên là:
\(48.\)
\(24.\)
\(12.\)
\(30.\)
Ta có: Nửa chu vi \(\Delta ABC\): \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\).
Áp dụng công thức Hê-rông: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)} = 24\).
Tính chu vi tam giác ABC biết rằng \(AB = 6\) và \(2\sin A = 3\sin B = 4\sin C\).
\(10\sqrt 6 .\).
\(26.\).
\(13.\).
\(5\sqrt {26} .\)
Chọn B
Ta có \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{6}{{\frac{3}{4}\sin B}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = 8\).
Và \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\frac{2}{3}\sin A}} \Rightarrow BC = 12\).
Chu vi tam giác \(C = AB + BC + CA = 26\).
Tam giác ABC có \(\widehat A = {68^0}12'\), \(\widehat B = {34^0}44'\), \(AB = 117.\) Tính \(AC\)?
\(68.\)
\(168.\)
\(118.\)
\(200.\)
Ta có: Trong tam giác \(ABC\): \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat C = {180^0} - {68^0}12' - {34^0}44' = {77^0}4'\).
Mặt khác \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{117.\sin {{34}^0}44'}}{{\sin {{77}^0}4'}} \simeq 68\,.\)
Cho tam giác ABC. Biết \(AB = 2\); \(BC = 3\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Tính chu vi và diện tích tam giác \(ABC\).
\(5 + \sqrt 7 \)và \(\frac{3}{2}\).
\(5 + \sqrt 7 \)và \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(5\sqrt 7 \)và \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(5 + \sqrt {19} \)và \(\frac{3}{2}\).
Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.c{\rm{os}}\widehat {ABC} = 4 + 9 - 2.2.3.c{\rm{os60}}^\circ = 13 - 6 = 7\).
Suy ra \(AC = \sqrt 7 \).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(AB + AC + BC = 2 + 3 + \sqrt 7 \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.2.3.\sin 60^\circ = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB\) bằng \(70m\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \). Phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Khi đó chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng
\(135m\).
\(133m\).
\(136m\).
\(134m\).
Chọn A
Ta có: \(\widehat {CIK} = \widehat {CAH} = 30^\circ ;\widehat {BAC} = 60^\circ \); \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \widehat {CIK} = 150^\circ \).
\(\widehat {BCA} = \widehat {BCI} = 180^\circ - \widehat {CBK} - \widehat {BIC} = 14^\circ 30'\).
Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {BCA}}}\).
Trong tam giác \(BCK\) ta có: \(CK = BC\sin \widehat {CBK} = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}}\).
Vậy đường cao khối chóp là: \(CH = CK + KH = CK + AB = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}} + AB \approx 135m\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC biết a=3 cm,b=4 cm,C^=30° Khi đó:
a) \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)
b) \(c \approx 3,05(\;cm)\)
c) \(\cos A \approx 0,68\)
d) A^≈77,2°
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: c2=a2+b2−2abcosC hay c2=32+42−2⋅3⋅4⋅cos30°=25−123. Do đó, \(c \approx 2,05(\;cm)\).
Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{4^2} + {{(25 - 12\sqrt 3 )}^2} - {3^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot \sqrt {25 - 12\sqrt 3 } }} \approx 0,68\).
Suy ra A^≈47,2°. Do đó, B^=180°−A^−C^=180°−47,2°−30°=102,8°
Cho tam giác ABC có \(BC = a,CA = b,AB = c\). Khi đó:
a) \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
b) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
b) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\);
c) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
b) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
c) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \(\cos A > 0\) hay \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Leftrightarrow {a^2} < {b^2} + {c^2}\).
d) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \(\cos A < 0\) hay \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {a^2} > {b^2} + {c^2}\).
Cho \(\Delta ABC\) có A^=135°,C^=15° và \(b = 12\). Khi đó:
a) B^=30°.
b) \(a = 12\sqrt 2 ;\)
c) \(c \approx 8,21;\)
d) \(R = 15\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: B^=180°−(A^+C^)=180°−135°+15°=30°. asinA=bsinB=csinC=2R⇔asin135°=12sin30°=csin15°=2Ra=12⋅sin135°sin30°=122; c=12⋅sin15°sin30°≈6,21; R=122sin30°=12.
Cho tam giác ABC. Khi đó:
a) \(a = b\cos C + c\cos B\)
b) \(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\)
c) \({h_a} = 2R\sin B\sin C\)
d) \({b^2} - {c^2} = a(b\cos C - c\cos B)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\). \(VP = b\cos C + c\cos B = b \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c \cdot \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) \( = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}} = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a = VP(dpcm)\).
b) \(\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}\) \(VP = \sin B\cos C + \sin C\cos B = \frac{b}{{2R}} \cdot \cos C + \frac{c}{{2R}} \cdot \cos B = \frac{1}{{2R}}(b\cos C + c\cos B)\)
(mà \(a = b\cos C + c\cos B\), chứng minh câu \(a). = \frac{1}{{2R}} \cdot a = VP(dpcm)\).
c) \(S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a} = \frac{1}{2}bc\sin A\) \( \Rightarrow {h_a} = \frac{{bc\sin A}}{a} = \frac{{2R\sin B \cdot 2R\sin C \cdot \sin A}}{{2R\sin A}} = 2R\sin B\sin C = VP(dp\;cm)\).
d) \(a(b\cos C - c\cos B) = ab \cdot \cos C - ac \cdot \cos B = ab \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ac \cdot \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) \( = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} - {a^2} - {c^2} + {b^2}}}{2} = {b^2} - {c^2}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho tam giác ABC, có \(AB = 8,AC = 9,BC = 10\). Một điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = 7\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\).
Xét \(\Delta ABC\):
\(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}} = \frac{{83}}{{160}} \cdot A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB \cdot BM \cdot \cos B\)
\( = {8^2} + {7^2} - 2.8.7 \cdot \frac{{83}}{{160}} = \frac{{549}}{{10}} \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt {610} }}{{10}}\).
Cho \(\Delta ABC\) có AB=8,AC=5,BAC^=60°. Tính chiều cao \(AH\) của \(\Delta ABC\)
BC=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos60°=7;SΔABC=12AB⋅AC⋅sinBAC^=103
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Leftrightarrow 10\sqrt 3 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot AH \Leftrightarrow AH = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}.\)
Cho tam giác nhọn ABC có \(a = 3,b = 4\) và diện tích \(S = 3\sqrt 3 \). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
S=12absinC⇒sinC=2Sab=2.333.4=32⇒C^=60°
c=a2+b2−2abcosC=13;csinC=2R⇒R=c2sinC=132sin60°=393.
Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư \(A\) và \(B\). Trạm nước sạch đặt tại vị trí \(C\) trên bờ sông. Biết \(AB = 3\sqrt {17} \;km\), khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(AM = 3\;km,BN = 6\;km\) (hình vẽ). Gọi \(T\) là tổng độ dài đường ống từ trạm nước đến \(A\) và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
Kẻ \(AK \bot BN;{A^\prime }H \bot BN\).
Gọi \({A^\prime }\) đối xứng với \(A\) qua \(MN,D\) là trung của \(NB\).
\(T = CA + CB = C{A^\prime } + CB \ge {A^\prime }B\) (không đổi). Đẳng thức xảy ra khi \(\{ C\} = MN \cap {A^\prime }B\).
\(MN = AK = {A^\prime }H = \sqrt {A{B^2} - K{B^2}} = \sqrt {{{(3\sqrt {37} )}^2} - {3^2}} = 18\;km.\)
Vậy \({A^\prime }B = \sqrt {{A^\prime }{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {9^2}} = 9\sqrt 5 \simeq 20,12\;km\).
Hai chiếc tàu thuyền cùng xuất phát từ một vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 600. Tàu \(B\) chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu \(C\) chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?\
Sau 2 giờ tàu \(B\) đi được 40 hải lí, tàu \(C\) đi được 30 hải lí.
Vậy tam giác \(ABC\) có \(AB = 40,AC = 30\) và A^=60°.
Áp dụng định lí cô-sin vào tam giác \(ABC\), ta có:
a2=b2+c2−2bc⋅cosA=302+402−2⋅30⋅40⋅cos60°=1300⇒a≈36.
Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.
Để đo khoảng cách từ một điểm \(A\) trên bờ sông đến gốc cây \(C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \(B\) cùng ở trên bờ với \(A\) sao cho từ \(A\) và \(B\) có thể nhìn thấy điểm \(C\). Ta đo được khoảng cách \(AB = 40\;m\), CAB^=45°,CBA^=70°. Vậy sau khi đo đạc và tính toán khoảng cách \(AC\) bằng bao nhiêu mét?
Ta có: C^=180°−A^−B^=65°
Áp dụng định lí sin vào tam giác \(ABC\) ta có
ACsinB=ABsinC⇒AC=AB⋅sinBsinC=40⋅sin70°sin65°≈41,47 m.
Vậy khoảng cách giữa \(A\) và \(C\) khoảng \(41,47m\).
