Đề kiểm tra Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho\(\Delta ABC\) có \(a = 4\), \(c = 5\), \(\widehat B = 150^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC
\(S = 10\).
\(S = 10\sqrt 3 \).
\(S = 5\).
\(S = 5\sqrt 3 \).
Chọn C
Diện tích tam giác \[ABC\]là \(S = \frac{1}{2}ac\sin \widehat B\)\( = \frac{1}{2}.4.5\sin 150^\circ \)\( = 5\).
Cho \[\Delta ABC\]có \[a = 2\]; \[b = 6\]; \[\widehat {C\,} = 135^\circ \]. Diện tích của tam giác là
\[6\sqrt 2 \].
\[3\sqrt 2 \].
\[4\sqrt 3 \].
\[4\].
Chọn B
Ta có. \[S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}.2.6.sin135^\circ = 3\sqrt 2 \].
Cho tam giác ABC có\[AB = 5\];\[BC = 7\]; \[AC = 8\]. Số đo góc \[A\] bằng
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Chọn C
Ta có \[AB = 5\];\[BC = 7\]; \[AC = 8\].
Từ đó suy ra \(\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{8^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.8.5}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A = 60^\circ \).
Cho\(\Delta ABC\)có \(AB = 4\); \(AC = 6\); \(\widehat A = 120^\circ \). Độ dài cạnh BC là
\(\sqrt {19} \).
\(3\sqrt {19} \).
\(2\sqrt {19} \).
\(2\sqrt 7 \).
Chọn C
Áp dụng Định lí Côsin ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)
\( \Rightarrow BC = \sqrt {{4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos 120^\circ } = 2\sqrt {19} \).
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {60^0},AB = 10,BC = 6\). Tính độ dài cạnh \(AC\):
\(2\sqrt {19} \).
\(6\sqrt 2 \).
\(14\).
\(76\).
Chọn A
Ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B = 76\)\( \Rightarrow AC = 2\sqrt {19} \).
Tam giác \(ABC\)có \(\widehat {A\;} = 120^\circ \)thì câu nào sau đây đúng
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 3bc\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - bc\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 3bc\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + bc\).
Chọn D
Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2ab.\cos A = {b^2} + {c^2} - 2ab.\cos 120^\circ = {b^2} + {c^2} + ab\).
Cho tam giác ABC có a=4 ; b=3 C= 60 độ .Tính độ dài cạnh c .
c=5 .
c=13.
c=25+123 .
c=13.
Chọn B
Theo định lí côsin ta có:
Vậy 
Cho tam giác ABC có \[AB = 5,\,BC = 7,\,CA = 8\]. Số đo góc \[A\] bằng
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
Chọn C
Ta có: \[\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \].
Vậy số đo góc \[A\] bằng \[60^\circ \].
Cho tam giác ABC có \[BC = 10\] và góc\[A = {30^0}\]. Bán kính \[R\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
\[\frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\].
\[5\].
\[10\sqrt 3 \].
\[10\].
Chọn D
Áp dụng định lý sin trong tam giác \[ABC\] ta có 2R=BCsinA=10sin300=1012 ⇒R=10
Tam giác đều cạnh\(a\) nội tiếp trong đường tròn bán kính \(R\) bằng
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\].
\[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\].
Chọn B
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh \(a\): \(R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Cho tam giác ABC có góc \(A = {30^0}\), góc \(B = {45^0}\). Tính \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}}\).
\(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{1}{2}\).
\(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
\(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \sqrt 2 \).
\(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn C
Ta có \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} \Rightarrow \frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{b}{a}\).
Theo định lý sin có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{\sin {{45}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \).
Vậy \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} = \frac{b}{a} = \sqrt 2 \).
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, \(\widehat {CAD} = {63^0}\); \(\widehat {CBD} = {48^0}\). Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?
61,4 m.
18,5 m.
60 m.
18 m.
![Vậy \[CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin {{117}^0}.sin{{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}} = 61,4m\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/4-1760099009.png)
Ta có \(\widehat {CAD} = {63^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {117^0} \Rightarrow \widehat {ADB} = {180^0} - \left( {{{117}^0} + {{48}^0}} \right) = {15^0}\)
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}\)
Tam giác BCD vuông tại C nên có: \(\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}\)
Vậy \[CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin {{117}^0}.sin{{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}} = 61,4m\].
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác ABC có các cạnh \(a = 6\;m,b = 8\;m,c = 10\;m\). Khi đó:
a) \(p = 16\,(cm)\)
b) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
c) \(S = 24\left( {\;c{m^2}} \right)\)
d) \(r = 4(\;cm)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(p = (6 + 8 + 10):2 = 12(\;cm)\).
Áp dụng công thức Heron trong tam giác, ta có:
\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) hay \(S = \sqrt {12 \cdot (12 - 6) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 10)} = 24\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Mà \(S = p \cdot r\) nên \(r = S:p = 24:12 = 2(\;cm)\).
Cho tam giác ABC có các cạnh \(a = 3\;cm,b = 4\;cm,c = 5\;cm\). Khi đó:
a) \(p = 12(\;cm)\)
b) \({S_{ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
c) \({S_{ABC}} = 6\left( {\;c{m^2}} \right).\)
d) \[R = 3,5(\;cm)\]
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6(\;cm)\). Áp dụng công thức Heron ta có:
\({S_{ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6 \cdot (6 - 3) \cdot (6 - 4) \cdot (6 - 5)} = 6\left( {\;c{m^2}} \right).\)
Áp dụng công thức tính diện tích \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\), suy ra \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{3.4 \cdot 5}}{{4.6}} = 2,5(\;cm)\).
Cho tam giác ABC biết cạnh a=137,5 cm,B^=830,C^=57°. Khi đó:
a) \(\hat A = 40^\circ \)
b) \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R\)
c) \(R \approx 106,96\;cm\)
d) \[b \approx 179,4\;cm\]
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: A^=180°−(B^+C^)=180°−83°+57°=40°
Theo định lí \(\sin :\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Suy ra: R=a2sinA=137,52sin40°≈106,96 cm
b=asinBsinA=137,5⋅sin83°sin40°≈212,32 cm;c=asinCsinA=137,5⋅sin57°sin40°≈179,4 cm.
Cho \(\Delta ABC\) có \(BC = \sqrt 6 ,CA = 2,AB = 1 + \sqrt 3 \). Khi đó:
a) A^=30°
b) B^=35°
c) \(S = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}\)
d) \(R = \sqrt 2 .\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
cosA=b2+c2−a22bc=12⇒A^=60°;cosB=a2+c2−b22ac=22⇒B^=45°
\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2};S = \frac{1}{2}BC \cdot AH \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}};S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \sqrt 2 .\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình bình hành ABCD có A^=60° và \(AB = 5,AD = 8\). Tính độ dài đường chéo \(AC\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên ta có: BC=AD=8,ABC^=180°−60°=120°
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\), ta có: AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosABC^=52+82−2⋅5⋅8⋅cos120°=129 ⇒AC=129
Cho tam giác ABC thỏa mãn \({h_a} = \sqrt {p(p - a)} \), trong đó \(a,b,c\) là ba cạnh, \({h_a}\) là chiều cao ứng với cạnh \(a\) của tam giác và \(p\) là nửa chu vi tam giác đó. Tam giác \(ABC\) là tam giác gì?
Ta có: \({h_a} = \sqrt {p(p - a)} \Leftrightarrow \frac{{2S}}{a} = \sqrt {p(p - a)} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a} = \sqrt {p(p - a)} \Leftrightarrow 4(p - b)(p - c) = {a^2} \Leftrightarrow (a + c - b)(a + b - c) = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {(b - c)^2} = {a^2} \Leftrightarrow {(b - c)^2} = 0 \Leftrightarrow b = c.\end{array}\)
Vậy tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng \(a\). Góc BAD^=30°. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Ta có: SABCD=2⋅SABD=2⋅12⋅AB⋅AD⋅sinBAD^=a⋅a⋅sin30°=12a2
Để đo đường kính một hồ hình tròn, người ta làm như sau: Lấy ba điểm \(A,B,C\) như hình vẽ, sao cho \(AB = 8,5m;AC = 11,5m;\widehat {BAC} = 141^\circ \). Hãy tính đường kính của hồ nước đó.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:
BC=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=8,52+11,52−2⋅8,5⋅11,5⋅cos141°≈18,88( m).
Ta lại có: BCsinA=2R⇒R=BC2sinA≈18,882⋅sin141°≈15( m)
Do đó, \(d = 2R \approx 15 \cdot 2 = 30(\;m)\).
Vậy đường kính của hồ nước khoảng \(30\;m\).
Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) trên bờ sông đến vị trí \(B\) của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, bạn Minh đi dọc bờ sông từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) cách \(A\) một khoảng bằng \(50\;m\) và đo các góc BAC^=70°,BCA^=50°. (Hình). Tính khoảng cách \(AB\) theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Xét tam giác \(ABC\), ta có: ABC^=180°−70°−50°=60°
Áp dụng định lí sin, ta có: ABsinC=ACsinB⇒AB=ACsinCsinB=50sin50°sin60°≈44( m)
Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \(Q\) cách nhau \(100\;m\). Từ \(P\) và \(Q\) thẳng hàng với chân \(A\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển người ra nhìn chiêu cao \(AB\) của tháp dưới các góc BPA^=15° và BQA^=22°. Tính chiều cao \(AB\) của tháp?
\(\Delta ABP\) và \(\Delta ABQ\) vuông tại \(A\) nên AP=AB⋅cot15°,AQ=AB⋅cot22°
Suy ra: PQ=AP−AQ=AB⋅cot15°−AB⋅cot22°=ABcot15°−cot22°
⇒AB=PQcot15°−cot22°=100cot15°−cot22°≈79,56 m.
Vậy tháp hải đăng có chiều cao xấp xỉ \(79,56\;m\).
