Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Sau bài này ta sẽ trả lời được:

Đặt cọc tiêu (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Sau đó, di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.

 

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới đây.

Trong 1 giờ, tàu di chuyển theo hướng đông từ O đến A với quãng đường là:

20 . 1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển theo hướng đông nam từ A đến B với quãng đường là:

20 . 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.

Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

Trong 2 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là 20 . 2 = 40 (km) tương ứng với 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B. Ta có thể tính được quãng đường AB khi biết thời gian di chuyển.

Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vuông tại A.

Khi đó áp dụng định lí Pythagore ta có thể tính được chính xác OB với OB =  = , do đó ta có thể xác định được chính xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong.

a) Xét ΔBDC vuông tại D, có:

BC² = BD² + DC² (py – ta – go)

Hay a² = BD² + DC²

b) Xét ΔBDA vuông tại D, có:

BA² = BD² + DA²

Suy ra BD² = BA² – DA² = c² – DA²  (*)

Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC² = (DA + b)² (**)

Thay (*) và (**) vào (1), ta được:

a² = c² – DA² + (DA + b)² = c² – DA² + DA² + 2.DA.b + b²

= c² + b² + 2.DA.b.

Vậy a² = c² + b² + 2.DA.b (2)

c) Xét ΔBDA vuông tại D, có:

 Þ DA = c. cos α.

Mà cos α = cos (180^o – A) = − cos A (do góc α và góc A bù nhau)

d) Thay DA = − c. cos A vào biểu thức (2), ta được:

a² = c² + b² + 2b . (− c. cos A)

= b² + c² − 2bc. cos A.

Vậy a² = b² + c² − 2bc. cos A (đpcm).

Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bc cosA.

Mà  nên cosA = 0.

Do đó, a² = b² + c² – 2bc . 0 = b² + c².

Khi đó: a² = b² + c² hay bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. (nội dung của định lí Pythagore).

Vậy định lý Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.

Theo định lí côsin, ta có:

a² = b² + c² − 2bc . cos A (1)

b² = a² + c² −2ac . cos B (2)

c² = b² + a² −2ab . cos C (3)

Ta có (1) Û 2bc . cos A = b² + c² − a² ÛcosA=b2+c2−a22bc .

Tương tự từ (2) và (3) suy ra cosB=a2+c2−b22ac; cosC=b2+a2−c22ba.

Vậy cosA=b2+c2−a22bc ; cosB=a2+c2−b22ac; cosC=b2+a2−c22ba.

 

Xét tam giác ABC:

Theo định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A

BC² = 5² + 8² – 2.5.8.cos45⁰

BC² = 89−402

⇒BC ≈ 5,7 cm.

Ta có:

AC2−BC22.AC.BC=52−82−5,722.8.5,7≈−0,78⇒C=114,260cosB=AC2−AB2−BC22.AC.BC=82−52−5,722.5.5,7≈0,11⇒B=83,440

Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:

AB = 7cm, AC = 4cm, BC = 7,37cm và A^=790.

Khi đó, ta có:

AB2+AC2−BC22.AB.AC=72+42−7,3722.7.4≈0,19.

cosA = cos79⁰ ≈ 0,19.

Do đó cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC.

Vì vậy Định lý côsin là đúng.

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20km/h.

Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB = 10 (km).

Mà  (do tàu đi theo hướng đông nam).

Áp dụng định lí côsin tại đỉnh A, ta được:

 OB² = OA² + AB² – 2 . OA . AB .  

Û OB² =20² + 10² – 2 . 20 . 10 . cos135^o

Û OB² ≈ 782,84

Û OB ≈ 27,98.

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.

Hình 3.10a):

Xét ΔBCM vuông tại C, có:

sinBMC^=BCBM=a2R

Mà BMC^=A^ (hai góc nội tiếp cùng chắn BC⏜)

⇒sinA=a2R

 

Hình 3.10b):

Xét ΔBCM vuông tại C, có:

sinBMC^=BCBM=a2R

Mà BMC^+A^=12sđBAC⏜+12sđBMC⏜=12.3600=1800⇒BMC^=1800−A^

⇒sinA=sin1800−BMC^=sinBMC^=a2R

⇒R=a2sinA.

 

Áp dụng định lý sin cho ΔABC, ta có:

asinA=bsinB=csinC=2RsinC=c . sinBb=5 . sin80o8≈0,6155

⇔C^≈38o

Lại có

 A^+B^+C^=180o⇔A^=180o−B^−C^⇔A^≈180°−80°−38°=62°

Theo định lí sin, ta suy ra:

a=sinA . bsinB=sin62o . 8sin80o≈7,172R=bsinB⇒R=b2 sinB=82 sin80o≈4,062

Vậy a ≈ 7,17; R ≈ 4,062; .

Xét ΔABC, có:

Theo định lý Cos, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 32² + 45² – 2.32.45.cos87⁰ ≈ 2898,27

BC ≈ 53,84

Theo định lí Sin, ta có:

53,84sin870=32sinB=45sinC⇒53,84sin870=32sinB⇒sinB=0,59⇔B^=36,40⇒C^=56,60

Vậy B^=36,40,C^=56,60 và BC = 53,84.

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

* Tính AB bằng cách:

+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.

+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.

Ta có hình vẽ:

Ta có:ADB^=180o−β ; DBA^=β−α.

Áp dụng định lí sin vào ∆ABD, ta được: ABsinADB^=DAsinDBA^

⇒AB=sinADB^ .DAsinDBA^

⇒AB=sin(180°−β) .DAsin(β−α)

* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.

Ta có: AEC^=180o−δ;ACE^=δ−γ.

Áp dụng định lí sin vào ∆ACE, ta được: ACsinAEC^=AEsinACE^

⇒AC=sinAEC^  .  AEsinACE^⇒AC=sin(180o−δ) .AEsin(δ−γ)

 

 

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

Ta có: BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosBAC.

Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

a) Ta có diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC:

SΔABC=SΔIBC+SΔICA+SΔIAB

b) Gọi D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Ta có:

SIAB=12 . ID . AB=12r . c;

SIBC=12 . IE . BC=12r . a;

SICA=12 . IF . AC=12r . b.

Do đó: S_ABC = S_IAB + S_IBC + S_ICA

=12r . a+12r . b+12r . c=12r . (a+b+c).

Vậydiện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là: SABC=12r . (a+b+c).

a)

TH1: Đường cao BD nằm trong tam giác ABC

 Xét ΔABD vuông tại D, có:

BD = sinA.AB

TH2: Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC

Xét ΔABD vuông tại D, có:

BD=sinBAD^.AB

 Mà BAD^+BAC^=1800⇒sinBAC^=sin1800−BAD^=sinBAD^⇒BD=sinBAC^.AB=sinA.AB

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:

SΔABC=12AC.BD=12AC.AB.sinA=12.b.csinA.

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:

SΔABC=12AC.BD=12AC.AB.sinA=12.b.csinA.

Vậy cả hai trường hợp SΔABC=12.b.csinA.

Xét ΔABC, có:

Theo định lí sin, ta có:

ACsinB=ABsinC⇔2sin300=ABsin450⇔AB=2.sin450sin300=22.

Ta có: A^=1800−B^−C^=1800−300−450=1050

Diện tích tam giác ABC là: SΔABC=12.AB.AC.sinA=12.22.2.sin1050=1+3(đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là 1+3 đvdt.

sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:

Ta có: cosA=b2+c2−a22bc (định lí cos)

Mà: cos²A + sin²A = 1  

Û sin²A = 1 – cos²A

Þ sinA=±1−cos2A

Do  nên sin A > 0 hay

Ta có:sinA=1−b2+c2−a22bc2=1−(b2+c2−a2)24b2c2

=4b2c2−(b2+c2−a2)24b2c2=4b2c2−(b2+c2−a2)22bc

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

SABC=12bc . sinA=12bc . 4b2c2−(b2+c2−a2)22bc.

=144b2c2−(b2+c2−a2)2

=14a2−b−c2b+c2−a2=14a−b+ca+b−cb+c−ab+c+a

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABE là: p1=476+256+4012=11332

Diện tích tam giác ABE là:

476p1−256p1−401S1=1133211332−47611332−25611332−401=51327,97m2

Nửa chu vi của tam giác ADE là: p2=476+538+2172=12312

Diện tích tam giác ADE là:

S2=p2p2−476p2−538p2−217

S2=1231212312−47612312−53812312−217≈51495,13m2

Nửa chu vi của tam giác BDC là: p3=538+575+4412=777

Diện tích tam giác BDC là:

S3=p3p3−538p3−575p3−441

S3=777777−538777−575777−441=112267,69m2

Do diện tích ngũ giác ABCDE bằng diện tích của tam giác ABE, diện tích tam giác DBE và diện tích tam giác DBC nên ta có:

SABCDE=SABE+SDBE+SDBC=51  327,97+51  495,13+112 267,69=215090,79m2

Vậy diện tích của công viên Hòa Bình là 215090,79 m².

Xét ΔABC, có:

cosA=b2+c2−a22bc=52+82−622.5.8=0,6625(định lí cos)

⇒A^=48,510

⇒sinA≈0,749

Diện tích tam giác ABC là:

SABC=12.b.c.sinA=12.5.8.0,749=14,98(đvdt).

Nửa chu vi của tam giác ABC là: p=5+8+62=192

Ta có: S = pr

⇒r=Sp=14,98192≈1,577.

Vậy cosA = 0,6625, S ≈ 14,98 đvdt, r ≈1,577.

Xét ΔABC, có:

asinA=bsinB⇔b=a.sinBsinA=10sin700sin450≈13,29 (định lí sin)

Ta lại có: asinA=2R⇔R=a2sinA=102sin450=52.

Ta có: C^=1800−A^−B^=1800−450−700=650.

asinA=csinC⇔c=a.sinCsinA=10sin650sin450≈12,82.

Vậy R=52, b = 13,29, c = 12,82.

Xét ΔABC, có:

C^=1800−1300−150=350

Theo định lí sin ta có:

asin150=bsin1300=6sin350≈10,46⇒asin150=10,46⇔a=10,46sin150≈2,7⇒bsin1300=10,46⇔b=10,46sin1300≈8,0.

Vậy a ≈ 2,7, b ≈ 8,S ≈ 6,212, C^=300.

Ta có sơ đồ di chuyển của tàu như sau”

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là vị trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

Ban đầu tàu di chuyển theo hướng S70^oE nên  = 70^o.

Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam nên BC // AS.

⇒ABC^=180o−BAS^=110o.

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70 . 1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8 . 2 = 16 (km) hay a = 16.

a) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

b² = a² + c² − 2ac . cosB

Þ b² = 16² + 105² – 2 . 16 . 105 . cos 110^o ≈ 12 430,18

Þ b ≈ 111,49.

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,49 km.

b) Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là Sα^oE với α = .

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có:

asinA=bsinB=csinC⇒sinA=a . sinBb

MàB^=110o ; b ≈ 111,49; a = 16.

⇒sinA=16 . sin110°111,49≈0,135⇒A^≈8° (do A^<90°  ).

Þ α ≈ 70° – 8° = 62°.

Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là S62°E.

Ta có hình vẽ sau:

a) Ta có: BAC^=500−400=100

Xét ΔABH, vuông tại H, có: CBA^+BAH^=900 (hai góc phụ nhau)

⇒CBA^=900−BAH^=900−500=400.

Xét ΔABC, có: ACB^=1800−BAC^−CBA^=1800−100−400=1300.

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta được:

ABsinBCA^=BCsinBAC^⇔ABsin1300=5sin100⇔AB≈22,06m.

Xét ΔABH, có:

BH=AB.sinBAC^≈22,06.sin500≈16,9m

Do đó chiều cao của tòa nhà là: 16,9 + 7 = 23,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 23,9 m.

- Giả sử từ một điểm A trên bãi biển Vũng Chùa ta nhìn thấy Đảo Yến với đỉnh bên trái là B và đỉnh bên phải là C nên chiều rộng của hòn đảo là đoạn BC.

- Lấy các điểm D và E bất kì trên bãi biển Vũng Chùa sao cho E, A, D thẳng hàng và ta đo được các khoảng cách AD và AE.

Ngắm và đo các góc BAC^, BAE^,   BEA^,   CAD^,   CDA^ .

Áp dụng định lí sin trong các tam giác ABE và ACD, ta tính được các khoảng cách AB và AC.

Sau đó, áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC với góc , các cạnh AB, AC đã biết, tính được khoảng cách BC (bề rộng của Đảo Yến mà ta nhìn thấy).

Ta có hình vẽ sau:

Bước 1: Áp dụng định lí côsin trong ΔABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB (định lí cos)

= 8² + 6² – 2.8.6.cos105⁰≈ 124,85

⇒ AC ≈ 11,2 km.

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong ΔABC, ta có:

ABsinACB^=ACsinABC^⇔sinACB^=AB.sinABC^AC≈0,69⇒ACB^=43,60

⇒ACD^=BCD^−ACB^=1350−43,60=91,40.

Bước 3:

Áp dụng định lí côsin trong ΔACD, ta có:

AD² = AC² + DC² – 2AC.DC.cosACD (định lí cos)

= 11,17² + 12² – 2.11,2.12.cos91,4⁰

⇒ AD ≈ 16,6 km.

Bước 4: Độ dài đường mới giảm so với đường cũ là: 

12 + 6 + 8 − 16,6 = 9,4 (km).

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9,4 kilômét so với đường cũ.