Đáp án đúng là: C

Theo định lí Thalès đảo nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Nên C sai.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{5}{2};\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{7,5}}{3} = \frac{5}{2}\).

Vì \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{5}{2}\) nên DE // AC (định lí Thalès đảo).

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:

\(\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AN}}}} = \frac{1}{3}\), do đó \(\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AN + CN}}}} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\) hay \(\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}\) (1).

Vì BC = 4CM nên \(\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{1}{4}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}\).

Trong tam giác ABC có \(\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{4}\) nên MN // AB (định lí Thalès đảo).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{14}}{{12}} = \frac{7}{6};\frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{{21}}{{18}} = \frac{7}{6};\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{FC}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{7}{6}\).

Trong tam giác ABC có \(\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DA}}}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{EC}}}}\) nên DE // AC (định lí Thalès đảo).

Xét tam giác OAB có DE // AB nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}\) (1)

Xét tam giác OAC có DF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OA}}}}\).

Trong tam giác OBC có \(\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OB}}}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OC}}}}\) nên EF // BC (định lí Thalès đảo).

Vậy A sai.

Gọi B là trung điểm của NP.

Vì K là trọng tâm tam giác MNP nên \({\rm{BK}} = \frac{1}{3}{\rm{MB}}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) hay \(\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{1}{3}\)(1).

Vì L là trọng tâm tam giác NPQ nên \({\rm{BL}} = \frac{1}{3}{\rm{QB}}\)(tính chất trọng tâm của tam giác) hay \(\frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}} = \frac{1}{3}\)(2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}} = \frac{1}{3}\).

Trong tam giác BMQ có \(\frac{{{\rm{BK}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{BL}}}}{{{\rm{QB}}}}\) nên MQ // KL (định lí Thaslès đảo).

Xét tam giác ABK có IM // BK nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AK}}}}\)(1)

Xét tam giác AIC có IC // NK nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AC}}}}\)(2)

Nhân theo vế (1) với (2) ta được:

\(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AB}}}} \cdot \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AK}}}} \cdot \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AC}}}}\)

Suy ra \(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AC}}}}\).

Trong tam giác ABC có \(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AC}}}}\) nên MN // BC (định lí Thalès đảo).