Đáp án đúng là: D

\(\Delta ABC\) có: \(DE\;{\rm{//}}\;BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{3}{4}.\) Do đó, \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{4}{3}.\)

Suy ra: \(\frac{{AC - AE}}{{AE}} = \frac{{4 - 3}}{3} = \frac{1}{3}.\) Vậy \(\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{1}{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(MC = BC - BM = 15 - 12 = 3\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Do đó, \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{12}}{3} = 4 = \frac{{AN}}{{NC}}.\)

\(\Delta ABC\) có: \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;AB\) (định lí Thalès đảo). Do đó, \(\widehat B = \widehat {NMC}\) (hai góc đồng vị).

Đáp án đúng là: D

\(\Delta DEF\) có: \(EF\;{\rm{//}}\;MN\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{MD}}{{DE}} = \frac{{DN}}{{DF}},\) suy ra \(\frac{{DN}}{{35}} = \frac{{16}}{{28}} = \frac{4}{7},\) nên \(DN = 35 \cdot \frac{4}{7} = 20\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(DN = 20\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

\(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}\;\left( { = \frac{2}{6}} \right)\) nên \(BC\;{\rm{//}}\;DE\) (định lí Thalès đảo).

b) Đúng.

Vì \(BC\;{\rm{//}}\;DE\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat B = 60^\circ \) (hai góc đồng vị).

Tam giác \(ADE\) có: \(AD = AE\;\left( { = 2\;{\rm{cm}}} \right)\) nên tam giác \(ADE\) cân tại \(A.\)

Mà \(\widehat {ADE} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADE\) đều.

c) Sai.

Tam giác \(AFC\) có: \(IE{\rm{//}}\;FC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AI}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{{2 + 6}} = \frac{1}{4}.\) Vậy \(AI = \frac{1}{4}AF.\)

d) Sai.

Vì tam giác \(ADE\) đều nên \(DE = AE = 2\;{\rm{cm}}.\)

\(\Delta ABC\) có: \(AB = AC\left( { = 2 + 6 = 8\;{\rm{cm}}} \right)\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)

Mà \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\Delta ABC\) đều. Do đó, \(BC = AB = 8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Vì \(BC\;{\rm{//}}\;DE,\;AF \bot BC\) nên \(AF \bot DE.\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AF \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot 8 = 4AF.\)

Diện tích \(\Delta ADE\) là: \({S_{ADE}} = \frac{1}{2}AI \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot AI \cdot 2 = AI.\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AI}}{{4AF}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} = \frac{1}{{16}}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) gấp \(16\) lần diện tích tam giác \(ADE.\)

a) Đúng.

Vì \(\widehat C = \widehat {BFE},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(EF\;{\rm{//}}\;AC.\)

b) Đúng.

Vì \(EF\;{\rm{//}}\;AC,\) mà \(EF \bot AB\) nên \(AC \bot AB.\) Do đó, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)

c) Sai.

\(\Delta ABC\) có: \(EF\;{\rm{//}}\;AC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BF + FC}}.\)

Do đó, \(AB = BE:\frac{{BF}}{{BF + FC}} = 3:\frac{5}{{5 + 10}} = 9\;\left( {\rm{m}} \right).\) Vậy \(AB = 9\;{\rm{m}}.\)

d) Đúng.

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \(\frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\;\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(54\;{{\rm{m}}^2}.\)

a) Đúng.

Tứ giác \(AEDF\) có: \(AF\;{\rm{//}}\;ED,\;AE\;{\rm{//}}\;DF\) nên tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành.

b) Đúng.

\(\Delta ABC\) có: \(AC\;{\rm{//}}\;ED\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

c) Đúng.

\(\Delta ABC\) có: \(AB\;{\rm{//}}\;DF\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

Mà \(ED = AF\) (do tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành) nên \(\frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\)

d) Sai.

Vì tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành nên \(AE = DF.\) Mà \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}.\)

Do đó, \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1.\) Vậy \(\frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{ED}}{{AC}} = 1.\)

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\;{\rm{//}}\;CD,\;AB = CD.\)

Vì \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên \(AM = MB = \frac{1}{2}AB,\;DN = NC = \frac{1}{2}DC.\)

Do đó, \(AM = MB = DN = NC.\)

Tứ giác \(AMCN\) có: \(AM = CN,\;AM\;{\rm{//}}\;CN\) nên tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

b) Đúng.

Vì tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành nên \(AN\;{\rm{//}}\;CM.\)

Tam giác \(APB\) có: \(AP\;{\rm{//}}\;QM\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{BQ}}{{QP}}.\)

c) Đúng.

Tam giác \(DQC\) có: \(PN\;{\rm{//}}\;CQ\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{NC}} = \frac{{DP}}{{PQ}}.\)

Mà \(DN = NC\) nên \(\frac{{DP}}{{PQ}} = 1\) hay \(DP = PQ.\) Do đó, \(P\) là trung điểm của \(DQ.\)

d) Sai.

Vì \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{BQ}}{{QP}},\) mà \(MA = MB\) nên \(\frac{{BQ}}{{PQ}} = 1\) hay \(PQ = QB.\)

Ta có: \(PQ = QB,\;DP = PQ\) nên \(PQ = QB = DP.\)

Mà \(PQ + QB + DP = BD\) nên \(DP = \frac{1}{3}BD.\)

a) Đúng.

Vì \(\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{1}{3}.\) Mà \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) nên \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AI}}{{AC}}.\)

b) Đúng.

Tam giác \(ADC\) có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AI}}{{AC}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;CD\) (định lí Thalès đảo).

Mà \(AB\;{\rm{//}}\;CD\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;CD\;{\rm{//}}\;AB.\)

c) Đúng.

Tam giác \(ABC\) có: \(IN\;{\rm{//}}\;AB\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CI}}{{CA}}.\)

d) Sai.

Ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{AI}}{{AC}} + \frac{{CI}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AC}} = 1.\) Vậy \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} = 1.\)

Đáp án: \(6\)

Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(KB\) cắt \(AC\) tại \(M.\)

Vì \(\frac{{BD}}{{CD}} = 3\) nên \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{3}{4}.\) Vì \(AE = \frac{1}{3}AD\) nên \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}.\)

Tam giác \(AMD\) có \(KE\;{\rm{//}}\;MD\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AK}}{{KM}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = \frac{1}{2}KM.\)

Tam giác \(CKB\) có \(KB\;{\rm{//}}\;MD\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{3}{4}\) hay \(KM = \frac{3}{4}KC.\)

Do đó, \(AK = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}KC = \frac{3}{8}KC.\) Do đó, \(AK = \frac{3}{{11}}AC = \frac{3}{{11}} \cdot 22 = 6\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AK = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(6\)

Đáp án: \(3\)

Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì \(AD\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{GD}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\)

Tam giác \(ADB\) có \(MG\;{\rm{//}}\;AB\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{MD}}{{BD}} = \frac{{GD}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\)

Do đó, \(MD = \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(MD = 3\;{\rm{cm}}.\)

Đáp án: \(4\)

Vì \(HK\;{\rm{//}}\;BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{1}{4}.\)Do đó, \(\frac{{AK}}{1} = \frac{{AC}}{4}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AK}}{1} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AK + AC}}{{1 + 4}} = \frac{{20}}{5} = 4.\)

Suy ra: \(AK = 4 \cdot 1 = 4\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(AK = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(120\)

Vì tam giác \(ABC\) có: \(FE\;{\rm{//}}\;AB\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BE}}{{EC}}.\)

Do đó, \(BE = \frac{{AF}}{{FC}} \cdot EC = \frac{{80}}{{40}} \cdot 60 = 120\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(E\) và \(B\) bằng \(120\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)