Đặt AB = BC = CD = a, ta có:

• \[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AB}}{{BC + CD}} = \frac{a}{{a + a}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\];

• \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AB + BC + CD}} = \frac{a}{{a + a + a}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3}\];

• \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AB + BC}}{{AB + BC + CD}} = \frac{{a + a}}{{a + a + a}} = \frac{{2a}}{{3a}} = \frac{2}{3}\].

a) Ta có \[\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{3}{2}\], suy ra: \[\frac{{CA}}{3} = \frac{{CB}}{2}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{CA}}{3} = \frac{{CB}}{2} = \frac{{CA + CB}}{{3 + 2}} = \frac{{AB}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2\].

Nên \[\frac{{CB}}{2} = 2 \Rightarrow CB = 2.2 = 4\] (cm).

b) Ta có \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{3}{2}\], suy ra \[\frac{{DA}}{3} = \frac{{DB}}{2}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{DA}}{3} = \frac{{DB}}{2} = \frac{{DA - DB}}{{3 - 2}} = \frac{{AB}}{1} = \frac{{10}}{1} = 10\].

Nên \[\frac{{DB}}{2} = 10 \Rightarrow DB = 10.2 = 20\](cm).

c) Ta có CD = CB + BD = 4 + 20 = 24 (cm).

Lấy điểm F trên tia AM sao cho M là trung điểm của EF.

Tứ giác MEFC có hai hai đường chéo BC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MEFC là hình bình hành.

Suy ra CF // BE và CF // EN.

Ta có AE = 3EM và ME = MF (vì M là trung điểm của EF).

Khi đó, \[\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}\].

Xét ∆ACF có CF // EN nên theo định lí Thalès, ta có: \[\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}\].

Vậy \[\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{3}{2}\].

Kẻ DM // BK (I ∈ AC)

Ta có \[\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{1}{3}\], suy ra AE = \[\frac{1}{3}\]AD.

Mặt khác AE + ED = AD, nên ED = \[\frac{2}{3}\]AD.

Suy ra \[\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}\].

• Xét ∆ADI có DM // EK (vì DI // BK ) nên theo định lí Thalès, ta có

\[\frac{{AK}}{{KM}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{1}{2}\].

• Xét ∆KBC có DM // BK nên theo định lí Thalès, ta có

\[\frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\]= \[\frac{3}{4}\].

Do đó \[\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AK}}{{KI}} \cdot \frac{{KI}}{{KC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\].

Vậy \[\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{3}{8}\].

Ta có \[\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{3}{2}\], nên \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{MB + AM}} = \frac{3}{{2 + 3}} = \frac{3}{5}\].

Xét ∆ABC có MN // BC, theo hệ quả của định lí Thalès, ta có

\[\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}\]= \[\frac{3}{5}\].

Mà BC = 6 cm suy ra MN = \[\frac{{3.6}}{5}\]= 3,6 (cm).

Vậy MN = 3,6 cm.