10 Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0;\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$;

$2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$.

Do đó:$4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=2\overrightarrow{AM}.2\overrightarrow{HM}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=C{B}^2=B{C}^2$

Vậy $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^2$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$A{B}^2+C{D}^2={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{CD}}^2={\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)}^2$

$=A{D}^2+2D{B}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CB}$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CB}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)-\overrightarrow{CB}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$

Do đó: $A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+A{D}^2$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0;\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$

Do đó ta có:

$4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=2\overrightarrow{AM}.2\overrightarrow{HM}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=C{B}^2=B{C}^2$

Vậy $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^2$ .

Ta có:

$A{H}^2={\overrightarrow{AH}}^2={\left(\overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MA}\right)}^2={\overrightarrow{MH}}^2+{\overrightarrow{MA}}^2-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}$

$=M{H}^2+M{A}^2-2.\frac{1}{4}.B{C}^2$

Do đó: $M{H}^2+M{A}^2=A{H}^2+\frac{1}{2}B{C}^2$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

$\iff 3\overrightarrow{M\text{'}G\text{'}}=\overrightarrow{BC}$

 $\iff 3\overrightarrow{M\text{'}G\text{'}}.\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}}^2$ (nhân cả hai vế với vectơ $\overrightarrow{BC}$ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\overrightarrow{M\text{'}G\text{'}}=\overrightarrow{MG}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Do đó, ta có:

$3\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}}^2$

$\iff \left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)=B{C}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)=B{C}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)+M{C}^2-M{B}^2=B{C}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=B{C}^2+M{B}^2-M{C}^2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$

 $={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$ (quy tắc ba điểm)

$=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M thuộc cạnh AB nên ta có:

$\overrightarrow{AM}=-\frac{AM}{BM}.\overrightarrow{BM}$

$\iff \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\right)=-\frac{AM}{BM}.\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}\right)$

$\iff \left(1+\frac{AM}{BM}\right)\overrightarrow{CM}=-\frac{AM}{BM}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$

$\iff \frac{BM+AM}{BM}\overrightarrow{CM}=\frac{AM}{BM}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$

$\iff \frac{AB}{BM}\overrightarrow{CM}=\frac{AM}{BM}\overrightarrow{CB}+\frac{BM}{BM}\overrightarrow{CA}$

$\iff AB.\overrightarrow{CM}=AM.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}$

$\iff c.\overrightarrow{CM}=AM.\overrightarrow{CB}+BM.\overrightarrow{CA}$

$\iff {\left(c.\overrightarrow{CM}\right)}^2={\left(AM.\overrightarrow{CB}+BM.\overrightarrow{CA}\right)}^2$

$\iff c^2.C{M}^2=A{M}^2.C{B}^2+B{M}^2.C{A}^2+2AM.BM.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

$\iff c^2.C{M}^2=a^2.A{M}^2+b^2.B{M}^2+2AM.BM.CA.CB.\cos C$

 $\iff c^2.C{M}^2=a^2.A{M}^2+b^2.B{M}^2+2AM.BM.b.a.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$  (định lí côsin)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\left(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}\right)$

$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{ON}+{\overrightarrow{OA}}^2$

$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}-\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right).\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2$

Vì MN là đường kính của đường tròn O, bán kính R nên O là trung điểm của MN, do đó ta có:

+) $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$ ;

+) $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$  là hai vectơ ngược hướng và OM = ON = R.

Do đó:  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$ $=\left|\overrightarrow{OM}\right|.\left|\overrightarrow{ON}\right|.\cos 180°-\overrightarrow{0}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2$

$=R.R.\left(-1\right)+d^2=d^2-R^2$.