Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Giá trị của biểu thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$ là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{OM}$.

Ta có tam giác ABC vuông ở A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$

$\Rightarrow \widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-30°=60°$.

Lại có: tan B = $\frac{AC}{AB}$ ⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° = $\sqrt{3}$.

Và sin B = $\frac{AC}{BC}$ ⇒ BC =$\frac{AC}{\sin B}$$=\frac{\sqrt{3}}{\sin 30°}=2\sqrt{3}$  . 

Ta có:  $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=$$\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$ =$3.2\sqrt{3}.\cos \widehat{ABC}$  = $6\sqrt{3}.\cos 30°=9$.

 $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$= $\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)$ = $\sqrt{3}.2\sqrt{3}.\cos \widehat{ACB}$ = 6 . cos 60° = 3.

a) Tam giác ABC đều nên  $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°$ và AB = BC = AC = a.

Lại có: $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\widehat{ABC}=60°$.

Ta có:  $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}=\left(-\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{BA}$$=-\left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}\right)$

$=-\left(\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BA}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)\right)$

$=-\left(a.a.\cos 60°\right)=\frac{-a^2}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}=\frac{-a^2}{2}$.

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó: $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$.

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

                    = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

                    = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

                    = AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

                    = AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$    (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  

Suy ra: 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$ = 0

 $\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=0$ hay $\cos \widehat{BAC}=0$

Do đó: $\widehat{BAC}=90°$.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{MN}.\left(-\overrightarrow{MN}\right)=-\left(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MN}\right)$$=-{\overrightarrow{MN}}^2=-M{N}^2$

Lại có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-4$, do đó: – MN² = – 4 ⇔ MN² = 4.

Suy ra MN = 2   (MN là độ dài đoạn thẳng nên MN > 0).

Vậy MN = 2.

Đáp án đúng là: C.

Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ thì  $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$

Do đó ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$.

Vậy $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$

a) ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Do đó: $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}.90°=45°$

Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

= a . a . cos 45°

$=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$ .

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$ , nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Ta có: $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\left(-\overrightarrow{AB}\right)$

$=A{B}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{B}^2-A{B}^2=0$.

Vậy $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

         $=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=0$$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

 $=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HB}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\left(-\overrightarrow{BH}\right)\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$.

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=0$$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\overrightarrow{v_1}$, vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\overrightarrow{v_2}$ và vận tốc mới của máy bay chính là $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$.  Ta cần tính độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$.

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=700$km/h, $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=40$ km/h, $\left(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)=45°$.

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

 a) Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

 $=AB.AC.cos\widehat{BAC}$= 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Nên $\overrightarrow{BD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$$=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{-1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2$

$=\frac{-1}{2}.A{B}^2+\frac{7}{24}.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{7}{24}.A{C}^2$

 $=\frac{-1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}.3+\frac{7}{24}{.3}^2$= 0

Suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=0$.

Vậy AM ⊥ BD.