Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án
13 câu hỏi
Trong vật lí, nếu có một lực F→ tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực F→ được tính theo công thức A=F→ . OM→ . cosφ trong đó F→ gọi là cường độ của lực F→ tính bằng Newton (N), OM→ là độ dài của vectơ OM→ tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ OM→ và F→, còn công A tính bằng Jun (J).
Trong toán học, giá trị của biểu thức A=F→ . OM→ . cosφ (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?
Giá trị của biểu thức A=F→ . OM→ . cosφ là tích vô hướng của hai vectơ F→ và OM→.
Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=30°, AB = 3 cm. Tính BA→. BC→; CA→. CB→.
Ta có tam giác ABC vuông ở A nên B^+C^=90°
⇒C^=90°−B^=90°−30°=60°.
Lại có: tan B = ACAB ⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° = 3.
Và sin B = ACBC ⇒ BC =ACsinB=3sin30°=23 .
Ta có: BA→ . BC→ =BA→ . BC→ . cosBA→, BC→ =3 . 23 . cosABC^ = 63.cos30°=9.
CA→ . CB→= CA→ . CB→ . cosCA→, CB→ = 3. 23 .cosACB^ = 6 . cos 60° = 3.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:
a) CB→ . BA→;
b) AH→ . BC→.
a) Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60° và AB = BC = AC = a.
Lại có: BC→, BA→=ABC^=60°.
Ta có: CB→ . BA→ = −BC→ . BA→=−BC→ . BA→
=−BC→ . BA→ . cosBC→, BA→
=−a . a . cos60°=−a22.
Vậy CB→ . BA→=−a22.
b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
Do đó: AH→ ⊥BC→ nên AH→ . BC→ =0.
Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì a→, b→, ta có: a→+b→2=a→2+2a→.b→+b→2
a→−b→2=a→2−2a→.b→+b→2
a→−b→.a→+b→=a→2−b→2
+ Ta có:
a→+b→2=a→+b→.a→+b→ (bình phương vô hướng của vectơ )
=a→ . a→ + a→ . b→ +b→ . a→ + b→ . b→
=a→2+a→. b→ + a→ . b→ + b→2 (áp dụng tính chất giao hoán)
=a→2+2a→ . b→ + b→2
Vậy a→+b→2=a→2+2a→.b→+b→2.
+ Ta có:
a→−b→2=a→−b→.a→−b→ (bình phương vô hướng của vectơ )
=a→ . a→ − a→ . b→ −b→ . a→ + −b→ . −b→
=a→2−a→. b→ − a→ . b→ + b→2 (áp dụng tính chất giao hoán)
=a→2−2a→ . b→ + b→2
Vậy a→−b→2=a→2−2a→.b→+b→2.
+ Ta có: a→−b→a→+b→=a→. a→ +a→ . b→ + −b→.a→ +−b→.b→
=a→2+a→.b→−a→. b→−b→. b→ (áp dụng tính chất giao hoán)
=a→2−b→2.
Vậy a→−b→.a→+b→=a→2−b→2.
Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC2 = AB2 + AC2.
+ Ta chứng minh định lí thuận:
Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC2 = AB2 + AC2.
Tam giác ABC vuông tại A nên BAC^=90°.
Ta có: BC→2=AC→−AB→2=AC→2+AB→2−2AC→.AB→
Suy ra: BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cosAC→, AB→
= AB2 + AC2 – 2 . AC . AB . cosA
= AB2 + AC2 – 2 . AC . AB . cos 90°
= AB2 + AC2 – 2 . AC . AB . 0
= AB2 + AC2.
Vậy BC2 = AB2 + AC2.
+ Ta chứng minh định lí đảo:
Cho tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A.
Ta có: BC→2=AC→−AB→2=AC→2+AB→2−2AC→.AB→
Suy ra: BC2 = AC2 + AB2 – 2 . AC . AB . cosAC→, AB→ (*)
Mà theo giả thiết ta có: BC2 = AB2 + AC2 nên thay vào (*) ta được:
BC2 = BC2 – 2 . AC . AB . cosAC→, AB→
Suy ra: 2 . AC . AB . cosAC→, AB→ = 0
⇔cosAC→, AB→=0 hay cosBAC^=0
Do đó: BAC^=90°.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Nếu hai điểm M, N thỏa mãn MN→ . NM→ =−4 thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: B.
Ta có: MN→ . NM→ =MN→. −MN→=−MN→.MN→=−MN→2=−MN2
Lại có: MN→ . NM→ =−4, do đó: – MN2 = – 4 ⇔ MN2 = 4.
Suy ra MN = 2 (MN là độ dài đoạn thẳng nên MN > 0).
Vậy MN = 2.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: C.
Với a→ , b→ khác 0→ thì a→, b→ < 90°⇒cosa→, b→>0
Do đó ta có: a→ . b→ =a→ . b→ . cosa→, b→>0.
Vậy a→ , b→ khác 0→ và a→, b→ < 90° thì a→ . b → > 0
Tính a→ . b→ trong mỗi trường hợp sau:
a) a→ =3, b→ =4, a→, b→=30°;
b) a→ =5, b→ =6, a→, b→=120°;
c) a→ =2, b→ =3, a→ và b→ cùng hướng;
d)a→ =2, b→ =3, a→ và b→ ngược hướng.
a) Ta có: a→ . b→ =a→ . b→ .cosa→, b→ = 3 . 4 cos 30° = 63.
b) Ta có: a→ . b→ =a→ . b→ .cosa→, b→ = 5 . 6 cos 120° = – 15.
c) Hai vectơ a→ và b→ cùng hướng nên a→ . b→ =a→ . b→ = 2 . 3=6.
d) Hai vectơ a→ và b→ ngược hướng nên a→ . b→ =−a→ . b→ = −2 . 3=−6.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:
a) AB→ . AC→;
b) AC→ . BD→.
a) ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của BAD^.
Do đó: BAC^=12BAD^=12.90°=45°
Ta có: AB→ . AC→ =AB→ . AC→ . cosAB→, AC→
=AB .AC.cosBAC^
= a . a . cos 45°
=a222.
Vậy AB→ . AC→=a222 .
b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Do đó: AC→⊥BD→ , nên AC→ . BD→=0.
Cho tam giác ABC. Chứng minh: AB2+AB→ . BC→ + AB→ .CA→ =0.
Ta có: AB2+AB→ . BC→ + AB→ .CA→
=AB2+AB→ .BC→ + CA→
=AB2+AB→ . BA→
=AB2+AB→ .−AB→
=AB2−AB→2
=AB2−AB2=0.
Vậy AB2+AB→ . BC→ + AB→ .CA→ =0.
Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) AB→. AH→=AC→.AH→;
b) AB→ .BC→=HB→. BC→.
Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.
a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.
Do đó: AH→ . CB→=0
Ta có: AB→. AH→−AC→.AH→
=AH→ . AB→ −AH→ .AC→ (tính chất giao hoán)
=AH → .AB→−AC→
=AH→ .CB→=0
Do đó: AB→. AH→−AC→.AH→=0⇔AB→. AH→=AC→.AH→.
Vậy AB→. AH→=AC→.AH→.
b) Ta có: AB→ .BC→−HB→. BC→
=BC→ .AB→−BC→ .HB→ (tính chất giao hoán)
=BC→ .AB→−HB→
=BC→. AB→−−BH→
=BC→ .AB→+BH→
=BC→.AH→=0.
Suy ra: AB→ .BC→−HB→. BC→=0⇔AB→ .BC→=HB→. BC→.
Vậy AB→ .BC→=HB→. BC→.
Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h). 
Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là v1→, vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là v2→ và vận tốc mới của máy bay chính là v→ thỏa mãn v→=v1→+v2→. Ta cần tính độ dài vectơ v→.
Theo bài ra ta có: v1→=700km/h, v2→=40 km/h, v1→, v2→=45°.
Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:
Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có ABC^=45°.
Suy ra:DAB^=180°−45°=135° ;AD=v2→=40 , AB=v1→=700.
Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ v→.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có:
BD2 = AD2 + AB2 – 2 . AD . AB . cosA
= 402 + 7002 – 2 . 40 . 700 . cos135°
≈ 531 197, 98
Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h).
Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h.
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BAC^=60°. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn AD→=712AC→.
a) Tính AB→ . AC→.
b) Biểu diễn AM→, BD→ theo AB→, AC→.
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
a) Ta có: AB→ . AC→= AB→. AC→. cosAB→, AC→
=AB . AC . cosBAC^= 2 . 3 . cos60° = 3.
b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: AB→+AC→=2AM→
⇒AM→=12AB→+AC→=12AB→+12AC→.
Do đó: AM→=12AB→+12AC→.
+ Ta có: BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→
Mà AD→=712AC→
Nên BD→=−AB→+712AC→=−AB→+712AC→.
Vậy BD→=−AB→+712AC→.
c) Ta có: AM→ . BD→=12AB→+12AC→.−AB→+712AC→
=−12AB→2+724AB→.AC→−12AC→.AB→+724AC→2
=−12.AB2+724.AB→.AC→−12AB→.AC→+724.AC2
=−12.22+724.3−12.3+724.32= 0
Suy ra: AM→ . BD→=0.
Vậy AM ⊥ BD.
