Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Giá trị của biểu thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{OM}\right|.\cos \phi$  là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F}$  và $\overrightarrow{OM}$ .

Ta có tam giác ABC vuông ở A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$

$\Rightarrow \widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-30°=60°$.

Lại có: tan B = $\frac{AC}{AB}$  ⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° = $\sqrt{3}$ .

Và sin B = $\frac{AC}{BC}$  ⇒ BC =$\frac{AC}{\sin B}$$=\frac{\sqrt{3}}{\sin 30°}=2\sqrt{3}$   . 

Ta có:  $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=$$\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$  =$3.2\sqrt{3}.\cos \widehat{ABC}$  = $6\sqrt{3}.\cos 30°=9$ .

 $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$= $\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)$  = $\sqrt{3}.2\sqrt{3}.\cos \widehat{ACB}$  = 6 . cos 60° = 3.

a) Tam giác ABC đều nên  $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°$ và AB = BC = AC = a.

Lại có: $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\widehat{ABC}=60°$ .

Ta có:  $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}=\left(-\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{BA}$$=-\left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}\right)$

$=-\left(\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BA}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)\right)$

$=-\left(a.a.\cos 60°\right)=\frac{-a^2}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}=\frac{-a^2}{2}$ .

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó: $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$  nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ .

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$ .

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

                    = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

                    = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

                    = AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

                    = AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$    (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$   

Suy ra: 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  = 0

 $\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=0$ hay $\cos \widehat{BAC}=0$

Do đó: $\widehat{BAC}=90°$ .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{MN}.\left(-\overrightarrow{MN}\right)=-\left(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MN}\right)$$=-{\overrightarrow{MN}}^2=-M{N}^2$

Lại có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-4$ , do đó: – MN² = – 4 ⇔ MN² = 4.

Suy ra MN = 2   (MN là độ dài đoạn thẳng nên MN > 0).

Vậy MN = 2.

Đáp án đúng là: C.

Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  khác $\overrightarrow{0}$  thì  $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$

Do đó ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)>0$ .

Vậy $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  khác $\overrightarrow{0}$  và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)<90°$  thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$

a) ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ .

Do đó: $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}.90°=45°$

Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

= a . a . cos 45°

$=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$   .

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$ , nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$ .