20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB\,}  \cdot \overrightarrow {AC\,} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC\,} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {AC\,} } \right)\)\[ = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\]\[ = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \]\[ = \frac{1}{2}{a^2}\].

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot AD\) do đó \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Đáp án đúng là: A

Dựng vectơ \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC} \] khi đó ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}\).

Vì \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ \].

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}\].

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) có

\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}\) \( = \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}\).

Do đó \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = 120 \circ \).

Đáp án đúng là: B

Công sinh bởi lực \(\vec F\) được tính bằng công thức

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot {\rm{cos}}60^\circ  = 4500\,\,\left( {\rm{J}} \right)\).

Vậy công sinh bởi lực \(\vec F\) có độ lớn bằng 4500 (J).

Đáp án đúng là: A

Vì hình thang vuông \(ABCD\) có đường cao là \(AD\) nên \(AD \bot AB\) và \(AD \bot DC\).

Suy ra \(\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\) và \(\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {DC}  = 0\).

Khi đó, \(\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DA}  \cdot \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {AD}  =  - {\overrightarrow {AD} ^2} =  - {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} =  - 9{a^2}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(P = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {BC} \)\[ = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left| {\vec a - \vec b} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\vec a^2} - 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {4^2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \alpha  + {3^2} = 16 \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{8}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {NP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NP}  = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{2}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)

                           \( = \frac{2}{9} \cdot {3^2} + \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{{13}}{2}\).

Mặt khác \(\left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {10} ,\,\,\left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}\).

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

b) Sai. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên

\(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

c) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BA \bot BC\), suy ra \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\) (\(BC = AD = 3a\)).

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ  = 3{a^2}\).

b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).\

Vậy \(AI \bot BJ\).

a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là \[40\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 40\sqrt 3 \], người thứ hai kéo một lực là \[80\,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 80\].

b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc \(30^\circ \) và phương lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) song song mặt đường nên \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ \).

c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \).

Suy ra độ lớn của \(\overrightarrow F \) là: \(F = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2}  = 40\sqrt 7 \,{\rm{(N)}}\).

d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là

\[A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 40\sqrt 7  \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ  = 1000\sqrt {21} \,{\rm{(J)}} = a\sqrt b {\rm{(J)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1000\\b = 21\end{array} \right.\].

Khi đó \(a + b = 1021\).

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

b) Sai. \(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\)

c) Đúng. \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EF}  = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\)

                                        \( = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}\)

Ta có \({\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}\).

\({\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow {AF} ^2} = {\overrightarrow {EF} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF\). Vậy tam giác \(AEF\) vuông cân tại \(F\).

a) Sai. Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \),

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\).

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CB}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\cos \widehat {ACB}\)

                    \( =  - CB \cdot CA \cdot \cos 30^\circ  =  - 2a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} =  - 3{a^2}.\)

d) Đúng. Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - {a^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - 3{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - {a^2} - 3{a^2} =  - 4{a^2}\).

Ta có \[\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ  =  - 3\].

\[{\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37\]

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37}  \approx 6,1\].

Đáp án: 6,1.

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{2}{{\tan 30^\circ }} = 2\sqrt 3 .\)

Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2}}  = 4.\)

\(P = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( { - AB \cdot BC \cdot \cos B + AC \cdot BC \cdot \cos C} \right)\)\( = \frac{1}{4}\left( { - 2\sqrt 3  \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ  + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ } \right) =  - 2.\)

Đáp án: −2.

Dựng hình bình hành \(ABCM.\) Ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} \).

Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: \[\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\].

Xét tam giác \(CMB\) có

\(M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ  = 4900\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900}  = 70\) N.

Góc tạo bởi lực \(\vec F\) và phương chuyển động là \(\widehat {BMC}\) với

\(\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}\).

Gọi \(MD\) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực \(\vec F\) là:

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow {MD}  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;\)J.

Đáp án: 1820.

Gọi \(\overrightarrow {{v_0}} \) là vận tốc riêng của máy bay \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| = 700\) (km/h).

 \(\overrightarrow {{v_1}} \) là vận tốc gió \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 40\) (km/h), \(\overrightarrow {{v_2}} \) là vận tốc của máy bay khi gặp gió.

Khi đó \(\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow {{v_1}} \).

Từ giả thiết, dễ thấy \(\left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right) = 45^\circ \).

Ta có \({\overrightarrow {{v_2}} ^2} = {\left( {\overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow {{v_1}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_0}}  \cdot \overrightarrow {{v_1}}  = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| \cdot \cos 45^\circ \)

                \( = {700^2} + {40^2} + 2 \cdot 700 \cdot 40 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 491\,600 + 28\,000\sqrt 2 .\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {491\,600 + 28\,000\sqrt 2 }  \approx 729\) (km/h).

Đáp án: 729.

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng \(\left| {\vec P} \right| = 2500 \times 10 = 25000\) (N).

Trọng lực \(\overrightarrow P \) của ô tô hợp với hướng chuyển dời \(\overrightarrow {MN} \) một góc \(\alpha  = 90^\circ  + 15^\circ  = 105^\circ \).

Trọng lực \(\overrightarrow P \) được phân tích thành hai thành phần \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} :\overrightarrow P  = \overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{P_2}} \), trong đó \(\overrightarrow {{P_1}} \) có phương vuông góc với mặt dốc, \(\overrightarrow {{P_2}} \) có phương song song với mặt dốc.

Ta nhận thấy rằng, \(\overrightarrow {{P_1}} \) không có tác dụng đối với chuyển dời \(\overrightarrow {MN} \) của xe, còn \(\overrightarrow {{P_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {MN} \). Do đó, công của trọng lực tác động lên xe bằng

\(A = \overrightarrow P  \cdot \overrightarrow {MN}  = \left| {\overrightarrow P } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow {MN} } \right) = 25000 \cdot 50 \cdot \cos 105^\circ  \approx  - 323\,524\) (J) \( \approx  - 324\) (KJ).

Đáp án: −324.