20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\). Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AB\,} \cdot \overrightarrow {AC\,} \) là
\(2a\).
\(\frac{1}{2}{a^2}\).
\({a^2}\).
−12a2
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB\,} \cdot \overrightarrow {AC\,} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC\,} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {AC\,} } \right)\)\[ = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\]\[ = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \]\[ = \frac{1}{2}{a^2}\].
Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(2\). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 4\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = - 4\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot AD\) do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).
Cho tam giác đều \(ABC\). Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right)\).
\(120^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(150^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Dựng vectơ \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC} \] khi đó ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}\).
Vì \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ \].
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2\)cm, \(BC = 4\)cm, \(CA = 5\)cm. Tính \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = 37\).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{37}}{2}\).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{37}}{{20}}\).
\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = - \frac{{37}}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}\].
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) có
\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}\) \( = \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}\).
Do đó \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 3\). Xác định số đo góc \(\alpha \)giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\alpha = 30 \circ \).
\(\alpha = 45 \circ \).
\(\alpha = 60 \circ \).
\(\alpha = 120 \circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 120 \circ \).
Một người dùng một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m.
Biết lực \(\overrightarrow F \) hợp với hướng dịch chuyển một góc \(60^\circ \). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \).
\(5400\,\,{\rm{(J)}}\).
\(4500\,\,{\rm{(J)}}\).
\(1500\,\,{\rm{(J)}}\).
\(450\,{\rm{(J)}}\).
Đáp án đúng là: B
Công sinh bởi lực \(\vec F\) được tính bằng công thức
\(A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = 4500\,\,\left( {\rm{J}} \right)\).
Vậy công sinh bởi lực \(\vec F\) có độ lớn bằng 4500 (J).
Cho hình thang vuông \(ABCD\)có đáy lớn \(AB = 4a\), đáy nhỏ \(CD = 2a\), đường cao \(AD = 3a\).Tính \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BC} \).
\( - 9{a^2}\).
\(15{a^2}\).
\(0\).
\(9{a^2}\)
Đáp án đúng là: A
Vì hình thang vuông \(ABCD\) có đường cao là \(AD\) nên \(AD \bot AB\) và \(AD \bot DC\).
Suy ra \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\) và \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = 0\).
Khi đó, \(\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {AD} = - {\overrightarrow {AD} ^2} = - {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} = - 9{a^2}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c\].Tính \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {BC} \).
\(P = {b^2} - {c^2}\).
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}\).
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}\).
\(P = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {BC} \)\[ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2}\].
Cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) thỏa mãn: \(\left| {\vec a} \right| = 4;\left| {\vec b} \right| = 3;\left| {\vec a - \vec b} \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\vec a,\vec b\). Chọn phát biểu đúng.
\(\alpha = 60^\circ \).
\(\alpha = 30^\circ \).
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{8}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left| {\vec a - \vec b} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\vec a^2} - 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 16\)
\( \Leftrightarrow {4^2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \alpha + {3^2} = 16 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{3}{8}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng 3. Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \[M\] sao cho \(BM = 1\), trên cạnh \[CD\] lấy điểm \[N\] sao cho \[DN = 1\] và \[P\] là trung điểm\[BC\]. Tính \[\cos \widehat {MNP}\].
\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}\).
\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{4\sqrt {10} }}\).
\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{\sqrt {10} }}\).
\(\cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{45\sqrt {10} }}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
Suy ra \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{2}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)
\( = \frac{2}{9} \cdot {3^2} + \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{{13}}{2}\).
Mặt khác \(\left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {10} ,\,\,\left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}\).
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\).
a) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} \).
b) \(\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
c) \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
d) \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.\)
a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
b) Sai. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên
\(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
c) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BA \bot BC\), suy ra \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\) (\(BC = AD = 3a\)).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = 3a,\,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(J\) thuộc đoạn \(AC\) thỏa mãn \(12AJ = 7AC\).
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 4{a^2}\).
b) \(\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) \(\overrightarrow {BJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d) \(AI \bot BJ\).
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ = 3{a^2}\).
b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
Khi đó, \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).\
Vậy \(AI \bot BJ\).
Hai người cùng kéo một xe goòng. Người thứ nhất và người thứ hai lần lượt tác dụng vào chiếc xe goòng bằng hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hai lực vuông góc nhau, phương lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) song song mặt đường) như hình vẽ và lực tổng hợp hợp với phương ngang (mặt đường) một góc \(30^\circ \). Người thứ nhất kéo một lực là \[40\sqrt 3 \] (N), người thứ hai kéo một lực là \[80\] (N).
a) \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 80,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 40\sqrt 3 \).
b) \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ \).
c) Độ lớn của \(\overrightarrow F \) bằng \(40\sqrt 7 \) (N).
d) Công sinh ra khi kéo vật đi một khoảng dài \(50\) (m) là \(a\sqrt b \) (J) thì tổng \(a + b = 1021\).
a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là \[40\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 40\sqrt 3 \], người thứ hai kéo một lực là \[80\,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 80\].
b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc \(30^\circ \) và phương lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) song song mặt đường nên \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ \).
c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \).
Suy ra độ lớn của \(\overrightarrow F \) là: \(F = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2} = 40\sqrt 7 \,{\rm{(N)}}\).
d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là
\[A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 40\sqrt 7 \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ = 1000\sqrt {21} \,{\rm{(J)}} = a\sqrt b {\rm{(J)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1000\\b = 21\end{array} \right.\].
Khi đó \(a + b = 1021\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(F\) thoả mãn \(\overrightarrow {BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} \).
a) \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
b) \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .\)
c) \(\overrightarrow {EF} = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)
d) Tam giác \(AEF\) vuông cân.
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
b) Sai. \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\)
c) Đúng. \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)
d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}\)
Ta có \({\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}\).
\({\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.\)
\( \Rightarrow {\overrightarrow {AF} ^2} = {\overrightarrow {EF} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF\). Vậy tam giác \(AEF\) vuông cân tại \(F\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,BC = 2a\).
a) \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).
b) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}\).
c) \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = 3{a^2}.\)
d) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - 4{a^2}\).
a) Sai. Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \),
\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).
b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\).
c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\cos \widehat {ACB}\)
\( = - CB \cdot CA \cdot \cos 30^\circ = - 2a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = - 3{a^2}.\)
d) Đúng. Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - {a^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - 3{a^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - {a^2} - 3{a^2} = - 4{a^2}\).
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Ta có \[\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = - 3\].
\[{\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37\]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} \approx 6,1\].
Đáp án: 6,1.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 30^\circ ,AC = 2\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} .\)
Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{2}{{\tan 30^\circ }} = 2\sqrt 3 .\)
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2}} = 4.\)
\(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( { - AB \cdot BC \cdot \cos B + AC \cdot BC \cdot \cos C} \right)\)\( = \frac{1}{4}\left( { - 2\sqrt 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ } \right) = - 2.\)
Đáp án: −2.
Một vật nằm trên mặt phẳng ngang chịu tác dụng của hai lực \[\overrightarrow {{F_1}} \] có phương song song với mặt phẳng ngang và \[\overrightarrow {{F_2}} \] theo phương tạo với mặt phẳng ngang một góc \[60^\circ \](như hình vẽ). Biết rằng độ lớn của các lực là \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 50\,{\rm{N}}\], \[\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 30\,{\rm{N}}\]. Ta nhận thấy vật di chuyển theo phương nằm ngang một quãng đường \[28\]m.
Tính công sinh ra (đơn vị: Jun) bởi lực \(\overrightarrow F \) là hợp lực của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) nói trên.
Dựng hình bình hành \(ABCM.\) Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} \).
Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: \[\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\].
Xét tam giác \(CMB\) có
\(M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ = 4900\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900} = 70\) N.
Góc tạo bởi lực \(\vec F\) và phương chuyển động là \(\widehat {BMC}\) với
\(\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}\).
Gọi \(MD\) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực \(\vec F\) là:
\(A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow {MD} = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;\)J.
Đáp án: 1820.
Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ \(700\) (km/h) thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ \(40\) (km/h). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm vận tốc mới của máy bay (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị km/h).
Gọi \(\overrightarrow {{v_0}} \) là vận tốc riêng của máy bay \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| = 700\) (km/h).
\(\overrightarrow {{v_1}} \) là vận tốc gió \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 40\) (km/h), \(\overrightarrow {{v_2}} \) là vận tốc của máy bay khi gặp gió.
Khi đó \(\overrightarrow {{v_2}} = \overrightarrow {{v_0}} + \overrightarrow {{v_1}} \).
Từ giả thiết, dễ thấy \(\left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right) = 45^\circ \).
Ta có \({\overrightarrow {{v_2}} ^2} = {\left( {\overrightarrow {{v_0}} + \overrightarrow {{v_1}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_0}} \cdot \overrightarrow {{v_1}} = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| \cdot \cos 45^\circ \)
\( = {700^2} + {40^2} + 2 \cdot 700 \cdot 40 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 491\,600 + 28\,000\sqrt 2 .\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {491\,600 + 28\,000\sqrt 2 } \approx 729\) (km/h).
Đáp án: 729.
Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực (đơn vị KJ và làm tròn đến hàng đơn vị) tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng \(15^\circ \) so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng \(10\,\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)).
Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng \(\left| {\vec P} \right| = 2500 \times 10 = 25000\) (N).
Trọng lực \(\overrightarrow P \) của ô tô hợp với hướng chuyển dời \(\overrightarrow {MN} \) một góc \(\alpha = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ \).
Trọng lực \(\overrightarrow P \) được phân tích thành hai thành phần \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} :\overrightarrow P = \overrightarrow {{P_1}} + \overrightarrow {{P_2}} \), trong đó \(\overrightarrow {{P_1}} \) có phương vuông góc với mặt dốc, \(\overrightarrow {{P_2}} \) có phương song song với mặt dốc.
Ta nhận thấy rằng, \(\overrightarrow {{P_1}} \) không có tác dụng đối với chuyển dời \(\overrightarrow {MN} \) của xe, còn \(\overrightarrow {{P_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {MN} \). Do đó, công của trọng lực tác động lên xe bằng
\(A = \overrightarrow P \cdot \overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow P } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow {MN} } \right) = 25000 \cdot 50 \cdot \cos 105^\circ \approx - 323\,524\) (J) \( \approx - 324\) (KJ).
Đáp án: −324.
