15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án
15 câu hỏi
Cho a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0→. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a→.b→=a→.b→;
a→.b→=0;
a→.b→=-1
a→.b→=−a→.b→
Đáp án đúng là: A
Ta có: a→.b→=a→.b→.cosa→,b→.
Do a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng nên a→,b→=00⇒cosa→,b→=1.
Vậy a→.b→=a→.b→.
Cho a→ và b→ khác vectơ 0→. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→ khi a→.b→=−a→.b→.
α=1800;
α=00;
α=900;
D, α=450;
Đáp án đúng là: A
Ta có: a→.b→=a→.b→.cosa→,b→.
Mà theo giả thiết a→.b→=−a→.b→, suy ra cosa→,b→=−1⇒a→,b→=1800.
Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=3, b→=2 và a→.b→=−3. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→
α=300;
α=450;
α=600;
α=1200;
Đáp án đúng là: D
Ta có: a→.b→=a→.b→.cosa→,b→⇒cosa→,b→=a→.b→a→.b→=−33.2=−12⇒a→,b→=1200.
Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=b→=1 và hai vectơ u→=25a→−3b→ và v→=a→+b→ vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
α=900;
α=1800;
α=600;
α=450;
Đáp án đúng là: B
Ta có: u→⊥v→⇒u→.v→=0⇔25a→−3b→a→+b→=0⇔25a→2−135a→b→−3b→2=0
→a→=b→=1a→b→=−1.
Suy ra cosa→,b→=a→.b→a→.b→=−1⇒a→,b→=1800.
Cho hai vectơ a→ và b→. Đẳng thức nào sau đây sai?
a→.b→=12a→+b→2−a→2−b→2;
a→.b→=12a→2+b→2−a→−b→2;
a→.b→=12a→+b→2−a→−b→2;
a→.b→=14a→+b→2−a→−b→2.
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 12 và 14 nên đáp án sai rơi vào C hoặc D.
Ta có: a→+b→2−a→−b→2=a→+b→2−a→−b→2
=a→2+b→2+2a→.b→−a→2−b→2+2a→.b→=4a→.b→
⇒a→.b→=14a→+b→2−a→−b→2.
- A đúng, vì:
a→+b→2=a→+b→2=a→+b→.a→+b→
=a→.a→+a→.b→+b→.a→+b→.b→=a→2+b→2+2a→.b→
⇒a→.b→=12a→+b→2−a→2−b→2.
· B đúng, vì
a→−b→2=a→−b→2=a→−b→.a→−b→
=a→.a→−a→.b→−b→.a→+b→.b→=a→2+b→2−2a→.b→
⇒a→.b→=12a→2+b→2−a→−b→2.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB→.AC→.
AB→.AC→=2a2;
AB→.AC→=−a232;
AB→.AC→=−a22;
AB→.AC→=a22.
Đáp án đúng là: D
Xác định được góc AB→,AC→ là góc A^ nên AB→,AC→ (do tam giác ABC đều)
Do đó AB→.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→=a.a.cos600=a22.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng AB→.BC→.
AB→.BC→=a2;
AB→.BC→=a232;
AB→.BC→=−a22;
AB→.BC→=a22.
Đáp án đúng là: C
Xác định được góc AB→,BC→ là góc ngoài của góc B^ nên AB→,BC→=1200 (do tam giác ABC là tam giác đều nên góc B^=60°, do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120o).
Do đó AB→.BC→=AB.BC.cosAB→,BC→=a.a.cos1200=−a22.
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?
AB→.AC→=12a2;
AC→.CB→=−12a2;
GA→.GB→=a26;
AB→.AG→=12a2.
Đáp án đúng là: C
- Xác định được góc AB→,AC→ là góc A^ nên AB→,AC→=600(do tam giác ABC đều)
Do đó AB→.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→=a.a.cos600=a22 ⇒A đúng
- Xác định được góc AC→,CB→ là góc ngoài của góc C^ nên AC→,CB→=1200.
Do đó AC→.CB→=AC.CB.cosAC→,CB→=a.a.cos1200=−a22 ⇒ B đúng.
Xác định được góc GA→,GB→ là góc AGB^ nên GA→,GB→=1200.
Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = 23.a.32= a3.
Tương tự, GB = a3.
Do đó GA→.GB→=GA.GB.cosGA→,GB→=a3.a3.cos1200=−a26 ⇒ C sai.
Xác định được góc AB→,AG→ là góc GAB^ nên AB→,AG→=300.
Do đó AB→.AG→=AB.AG.cosAB→,AG→=a.a3.cos300=a22 ⇒ D đúng.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?
AH→.BC→=0;
AB→,HA→=1500;
AB→.AC→=a22;
AC→.CB→=a22.
Đáp án đúng là: D
Xác định được góc AC→,CB→ là góc ngoài của góc A^ nên AC→,CB→=1200. (vì tam giác ABC đều nên góc A = 60o, do đó góc ngoài của góc A bằng 120o).
Do đó AC→.CB→=AC.CB.cosAC→,CB→=a.a.cos1200=−a22.
+) A đúng vì AH→⊥BC→ nên suy ra AH→.BC→=0;
+) B đúng vì AH chính là tia phân giác nên AB→,HA→=1500;
+) C đúng vì AB→.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→=a.a.cos600=a22.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB=AC=a. Tính AB→.BC→.
AB→.BC→=−a2;
AB→.BC→=a2;
AB→.BC→=−a222;
AB→.BC→=a222;
Đáp án đúng là: A
Xác định được góc AB→,BC→ là góc ngoài của góc nên AB→,BC→=1350. (Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra góc ABC^=450)
Độ dài BC là:BC2=AB2+AC2 ⇔BC=AB2+AC2
⇔BC=a2
Do đó AB→.BC→=AB.BC.cosAB→,BC→=a.a2.cos1350=−a2.
Cho tam giác ABC vuông cân tại Acó BC = 2. Tính tích vô hướng AB→.CA→
1
2
0
3
Đáp án đúng là: C
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên suy ra AB⊥CA⇒ AB→.CA→ = 0
Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c; AC = b. Tính BA→.BC→.
BA→.BC→=b2;
BA→.BC→=a2
BA→.BC→=b2+c2;
BA→.BC→=b2−c2.
Đáp án đúng là: B
Áp dung định lý Py – ta – go ta có:
AB2+AC2=BC2
⇔BC=AB2+AC2=c2+b2
Cos B = ABBC=cb2+c2
Lại có: cos B chính là cos BA→;BC→
Ta có:
BA→.BC→=BA.BC.cosBA→,BC→=BA.BC.cosB^=c.b2+c2.cb2+c2=c2.
Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Tính P=AB→+AC→.BC→.
P=b2−c2;
P=c2+b22;
P=c2+b2+a23;
P=c2+b2−a22.
Đáp án đúng là: A
Ta có: P=AB→+AC→.BC→=AB→+AC→.BA→+AC→.
=AC→+AB→.AC→−AB→=AC→2−AB→2=AC2−AB2=b2−c2.
Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính AM→.BC→.
AM→.BC→=b2−c22;
AM→.BC→=c2+b22;
AM→.BC→=c2+b2+a23;
AM→.BC→=c2+b2−a22.
Đáp án đúng là: A
Vì M là trung điểm của BC suy ra AB→+AC→=2 AM→.
Khi đó AM→.BC→=12AB→+AC→.BC→=12AB→+AC→.BA→+AC→
=12AC→+AB→.AC→−AB→=12AC→2−AB→2=12AC2−AB2=b2−c22.
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng OA→+OB→.AB→=0 là
Tam giác OAB đều;
Tam giác OAB cân tại O;
Tam giác OAB vuông tại O;
Tam giác OAB vuông cân tại O.
Đáp án đúng là: B
Ta có: OA→+OB→.AB→=0⇔OA→+OB→.OB→−OA→=0
⇔OB→2−OA→2=0⇔OB2−OA2=0⇔OB=OA.
Do đó, tam giác OAB cân tại O.
