Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 5. Dãy số có đáp án
18 câu hỏi
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.
Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là
P10 = 500 . (1 + 0,02)10 ≈ 609 (nghìn người).
Lời giải:
Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.
Số chính phương thứ nhất là u1 = 02 = 0
Số chính phương thứ hai là u2 = 12 = 1
Số chính phương thứ ba là u3 = 22 = 4
Số chính phương thứ tư là u4 = 32 = 9
Số chính phương thứ năm là u5 = 42 = 16
Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ*.
Lời giải:
a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là
0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.
b) Ta có: un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ* và n ≤ 8.
Lời giải:
a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.
Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n + 1 (n ∈ ℕ*).
b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.
Số hạng đầu của dãy là u1 = 6, số hạng cuối của dãy là u5 = 26.Lời giải:
a) Số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n (n ∈ ℕ*).
b) Số hạng đầu của dãy số là u1 = 5.
Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là un = un – 1 + 5 (n ∈ ℕ*, n > 1).
Lời giải:
a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n! là
u1 = 1! = 1;
u2 = 2! = 2;
u3 = 3! = 6;
u4 = 4! = 24;
u5 = 5! = 120.
b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) là
F1 = 1;
F2 = 1;
F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2;
F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3;
F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5.
Lời giải:
a) Ta có: un + 1 = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2
Xét hiệu un + 1 – un ta có: un + 1 – un = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.
b) Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).
Xét hiệu vn + 1 – vn ta có:
vn + 1 – vn = \(\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}\)\( = \frac{{{n^2} - {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Tức là vn + 1 < vn , ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy vn + 1 < vn ∀ n ∈ ℕ*.
Lời giải:
Ta có: \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\), \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}}\)\( = \frac{{\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Tức là un + 1 < un , ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy (un) là dãy số giảm.
Lời giải:
a) Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
b) Ta có: \(\frac{1}{n} \le 1,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), suy ra \(1 + \frac{1}{n} \le 1 + 1 = 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó, \({u_n} = 1 + \frac{1}{n} \le 2,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 18 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Lời giải:
Ta có: un = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới.
Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
un = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
Lời giải:
a) Ta có: s2 = s1 + 25 = 200 + 25 = 225
s3 = s2 + 25 = 225 + 25 = 250
s4 = s3 + 25 = 250 + 25 = 275
s5 = s4 + 25 = 275 + 25 = 300
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.
b) Ta có: sn = sn – 1 + 25 ⇔ sn – sn – 1 = 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.
Tức là sn > sn – 1 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.
Vậy (sn) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.Lời giải:
a) Ta có: u1 = 3 . 1 – 2 = 1;
u2 = 3 . 2 – 2 = 4;
u3 = 3 . 3 – 2 = 7;
u4 = 3 . 4 – 2 = 10;
u5 = 3 . 5 – 2 = 13;
u100 = 3 . 100 – 2 = 298.
b) Ta có: u1 = 3 . 21 = 6;
u2 = 3 . 22 = 12;
u3 = 3 . 23 = 24;
u4 = 3 . 24 = 48;
u5 = 3 . 25 = 96;
u100 = 3 . 2100.
c) Ta có: \({u_1} = {\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1} = 2\);
\({u_2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\);
\({u_3} = {\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}\);
\({u_4} = {\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^4} = \frac{{625}}{{256}}\);
\({u_5} = {\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^5} = \frac{{7776}}{{3125}}\);
\({u_{100}} = {\left( {1 + \frac{1}{{100}}} \right)^{100}} = {\left( {\frac{{101}}{{100}}} \right)^{100}}\).
Lời giải:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 1;
u2 = 2u1 = 2 . 1 = 2;
u3 = 3u2 = 3 . 2 = 6;
u4 = 4u3 = 4 . 6 = 24;
u5 = 5u4 = 5 . 24 = 120.
b) Nhận xét thấy u1 = 1 = 1!;
u2 = 2 . 1 = 2!;
u3 = 3u2 = 3 . 2 . 1 = 3!;
u4 = 4u3 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;
u5 = 5u4 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;
...
Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của un là un = n!.
Lời giải:
a) Ta có: un + 1 = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1
Xét hiệu un + 1 – un = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0, tức là un + 1 > un , ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy (un) là dãy số tăng.
b) Ta có: un + 1 = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1
Xét hiệu un + 1 – un = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0, tức là un + 1 < un, ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy (un) là dãy số giảm.
c) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{2^n}}}\)
Nhận xét thấy: \({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\); \({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0\);
\({u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\); \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = \frac{{ - 1}}{{16}} < 0\); ...
Vậy dãy số (un) không tăng, cũng không giảm.
Lời giải:
a) Ta có: un = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.
Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
un = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
b) Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\), với mọi n ∈ ℕ*.
Vì \(0 < \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3}\), ∀ n ∈ ℕ* nên \( - \frac{1}{3} \le - \frac{1}{{n + 2}} < 0\) ∀ n ∈ ℕ*.
Suy ra \(1 - \frac{1}{3} \le 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1\) hay \(\frac{2}{3} \le {u_n} < 1\) ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.
c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.
d) un = (– 1)n – 1 n2
Ta có: (– 1)n – 1 = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.
(– 1)n – 1 = – 1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.
n2 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, un = – n2 < 0, với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.
un = n2 > 0, với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.
Vậy dãy số (un) không bị chặn.
Lời giải:
a) Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...
Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ*.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là un = 3n với n ∈ ℕ*.
b) Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4(n – 1) + 1 = 4n – 3 với n ∈ ℕ*.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dư 1 là un = 4n – 3 với n ∈ ℕ*.
Lời giải:
a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là
\({A_1} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^1} = 100,5\) (triệu đồng).
Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là
\({A_2} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^2} = 101,0025\) (triệu đồng).
b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là
\({A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} \approx 106,17\) (triệu đồng).
Lời giải:
a) Ta có: A0 = 100 (triệu đồng)
+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 1 tháng là 100 . 0,8% = 0,8 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 1 tháng là 2 – 0,8 = 1,2 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là
A1 = 100 – 1,2 = 98,8 (triệu đồng).
+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 2 tháng là 98,8 . 0,8% = 0,7904 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 2 tháng là 2 – 0,7904 = 1,2096 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 2 tháng là
A2 = 98,8 – 1,2096 = 97,5904 (triệu đồng).
+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 3 tháng là 97,5904 . 0,8% = 0,7807232 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 3 tháng là 2 – 0,7807232 = 1,2192768 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 3 tháng là
A3 = 97,5904 – 1,2192768 = 96,3711232 (triệu đồng).
+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 4 tháng là 96,3711232 . 0,8% ≈ 0,77097 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 4 tháng là 2 – 0,77097 = 1,22903 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 4 tháng là
A4 = 96,3711232 – 1,22903 = 95,1420932 (triệu đồng).
+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 5 tháng là 95,1420932 . 0,8% ≈ 0,76114 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 5 tháng là 2 – 0,76114 = 1,23886 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 5 tháng là
A5 = 95,1420932 – 1,23886 = 93,9032332 (triệu đồng).
+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 6 tháng là 93,9032332 . 0,8% ≈ 0,75123 (triệu đồng).
Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 6 tháng là 2 – 0,75123 = 1,24877 (triệu đồng).
Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng là
A6 = 93,9032332 – 1,24877 = 92,6544632 (triệu đồng).
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An) là
A0 = 100; An = An – 1 – (2 – An – 1. 0,8%) = 1,008An – 1 – 2.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
