Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0\)nên \({u_{n + 1}} > {u_n}\)vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)tăng.

Chọn A

Ta có \({u_n} = \frac{1}{{n + 2}}\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{1}{{n + 3}}\) suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm (loại B, D).

Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có \({u_n} = \frac{1}{{n + 2}} > 0.\)

và \(n + 2 > 1\)\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{n + 2}} < 1.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Chọn A

Ta có \({U_{100}} = \frac{{100 - 1}}{{100 + 2}} = \frac{{33}}{{34}}\).

a) Ta có: \({u_1} =  - \frac{1}{2};{u_2} =  - \frac{2}{3};{u_3} =  - \frac{3}{4};{u_4} =  - \frac{4}{5};{u_5} =  - \frac{5}{6}\).

b) Ta có: \({u_{10}} =  - \frac{{10}}{{11}},{u_{100}} =  - \frac{{100}}{{101}}\).

c) Xét \( - \frac{{85}}{{86}} = \frac{{ - n}}{{n + 1}} \Leftrightarrow 85n + 85 = 86n \Leftrightarrow n = 85\).

Vậy \( - \frac{{85}}{{86}}\) là số hạng thứ 85 của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Xét \( - \frac{{99}}{{101}} = \frac{{ - n}}{{n + 1}} \Leftrightarrow 99n + 99 = 101n \Leftrightarrow n = \frac{{99}}{2} \notin {\mathbb{N}^*}\) (loại).

Vậy \( - \frac{{99}}{{101}}\) không phải là số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

a) Ta có: \(2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} \Rightarrow {v_{n + 2}} = {v_{n + 1}}\)

Tương tự, ta chứng minh được \({v_{n + 1}} =  \ldots  = {v_2} = 1\), hay dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy không đổi.

b) Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 1 \Rightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + 1\)

Suy ra \({u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) +  \ldots  + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)

\( = 1 + 1 +  \ldots  + 1 + {u_1} = n - 1 + 2023 = n + 2022.{\rm{ }}\)

Khi đó \({u_{2024}} = 4046\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\\{u_2} = 2 + 2.1 - 1 = 3\end{array}\)

Khi đó: \({u_3} = 3 + 2.2 - 1 = 6\)

\({u_4} = 6 + 2.3 - 1 = 11\)

Suy ra: \({u_n} = 2 + {(n - 1)^2}\)

c) Ta có \({u_{2024}} = 4092531\)

d) Ta có \({u_{2023}} = 4088486\)

Nhận xét: \({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}\)

\( = \frac{{(\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )}}{{(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n )(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )(\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} )}} = \frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}{\rm{. }}\)

Vì \(0 < \sqrt {n + 1}  + \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} \) nên \(\frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < 1\)

hay \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Tổng 6 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là 57.

Năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \(2;\sqrt 6 ;2\sqrt 2 ;\sqrt {10} ;2\sqrt 3 \).

Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n} = \sqrt {2(n + 1)} \).

\({u_1} = - 2;{u_2} = - \frac{3}{2};{u_3} = - \frac{4}{3};{u_4} = - \frac{5}{4}; \ldots \) Ta dự đoán được \({u_n} = - \frac{{n + 1}}{n}\).

Ta có: \({u_2} = {u_1} + 1 = 5;{u_3} = {u_2} + 2 = 7;{u_4} = {u_3} + 3 = 10\).

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là \({u_5} = {u_4} + 4 = 14\).

Ta thấy đường tròn được chia thành \(n + 6\) cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng ${\left(\frac{360}{n+6}\right)}^{°}$. Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn \(n + 6 - 2.3 = n\) cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là \({u_n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{360}}{{n + 6}} \cdot n = \frac{{180n}}{{n + 6}}\).

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

\({T_1} = 50 \cdot 75\% = 37,5\) (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

\({T_2} = {T_1} \cdot 75\% = 28,125\)(triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

\({T_3} = {T_2} \cdot 75\% = 21,0938\)(triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

\({T_4} = {T_3} \cdot 75\% = 15,8203\)(triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

\({T_5} = {T_4} \cdot 75\% = 11,8652\) (triệu đồng).

Chú ý. Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau \(n\) năm sử dụng là

\({T_n} = {T_1} \cdot {(0,75)^{n - 1}}\)(triệu đồng).