Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết, ta có: u_{n+ 1} = u_n + 1.

Ta suy ra được công thức tổng quát của số hạng u_n = u₁ + (n – 1) = 13 + n.

Do đó, hàng có 29 cột gỗ là: n = 29 – 13 = 16.

Vậy hàng có 29 cột gỗ là hàng 16.

Đáp án đúng là: B

Kế hoạch thu gom diễn ra trong đúng 1 tuần (7 ngày) nên hành trình này có điểm kết thúc. Do đó, dãy số (u_n) là một dãy số hữu hạn gồm chính xác 7 số hạng.

Đáp án đúng là: C

Tháng 1 có u₁ = 20.

Tháng sau tăng gấp đôi tháng trước nghĩa là số lượng cá thể của tháng n + 1 bằng số lượng của tháng n nhân với 2 => u_{n + 1} = 2u_n.

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 20}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n}\quad (\forall n \ge 1)}\end{array}} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Hàng 1 có \({u_1} = 120\);

Hàng 2 có \({u_2} = 120 - 4 = 116\);

Hàng 3 có \({u_3} = 116 - 4 = 112\).

Thử công thức phương án B: u_n = 124 – 4n.

Với n = 1 => u₁ = 120 (thỏa mãn).

Với n = 2 => u₂ = 116 (thỏa mãn).

Với n = 3 => u₃ = 112 (thỏa mãn).

Đáp án đúng là: C

Độ cao ban đầu là 8 m.

Độ cao nảy lên lần lượt là: \({h_1} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6{\rm{ m}}\); \({h_2} = 6 \cdot \frac{3}{4} = 4,5{\rm{ m}}\); \({h_3} = 4,5 \cdot \frac{3}{4} = 3,375{\rm{ m}}...\) Ta thấy h₁ > h₂ > h₃ > …> h_n. Số hạng càng về sau càng nhỏ nên đây là một dãy số giảm.

Đáp án đúng là: D

\({u_0} = 5000\)

\({u_1} = 0,9 \cdot 5000 + 600 = 4500 + 600 = 5100\)

\({u_2} = 0,9 \cdot 5100 + 600 = 4590 + 600 = 5190\)

\({u_3} = 0,9 \cdot 5190 + 600 = 4671 + 600 = 5271\)

Nhìn nhận xu hướng: \({u_0} < {u_1} < {u_2} < {u_3} < \ldots \) Đây là một dãy số tăng.

Để xét xem dãy số tăng này bị chặn trên bởi số nào, ta giả sử khi \(n\) lớn vô hạn, lượng nước đạt đến trạng thái cân bằng \(L\): \(L = 0,9L + 600 \Leftrightarrow 0,1L = 600 \Leftrightarrow L = 6000\).

Vì dãy số bắt đầu từ 5000 và tăng dần tiến về phía 6000 nên \(5000 \le {u_n} < 6000\).

Do đó dãy số bị chặn trên bởi \(6000{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. u₁ = 3; u₂ = 3 + 0,5 = 3,5; u₃ = 3,5 + 0,5 = 4.

b) Đúng. Ngày sau bằng ngày trước cộng lượng tăng thêm cố định 0,5 km.

Khi đó u_n+1 = u_n + 0,5.

c) Sai. Ta có u₄ = 4 + 0,5 = 4,5; u₅ = 4,5 + 0,5 = 5 km.

d) Đúng. Khoảng cách tăng liên tục nên dãy tăng. Khi n càng lớn thì u_n càng lớn. Do đó dãy không bị chặn trên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Lượng chất phóng xạ ban đầu giờ 0 là 16.

Sau 1 giờ (m₁): \(\frac{{16}}{2} = 8{\rm{ mg}}\).

Sau 2 giờ (m₂): \(\frac{8}{2} = 4{\rm{ mg}}\).

Sau 3 giờ (m₃): \(\frac{4}{2} = 2{\rm{ mg}}\).

b) Đúng. Theo quy luật chia đôi liên tiếp từ mốc gốc 16: \({m_n} = 16 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

c) Sai. Số hạng nhỏ dần qua từng giờ (\(8 > 4 > 2 > 1...\)) nên đây phải là dãy số giảm.

d) Đúng. Vì khối lượng luôn dương nên \({m_n} > 0\).

Số hạng đầu tiên lớn nhất m₁ = 8 => m_n ≤ 8. Vậy 0 < m_n ≤ 8, dãy số bị chặn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tuần 1 cao 4 cm.

Tuần 2 cao thêm 4.0,5 = 2 cm. Chiều cao tổng cuối tuần 2 là 4 + 2 = 6 cm.

b) Đúng. Ta có

h₁ = 4

h₂ = 4 + 2 = 6

h₃ = 4 + 2 + 1 = 7

…

\({h_n} = 4 + 2 + 1 + \ldots + \frac{4}{{{2^{n - 1}}}} = 4 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 8\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 8 - \frac{8}{{{2^n}}}\).

c) Sai. Mặc dù lượng cao thêm hằng tuần ít đi, nhưng cây vẫn cao thêm nên tổng chiều cao tổng thể \({h_n}\) luôn tăng theo thời gian (4 < 6 < 7 <…). Đây phải là dãy số tăng.

d) Đúng. Vì biểu thức \({h_n} = 8 - \frac{8}{{{2^n}}} < 8\) với mọi n ∈ ℕ^*, nên chiều cao mầm cây bị chặn trên bởi 8 cm.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hết năm 1: \(200 \cdot 1,065 = 213\) triệu.

Hết năm 2: \(213 \cdot 1,065 = 226,845\) triệu đồng.

b) Đúng. Tiền năm sau bằng tiền năm trước nhân hệ số gốc cộng lãi: \((1 + 6,5\% ) = 1,065\) nên A_n = 1,065.A_{n – 1}.

c) Đúng. Có A₁ = 200.1,065; A₂ = A₁.1,065 = 200.(1,065)²; …

A_n = 200.(1,065)ⁿ.

d) Sai. Đây là dãy số tăng tăng trưởng theo hàm mũ, khi n càng lớn thì số tiền càng lớn, không bị chặn trên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ngày 1: d₁ = 60.

Ngày 2 lượng cũ còn lại 60.0,4 = 24, cộng thêm viên mới 60 mg.

Suy ra d₂ = 24 + 60 = 84 mg.

b) Đúng. Hệ thức mô tả chính xác quy luật đào thải 60% (còn giữ 40% = 0,4) và nạp thêm 60 mỗi ngày là d_n = 60 + 0,4d_{n – 1}.

c) Đúng. Ta có d₃ = 60 + 0,4d₂ = 60 + 0,4.84 = 93,6 mg.

d) Đúng. Xét các số hạng ta có d₁ < d₂ < d₃ < … . Dãy số tăng.

Khi n càng lớn, trạng thái cân bằng lượng thuốc đạt ngưỡng L = 0,4L + 60 ⇔ L = 100 mg.

Do đó lượng thuốc luôn nhỏ hơn 100 mg, dãy bị chặn trên.

Đáp án: 50

Hàng 1: u₁ = 80

Hàng 2: u₂ = 80 – 3 = 77

Hàng 3: u₃ = 77 – 3 = 74

...

Quy luật số hạng tổng quát của dãy số này có dạng: u_n = 80 – (n – 1).3 = 83 – 3n.

Thay n = 11 ta có u₁₁ = 83 - 3.11 = 50 tấm pin.

Đáp án: 605

Cuối năm 1: u₁ = 500 con.

Cuối năm 2: u₂ = 500 + 500.10% = 550 con.

Cuối năm 3: u₃ = 550 + 550.10% = 605 con.

Đáp án: 6

Lần 1: u₁ = 64 kN.

Lần 2: \({u_2} = \frac{{64}}{2} = 32{\rm{ kN}}\)

Lần 3: \({u_3} = \frac{{32}}{2} = 16{\rm{ kN}}\)

Lần 4: \({u_4} = \frac{{16}}{2} = 8{\rm{ kN}}\)

Lần 5: \({u_5} = \frac{8}{2} = 4{\rm{ kN}}\)

Lần 6: \({u_6} = \frac{4}{2} = 2{\rm{ kN}}\)

Vậy ở lần thử thứ 6, lực kéo dây chịu được giảm xuống còn đúng \(2{\rm{ kN}}\).

Đáp án: 21

Liệt kê dãy sản lượng mủ: u₁ = 15; u₂ = 19; u₃ = 23; u₄ = 27; …

Quy luật của dãy số này là số hạng sau luôn hơn số hạng trước đúng 4 đơn vị

=> u_n = 15 + (n – 1).4 = 11 + 4n.

Khi đó ta có 11 + 4n = 95 ⇔ n = 21.

Vậy đó là khu vực thứ 21.

Đáp án: 1820

Ban đầu bể chứa: u₀ = 2000 lít.

Sau ngày 1: Thiết bị lấy đi 20% (còn giữ 80%) rồi bơm thêm 300 lít mới:

u₁ = 2000.0,8 + 300 = 1900 lít

Sau ngày 2: u₂ = 1900.0,8 + 300 = 1820 lít

Vậy lượng dầu còn lại sau đúng 2 ngày vận hành là 1820 lít.