Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0\)nên \({u_{n + 1}} > {u_n}\)vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)tăng.

Chọn C

Xét dãy số \({u_n} = 2n - 3\)

\({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = 2n - 3\)là dãy số tăng.

Chọn B

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0\)với \(n \ge 1\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy giảm.

a) Ta có: \({u_1} = - 1;{u_2} = {u_1} + 3 = 2;{u_3} = {u_2} + 3 = 5;{u_4} = {u_3} + 3 = 8;\).

b) \({u_5} = {u_4} + 3 = 11\)

b) Từ giả thiết, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.\].

Cộng theo vế toàn bộ các đẵng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:

\({u_n} = - 1 + 3(n - 1) = 3n - 4.{\rm{ }}\)

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = 3n - 4\).

Xét \(101 = 3n - 4 \Rightarrow n = 35\).

Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

Với \(k\) là số nguyên dương, ta có:

\(\frac{1}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{(2k + 1) - (2k - 1)}}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{(2k - 1)}} - \frac{1}{{(2k + 1)}}} \right)\).

Khi đó: \({u_n} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) +  \ldots  + \left( {\frac{1}{{(2n - 1)}} - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right] = \frac{n}{{2n + 1}}\).

Vậy \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\), với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{2021}} = \frac{{2021}}{{2.2021 + 1}} = \frac{{2021}}{{4043}}\\{u_{2022}} = \frac{{2022}}{{2.2022 + 1}} = \frac{{2022}}{{4045}}\\{u_{2023}} = \frac{{2023}}{{2.2023 + 1}} = \frac{{2023}}{{4047}}.\\{u_{2024}} = \frac{{2024}}{{2.2024 + 1}} = \frac{{2024}}{{4049}}.\end{array}\)

a) Ta có \({u_3} = \frac{2}{3}\)

b) \({u_7} - {u_8} =  - \frac{1}{{56}}\)

c) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n(n + 1)}} > 0,\forall n \ge 1\).

Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

d) Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Nhận xét: \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{4^n}}} = \frac{{n + 1}}{{4n}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{4n}} < 1,\forall n \ge 1\).

Suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Ta có \( - 1 \le {u_n} \le 1\), suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.

Thế trực tiếp: \({u_6} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6}} \right] = 8\).

Giả sử \({u_n} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)\)\( \Leftrightarrow n = 250\).

Vậy \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số \(({u_n})\).

Ta có: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}};{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}\).

Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Do \({u_n} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \ldots + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n}\), suy ra \(1 < {u_n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là

\({A_5} = 2,5 \cdot {(1,035)^5} = 2,9692\) (tỉ đồng).

Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E.Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là \(1 \cdot 2 = 2\).

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là \(2 \cdot 2 = {2^2}\).

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là \({2^2} \cdot 2 = {2^3}\).

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là \({2^3} \cdot 2 = {2^4}\).

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng \(3 \cdot 12\) lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

\({2^{3 \cdot 12}} = {2^{36}} \approx 6,87 \cdot {10^{10}}(con).\)

Sau 48 giờ (bằng \(3 \cdot 48 = 144\) lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

\({2^{144}} \approx 2,23 \cdot {10^{43}}(con).\)