Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Số hạng \({u_{10}}\) là:
\(\frac{{19}}{{12}}\).
\(\frac{{33}}{{34}}\).
\(\frac{{199}}{{102}}\).
\(\frac{3}{4}\).
Chọn C
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n - 2}}\). Với \({u_k} = \frac{8}{{19}}\) là số hạng của dãy số thì \(k\) bằng:
8.
7.
9.
6.
Chọn B
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi công thức tổng quát \({u_n} = 4 + 3{n^2}\), \(n \in {\mathbb{N}^ * }\).Khi đó \({u_6}\) bằng:
\(112\).
\(652\).
\(22\).
\(503\).
Chọn A
Ta có: \({u_n} = 4 + 3{n^2}\)\( \Rightarrow {u_6} = 4 + {3.6^2} = 112\).
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số giảm?
\({u_n} = {n^2},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\).
\({u_n} = \sqrt {n + 1} ,\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\).
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\).
Chọn D
Xét dãy số \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\)
Có \({u_n} > {u_{n + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^n}}} > \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} \Leftrightarrow 2 > 1,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\)
Vậy dãy số \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\) là dãy số giảm.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây là dãy số tăng:
\({u_n} = {3^{ - n}} + 1\).
\({u_n} = \sin n\).
\({u_n} = 2n - 3\).
\({u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\).
Chọn C
Xét dãy số \({u_n} = 2n - 3\)
\({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = 2n - 3\)là dãy số tăng.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\sqrt n \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số bị chặn.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số giảm.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số tăng.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số không bị chặn.
Chọn D
Dãy số \[{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\sqrt n \] là dãy số không bị chặn vì \[\lim \left| {{u_n}} \right| = \lim \sqrt n = + \infty \].
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn?
\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\].
\[{u_n} = 2n + \sin n\].
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = {n^3} - 1\].
Chọn A
Xét đáp án A, ta có \[0 < {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\]\( < 2,\,\,\forall n \in \mathbb{N}\).
Xét các câu sau:
\[\left( 1 \right)\] Dãy \[1,2,3,...,n,...\] là dãy bị chặn.
\[\left( 2 \right)\] Dãy \[1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},...,\frac{1}{{2n - 1}},...\] là dãy bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Chỉ có \[\left( 2 \right)\] đúng.
Chỉ có \[\left( 1 \right)\] đúng.
Cả hai câu đều đúng.
Cả hai câu đều sai.
Chọn D
Dãy \[1,2,3,...,n,...\] là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn.
Dãy \[1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},...,\frac{1}{{2n - 1}},...\] là dãy bị chặn trên tại \[1\] và bị chặn dưới tại \[0\].
Do đó cả hai câu trên đều sai.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 1}}\]. Số \[\frac{{37}}{{13}}\] là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]?
\[8\].
\[6\].
\[5\].
\[7\].
Chọn B
Giả sử \[{u_n} = \frac{{37}}{{13}}\] \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), ta có: \(\frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 1}} = \frac{{37}}{{13}}\) \( \Leftrightarrow 13{n^2} - 74n - 24 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\\n = - \frac{4}{{13}}\end{array} \right.\).
Do \(n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(n = 6\).
Vậy số \[\frac{{37}}{{13}}\] là số hạng thứ 6 dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = 2n - 1\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số
Bị chặn trên bởi 1.
Giảm.
Bị chặn dưới bởi 2.
Tăng.
Chọn D
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0\)nên \({u_{n + 1}} > {u_n}\)vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)tăng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào sau đây là dãy số tăng:
\({u_n} = {3^{ - n}} + 1\).
\({u_n} = \sin n\).
\({u_n} = 2n - 3\).
\({u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\).
Chọn C
Xét dãy số \({u_n} = 2n - 3\)
\({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = 2n - 3\)là dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Năm số hạng đầu của dãy là:\(\frac{1}{2};\frac{1}{6};\frac{1}{{12}};\frac{1}{{20}};\frac{1}{{30}}\).
Là dãy số tăng.
Bị chặn trên bởi số \(M = \frac{1}{2}\).
Không bị chặn.
Chọn B
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0\)với \(n \ge 1\).
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy giảm.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = - 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3}\end{array}} \right.\) với \(n \ge 1\). Khi đó:
a) Bố số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là \( - 1;2;5;8;\)
b) Số hạng thứ năm của dãy là \(13\)
c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = 2n - 3\).
d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có: \({u_1} = - 1;{u_2} = {u_1} + 3 = 2;{u_3} = {u_2} + 3 = 5;{u_4} = {u_3} + 3 = 8;\).
b) \({u_5} = {u_4} + 3 = 11\)
b) Từ giả thiết, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.\].
Cộng theo vế toàn bộ các đẵng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:
\({u_n} = - 1 + 3(n - 1) = 3n - 4.{\rm{ }}\)
Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = 3n - 4\).
Xét \(101 = 3n - 4 \Rightarrow n = 35\).
Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \({u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + \ldots + \frac{1}{{(2n - 1) \cdot (2n + 1)}}\). Khi đó:
a) Số hạng thứ 2021 là \(\frac{{2021}}{{4040}}\)
b) Số hạng thứ 2022 là \(\frac{{2022}}{{4043}}\)
c) Số hạng thứ 2023 là \(\frac{{2023}}{{4047}}\)
b) Số hạng thứ 2024 là \(\frac{{2024}}{{4049}}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Với \(k\) là số nguyên dương, ta có:
\(\frac{1}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{(2k + 1) - (2k - 1)}}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{(2k - 1)}} - \frac{1}{{(2k + 1)}}} \right)\).
Khi đó: \({u_n} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{(2n - 1)}} - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right] = \frac{n}{{2n + 1}}\).
Vậy \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\), với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có:
\(\begin{array}{l}{u_{2021}} = \frac{{2021}}{{2.2021 + 1}} = \frac{{2021}}{{4043}}\\{u_{2022}} = \frac{{2022}}{{2.2022 + 1}} = \frac{{2022}}{{4045}}\\{u_{2023}} = \frac{{2023}}{{2.2023 + 1}} = \frac{{2023}}{{4047}}.\\{u_{2024}} = \frac{{2024}}{{2.2024 + 1}} = \frac{{2024}}{{4049}}.\end{array}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = 1 - \frac{1}{n}\). Khi đó:
a) Ta có \({u_3} = \frac{2}{3}\)
b) \({u_7} - {u_8} = \frac{1}{{56}}\)
c) \({u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{1}{{n(n + 1)}}\)
d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có \({u_3} = \frac{2}{3}\)
b) \({u_7} - {u_8} = - \frac{1}{{56}}\)
c) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n(n + 1)}} > 0,\forall n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
d) Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}\). Khi đó:
a) Ta có \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
b) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \ge 1\)
c) Ta có \({u_{2024}} < {u_{2023}}\)
d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Nhận xét: \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{4^n}}} = \frac{{n + 1}}{{4n}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{4n}} < 1,\forall n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {( - 1)^n}\).
Ta có \( - 1 \le {u_n} \le 1\), suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.
Cho dãy số \(({u_n})\)biết \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}} \right]\). Tìm số hạng \({u_6}\).
Thế trực tiếp: \({u_6} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^6}} \right] = 8\).
Cho dãy số \(({u_n})\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy?
Giả sử \({u_n} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2)\)\( \Leftrightarrow n = 250\).
Vậy \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số \(({u_n})\).
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Ta có: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}};{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}\).
Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Do \({u_n} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \ldots + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n}\), suy ra \(1 < {u_n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Nếu tỉ lệ lạm phát là \(3,5\% \) mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau \(n\) năm nữa được cho bởi công thức
\({A_n} = 2,5 \cdot {(1,035)^n}\)(tỉ đồng)
Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.
Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là
\({A_5} = 2,5 \cdot {(1,035)^5} = 2,9692\) (tỉ đồng).
Vi khuẩn E.Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E.Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E.Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E.Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E.Coli trong cơ thể?
Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E.Coli.
Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là \(1 \cdot 2 = 2\).
Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là \(2 \cdot 2 = {2^2}\).
Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là \({2^2} \cdot 2 = {2^3}\).
Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là \({2^3} \cdot 2 = {2^4}\).
Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng \(3 \cdot 12\) lần 20 phút) thì số vi khuẩn là
\({2^{3 \cdot 12}} = {2^{36}} \approx 6,87 \cdot {10^{10}}(con).\)
Sau 48 giờ (bằng \(3 \cdot 48 = 144\) lần 20 phút) thì số vi khuẩn là
\({2^{144}} \approx 2,23 \cdot {10^{43}}(con).\)
