Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)nào sau đây là dãy số tăng?
\({u_n} = {3^{ - n}} + 1\).
\({u_n} = \sin n\).
\({u_n} = 2n - 3\).
\({u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\).
Chọn C
ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2(n + 1) - 3} \right] - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0\).
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\]. Tìm mệnh đề đúng.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] chỉ bị chặn dưới.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] tăng.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] chỉ bị chặn trên.
Chọn C
Xét \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{n}{{n + 2}}\].
Với \[\forall n \ge 1\] \[ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\]. Vậy dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn.
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (\(a\) hằng số). Hỏi \({u_{n + 1}}\) là số hạng nào sau đây?
\({u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1}}\).
\({u_{n + 1}} = \frac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\).
Chọn B
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).
Cho dãy số 
. Năm số hạng đầu của dãy số là
\[4,\,5,\,6,\,7,\,8.\].
\[4,\,16,\,32,\,64,\,128.\].
\[4,\,6,\,9,\,13,\,18.\].
\[4,\,5,\,7,\,10,\,14.\]
Chọn D
Ta có.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)xác định bởi \({u_1} = 3;\;{u_{n + 1}} = {u_n} + n,\;\forall \,n \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị \({u_1} + {u_2} + {u_3}\)bằng
\(18\).
\(13\).
\(15\).
\(16\).
Chọn B
Ta có \({u_1} = 3\);
\[{u_2} = {u_1} + 1 = 3 + 1 = 4\];
\[{u_3} = {u_2} + 2 = 4 + 2 = 6\].
Suy ra \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 3 + 4 + 6 = 13.\).
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2;{u_2} = 3\\{u_{n + 2}} = 3{u_{n + 1}} - 2{u_n}\end{array} \right.\)với\(n \ge 1\). Khẳng định nào sau đây sai?
\({u_n} = {2^{n - 1}} + 1\).
\(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số tăng.
Năm số hạng đầu của dãy số là:\(2\), \(3\), \(5\), \(9\), \(17\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} + 5}}{3}\).
Chọn D
Từ công thức truy hồi ta có:\({u_1} = 2\);\({u_2} = 3\);\({u_3} = 5\);\({u_4} = 9\);\({u_5} = 17\)….
Xét:\({u_{n + 2}} = 3{u_{n + 1}} - 2{u_n}\)\( \Rightarrow {u_n} = \frac{{3{u_{n + 1}} - {u_{n + 2}}}}{2}\).
Vậy:\({u_1} = 2 = 1 + 1 = {2^0} + 1\).
\({u_2} = 3 = 2 + 1 = {2^1} + 1\).
\({u_3} = 5 = 4 + 1 = {2^2} + 1\).
\({u_4} = 9 = 8 + 1 = {2^3} + 1\).
\({u_5} = 17 = 16 + 1 = {2^4} + 1\)
………….
Vậy công thức tổng quát của dãy số là:\({u_n} = {2^{n - 1}} + 1\).
Qua đó ta thấy đáp án \({u_n} = \frac{{{n^2} + 5}}{3}\)sai.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]biết \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 3}}{{2{n^2} - 1}}\] với \[n \in {N^*}\]. Tìm số hạng \[{u_5}\].
\[{u_5} = \frac{7}{4}.\].
\[{u_5} = \frac{7}{9}.\].
\[{u_5} = \frac{{24}}{{51}}.\].
\[{u_5} = \frac{4}{7}.\]
Chọn D
\[{u_5} = \frac{{{5^2} + 3}}{{{{2.5}^2} - 1}} = \frac{{28}}{{49}} = \frac{4}{7}\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \left( {a - 5} \right)n + 5 - a,\forall n \in \mathbb{N}*\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số giảm khi và chỉ khi
\[a \le 5\].
\[a \ge 5\].
\[a < 5\].
\[a > 5\].
Chọn C
Xét \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {a - 5} \right)\left( {n + 1} \right) + 5 - a - \left[ {\left( {a - 5} \right)n + 5 - a} \right] = a - 5\].
Để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy giảm thì \[a - 5 < 0,\forall n \in \mathbb{N}* \Leftrightarrow a < 5,\forall n \in \mathbb{N}*\].
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào bị chặn?
\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}\).
\({u_n} = n + \frac{1}{n}\).
\({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \).
\({u_n} = {3.2^n}\).
Chọn A
Ta có \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}} \right| = \frac{1}{{2n + 1}} < \frac{1}{{2n}} \le \frac{1}{2}\) nên dãy \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}\) bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) được xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\end{array} \right..\) Số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
\({u_n} = {n^{n - 1}}.\)
\({u_n} = {2^n}.\)
\({u_n} = {2^{n + 1}}.\)
\({u_n} = 2.\)
Chọn B
Từ công thức
Xét đáp án A với A loại.
Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn.
Xét đáp án C với C loại.
Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \sin \frac{\pi }{{n + 1}}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số giảm.
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số tăng.
Số hạng thứ \[n + 1\] của dãy là \[{u_{n + 1}} = \sin \frac{\pi }{{n + 1}}\].
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số không bị chặn.
Chọn A
Ta thấy dãy \[\left( {\frac{\pi }{{n + 1}}} \right)\] là dãy số giảm và \[\frac{\pi }{{n + 1}} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right],\forall n \in \mathbb{N}*\].
Mặt khác hàm số \[y = \sin x\] đồng biến trên \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] nên \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số giảm và bị chặn.
Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn?
\[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
\[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = n + 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
\[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = - n\,\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
\[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = {n^2}\,\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
Chọn A
Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = \frac{n}{{n + 1}};\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Ta có \[0 < n < n + 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]\[ \Rightarrow 0 < \frac{n}{{n + 1}} < 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]nên \[0 < {u_n} < 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)bị chặn.
Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = n + 1;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]ta có \[{u_n} = n + 1 \ge 2\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]nên dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]bị chặn dưới.
Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = - n\,;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]ta có \[{u_n} = - n \le - 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]nên dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]bị chặn trên.
Xét dãy \[\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = {n^2}\,;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]ta có \[{u_n} = {n^2} \ge 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]nên dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]bị chặn dưới.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Khi đó:
a) Số hạng đầu tiên của dãy số là \(1\)
b) Số hạng \({u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5}\)
c) Số hạng \({u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}\)
d) Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 252 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) b) c) Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}\).
d) Xét \(\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250\).
Vậy \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}\). Khi đó:
a) Số hạng \({u_1} = \frac{1}{2}\)
b) Số hạng \({u_3} = \frac{3}{4}\)
c) \(\frac{{10}}{{11}}\) là số hạng thứ 11 của dãy số
d) \({u_{2023}} + {u_{2024}} > 2\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}\\\frac{1}{{2.3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{3.4}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\...................\\\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\end{array} \right.\)
Suy ra: \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}\)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}.\)
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\).
a) Số hạng \({u_1} = \frac{1}{2}\)
b) Số hạng \({u_3} = \frac{3}{4}\)
c) \(\frac{{10}}{{11}}\) là số hạng thứ 10 của dãy số
d) \({u_{2023}} + {u_{2024}} < 2\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = n + \frac{1}{n}\). Khi đó:
a) \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
c) \({u_n} \ge 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
d) Dãy số đã cho bị chặn trên
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Với mọi số nguyên dương \(n\), ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{n + 1}} - {u_n}}&{ = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)}\\{}&{ = 1 - \frac{1}{{(n + 1)n}} = \frac{{(n + 1)n - 1}}{{(n + 1)n}} > 0({\rm{v\`i }}(n + 1)n > 1,\forall n \ge 1).}\end{array}\)
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vì vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(n,\frac{1}{n}\), ta được:
\(n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2{\rm{ hay }}{u_n} \ge 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vì vậy dãy số đã cho bị chặn dưới.
Bà Hoa gửi vào một ngân hàng số tiền 200 triệu đồng với lãi suất \(5\% \) một năm theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Số tiền (triệu đồng) của bà Hoa sau \(n\) tháng được tính theo công thức \({T_n} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^n}\). Khi đó:
a) Sau 1 tháng, số tiền bà Hoa nhận được là khoảng \(200,83\) (triệu đồng)
b) Sau 2 tháng, số tiền bà nhận được là khoảng \(201,67\) (triệu đồng);
c) Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là khoảng \(211,99\) (triệu đồng).
d) Sau 17 tháng, số tiền bà nhận được là khoảng \(215,65\) (triệu đồng).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Sau 1 tháng, số tiền bà Hoa nhận được là: \({T_1} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^1} \approx 200,83\) (triệu đồng)
Sau 2 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_2} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^2} \approx 201,67\) (triệu đồng);
Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211,99\) (triệu đồng).
Sau 17 tháng, số tiền bà nhận được là: \({T_{17}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{17}} \approx 214,65\) (triệu đồng).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 2n - 1\).
Dãy số bị chặn dưới vì \({u_n} = 2n - 1 > - 1,\forall n \in \mathbb{N}*\)
Dãy số không bị chặn trên
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\end{array} \right.\). Tìm số hạng \({u_{50}}\).
Từ giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = {u_1} + 2\\{u_3} = {u_2} + 2\\...\\{u_{50}} = {u_{49}} + 2\end{array}\)
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
\({u_{50}} = 1 + 2.49 = 99\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3{u_n} + 10\) với mọi \(n \ge 1.\)
Chứng minh rằng: un=2.3n−5 ∀n≥1.
Ta sẽ chứng minh \({u_n} = {2.3^n} - 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1\), ta có: \({u_1} = {2.3^1} - 1 = 1\) (đúng). Vậy \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = 1.\)
Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\left( {k \in {N^*}} \right)\). Có nghĩa là ta có: \({u_k} = {2.3^k} - 5{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1.\) Có nghĩa ta phải chứng minh:
\({u_{n + 1}} = {2.3^{k + 1}} - 5.\)
Từ hệ thức xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và từ (2) ta có:
\({u_{k + 1}} = 3{u_k} + 10 = 3.\left( {{{2.3}^k} - 5} \right) + 10 = {2.3^k}.3 - 15 + 10 = {2.3^{k + 1}} - 5\) (đpcm).
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
Lời giải
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{ - 1}}{{(n + 1)(n + 2)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}{\rm{*}}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm
Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} - 3}}\) là một dãy số bị chặn.
Công thức \({u_n}\) được viết lại: un=12+522n2−3 1
Dễ thấy \(\forall n \ge 1\) ta có:\( - 1 \le \frac{1}{{2{n^2} - 3}} \le \frac{1}{5}.\) Do đó từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \( - 2 \le {u_n} \le 1{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 1} \right)\)
Từ đó suy ra\(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn.
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất \(6\% \) một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau \(n\) tháng được cho bởi công thức \({A_n} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^n}{\rm{. }}\)
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.
a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: \({A_1} = 100{\left( {1 + \frac{{0.06}}{{12}}} \right)^1} = 100.5\) (triệu đồng)
Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: \({A_2} = 100{\left( {1 + \frac{{0.06}}{{12}}} \right)^2} = 101.0025\) (triệu đồng)
b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: \({A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0.06}}{{12}}} \right)^{12}} = 106.1678\) (triệu đồng)
