20 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 2}} - {\rm{3n}}\] với \[n \ge 1\]. Số hạng đầu u1 bằng:
1.
−1.
−4.
0.
B
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2}} - {\rm{3}}{\rm{.1 = }} - {\rm{1}}\].
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 1}}}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} - {\rm{9n}}}\end{array}} \right.\)với \[{\rm{n}} \ge 1\]. Ba số hạng đầu của dãy số là:
1; −8; −107.
1; 1; −8.
1; 1; 8 .
1; 8; 107.
B
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{9}}{\rm{.1 = 10}}{\rm{.1}} - {\rm{9}}{\rm{.1 = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {\rm{9}}{\rm{.2 = 10}}{\rm{.1}} - {\rm{9}}{\rm{.2 = }} - {\rm{8}}\]
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}\]. Dãy số (un) là:
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng không giảm.
Dãy số vừa tăng vừa giảm.
A
Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 2 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}}\]
Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n + 1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}\]
\[{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n + 3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}\]
\[{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{3n + 3}}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ > 0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\].
Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Cho dãy số (un), biết \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}\]. Dãy số (un) bị chặn trên bởi?
0.
1.
\[\frac{1}{3}\].
\(\frac{1}{2}\).
B
Ta có:
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{3n + 1}}} \right) - {\rm{2}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}}\].
\[{\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {\rm{1}} - \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}} < 1\].
Vậy (un) bị chặn trên bởi 1.
Cho dãy số 2; 5; 10; 17; 26. Dãy số đã cho được xác định bằng cách
Liệt kê các dãy số hạng của dãy số.
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
Cho công thức số hạng tổng quát của dãy số.
Cho bằng phương pháp truy hồi.
A
Liệt kê các số hạng của dãy số.
Cho dãy số (un) biết un = n2 + 5. Dãy số đã cho là
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số bị chặn.
Dãy số bị chặn trên.
A
Ta có un + 1 - un = (n + 1)2 + 5 – (n2 + 5) = 2n + 1 > 0, ∀n ≥ 1. Suy ra dãy số tăng.
Cho dãy số vô hạn 2; 4; 6; ...; 2n;... . Mệnh đề đúng là
Số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 2n.
Số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 6.
Số hạng đầu là 2, số hạng tổng quát là 2n.
Số hạng đầu là 2, số hạng tổng quát là 2(n – 1).
C
Nhìn vào dãy số ta thấy u1 = 2.1 = 2 là số hạng đầu và un = 2n là số hạng tổng quát.
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5; 10; 15; 20; 25; … Số hạng tổng quát của dãy số này là:
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\].
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5n}}\].
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5 + n}}\].
\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5}}{\rm{.n + 1}}\].
B
\[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 5 = 5}}{\rm{.1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = 10 = 5}}{\rm{.2; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = 15 = 5}}{\rm{.3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = 20 = 5}}{\rm{.4; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = 25 = 5}}{\rm{.5}}\]
Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5n}}\].
Bà Hoa gửi vào một ngân hàng số tiền 200 triệu đồng với lãi suất 5% một năm theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Số tiền (triệu đồng) của bà Hoa sau n tháng được tính theo công thức \({T_n} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^n}\). Sau 14 tháng, số tiền bà Hoa nhận được khoảng
200,83 triệu đồng.
201,67 triệu đồng.
211,99 triệu đồng.
215,65 triệu đồng.
C
Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là \({T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0,05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211,99\) triệu đồng.
Chi Mai gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo hình thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng)?
106 triệu đồng.
107 triệu đồng.
113 triệu đồng.
120 triệu đồng.
D
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 1 tháng là 100 + 100.0,5% + 6 = 106,5 triệu đồng.
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là 106,5 + 106,5.0,5% + 6 = 113,0325 triệu đồng.
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
113,0325 + 113,0325.0,5% + 6 = 119,5976625 triệu đồng ≈ 120 triệu đồng.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = 1 - \frac{1}{n}\). Khi đó
a) \({u_3} = \frac{2}{3}\).
b) \({u_7} - {u_8} = \frac{1}{{56}}\).
c) \({u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\).
d) Dãy số (un) là dãy số tăng.
a) Ta có \({u_3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
b) \({u_7} - {u_8} = - \frac{1}{{56}}\).
c) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \ge 1\).
d) Theo câu c, suy ra un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho dãy số (un), biết \({u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\).
a) \({u_1} = \frac{1}{3}\).
b) \({u_3} = \frac{3}{7}\).
c) \(\frac{{15}}{{31}}\) là số hạng thứ 15 của dãy số.
d) u2024 + u2025 > 1.
a) Ta có \({u_1} = \frac{1}{{1.3}} = \frac{1}{3}\).
b) Ta có \({u_3} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{7}} \right) = \frac{3}{7}\).
c) Ta có \({u_n} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{n}{{2n + 1}}\).
Theo đề ta có \(\frac{{15}}{{31}} = \frac{n}{{2n + 1}}\)Û 15(2n + 1) = 31n Û n = 15.
Vậy \(\frac{{15}}{{31}}\) là số hạng thứ 15 của dãy số.
d) Ta có u2024 + u2025 \( < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho dãy số (un) có tổng n số hạng đầu được tính bởi công thức \({S_n} = {n^2} - \frac{3}{2}n\).
a) Ta có \({S_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = 1\).
b) Số hạng thứ hai của dãy số là u2 = 1.
c) Số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\).
d) Dãy số (un) là dãy tăng.
a) Ta có \({S_1} = {1^2} - \frac{3}{2}.1 = - \frac{1}{2}\) và \({S_2} = {2^2} - \frac{3}{2}.2 = 1\).
b) Với n ³ 2 thì un = Sn – Sn – 1. Do đó u2 = S2 – S1 = \(\frac{3}{2}\).
c) Ta có \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {n^2} - \frac{3}{2}n - {\left( {n - 1} \right)^2} + \frac{3}{2}\left( {n - 1} \right)\) \( = {n^2} - \frac{3}{2}n - {n^2} + 2n - 1 + \frac{3}{2}n - \frac{3}{2}\) \( = - \frac{5}{2} + 2n,\forall n \ge 2\).
d) Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{5}{2} + 2\left( {n + 1} \right) + \frac{5}{2} - 2n = 2 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó (un) là dãy tăng.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}\). Khi đó
a) \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
b) \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \ge 1\).
c) u2024 < u2023.
d) Dãy số (un) là dãy số tăng.
a) \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
b) Có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{4^n}}} = \frac{{n + 1}}{{4n}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{{4n}} < 1,\forall n \ge 1\).
c) Theo câu b, suy ra un + 1 < un, ∀n Î ℕ*. Do đó u2024 < u2023, ∀n Î ℕ*.
d) Suy ra dãy số (un) là dãy số giảm.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = n + \frac{1}{n}\). Khi đó:
a) un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.
b) Dãy số (un) là dãy số tăng.
c) un ³ 1, ∀n Î ℕ*.
d) Dãy số đã cho bị chặn trên.
a) Với mọi số nguyên dương n, ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = 1 - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\).
Do đó un + 1 > un, ∀n Î ℕ*.
b) Theo câu a, ta có dãy số (un) là dãy số tăng.
c) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương n và \(\frac{1}{n}\) ta được:
\(n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\frac{1}{n}} = 2\) hay un ³ 2, ∀n Î ℕ*.
d) Theo câu c, dãy số đã cho bị chặn dưới.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho dãy số (un) có un = −n2 + n + 1. Số −19 là số hạng thứ mấy của dãy?
Có −n2 + n + 1 = −19 Û −n2 + n + 20 = 0 Û\(\left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\end{array} \right.\).
Do n Î ℕ* nên n = 5.
Do đó −19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Trả lời: 5.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\). Hãy tính số hạng thứ 6 của dãy số (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ta có \({u_6} = \frac{{2.6 + 1}}{{{6^2}}} = \frac{{13}}{{36}} \approx 0,4\).
Trả lời: 0,4.
Cho dãy số (un), biết \({u_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\). Tính tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số trên.
Ta có u1 = −1; u2 = −1; u3 = 0.
Do đó tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là −2.
Trả lời: −2.
Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 7\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.\). Tính u5.
Ta có u2 = 2.7 + 3 = 17; u3 = 2.17 + 3 = 37; u4 = 2.37 + 3 = 77; u5 = 2.77 + 3 = 157.
Trả lời: 157.
Số hạng tổng quát un theo n của dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n},\forall n \ge 1\end{array} \right.\) có dạng un = an, với a là số tự nhiên. Xác định giá trị của a.
Từ công thức un+1 = 2un, ∀n ³ 1 suy ra \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2,\forall n \ge 1\). Từ đó ta có:
\(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2;\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = 2;\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = 2;...;\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 2\).
Nhân theo vế tất cả các đẳng thức trên ta được: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_1}}} = {2^{n - 1}}\) \[ \Leftrightarrow {u_n} = {u_1}{.2^{n - 1}}\]
Û un = 2.2n – 1 Û un = 2n. Suy ra a = 2.
Trả lời: 2.
