Bài tập Xét tính bị chặn của dãy số lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho dãy số (un): un = n. Khẳng định nào sau đây đúng?
un bị chặn;
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn trên và không bị chặn dưới;
un giảm.
Đáp án đúng là: B
Ta có: un = n ≥ 1 ∀ n ∈ ℕ* và khi n → +∞ thì un → +∞.
Vậy un bị chặn dưới và không bị chặn trên.
Cho dãy số hữu hạn (un): un = n2 (n ∈ ℕ*, n ≤ 9). Nhận xét nào sau đây về tính bị chặn của dãy số un là đúng?
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn;
un là bị chặn dưới.
un bị chặn trên và không bị chặn dưới;
Đáp án đúng là: B
Dãy số (un) là dãy số hữu hạn với n ∈ [1; 9].
⟹ u1 ≤ un ≤ u9 \(\Leftrightarrow \) 1 ≤ un ≤ 81.
Vậy dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un): un = 4 – n. Khẳng định nào sau đây đúng?
(un) bị chặn;
(un) bị chặn dưới và không bị chặn trên;
(un) bị chặn trên và không bị chặn dưới;
(un) tăng.
Đáp án đúng là: C
Ta có: un = 4 – n ≤ 3 ∀ n ∈ ℕ* và khi n → +∞ thì un → –∞.
Vậy un bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Cho dãy số (un): un = \(\frac{2}{n}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
(un) bị chặn;
(un) bị chặn trên.
(un) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
(un) giảm.
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(0 < {u_n} = \frac{2}{n} \le 2\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Cho dãy số (un): un = sin(n). Khẳng định nào sau đây đúng?
un bị chặn;
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn trên và không bị chặn dưới;
un tăng.
Đáp án đúng là: A
Ta có: -1 ≤ un = sin(n) ≤ 1, ∀ n ∈ℕ*.
Vậy un là dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un): un = \(\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
un bị chặn dưới;
un bị chặn trên;
un bị chặn dưới và không bị chặn trên;
un bị chặn.
Đáp án đúng là: D
Ta có: un = \(\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}\)> 0 ∀ n ∈ℕ*⟹ un bị chặn dưới.
Ta có: un = \(\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}\)=\(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{{4n + 2}}\)
Mặt khác: \(\frac{1}{{4n + 2}} \le \frac{1}{6} \Rightarrow {u_n} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)
⟹ un bị chặn trên.
Vậy un bị chặn.
Cho dãy số (un): un = \(\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}\). Giá trị các số hạng của un nằm trong khoảng nào sau đây?
(0; 4);
[0; +∞);
(0; +∞);
(0; 4].
Đáp án đúng là: A
Ta có: un = \(\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}\)> 0 ∀ n ∈ℕ*⟹ un bị chặn dưới.
Ta có: un = \(\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}\)=\(4 - \frac{2}{{n + 1}}\)< 4 ⟹ un bị chặn trên.
Vậy un bị chặn: 0 < un < 4.
Dãy số un nào dưới đây bị chặn?
un = n;
un = \(\frac{1}{n}\);
un = 2 – n;
un = \(\sqrt n \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(0 < {u_n} = \frac{1}{n} \le 1\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số un = \(\frac{1}{n}\) bị chặn.
Dãy số nào dưới đây bị chặn?
un = n2;
un = 2cos(n);
un = 2 – n3;
un = \(\sqrt {n + 4} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: -1 ≤ un = 2cos(n) ≤ 1 ∀ n ∈ℕ*.
Suy ra un = 2cos(n) là dãy số bị chặn.
Cho dãy số được cho bởi công thức tổng quát: un = 2n2 – a.n (a > 5). Biết dãy số trên có giá trị chặn dưới là -5. Giá trị của a nằm trong khoảng nào sau đây?
(5; 6);
(0; 6);
(12; +∞);
(6; +∞).
Đáp án đúng là: D
Khi n → +∞ thì un → +∞ ⟹ Dãy không bị chặn trên.
Xét phương trình bậc 2 có dạng:
y = 2x2 – ax (x ≥ 1) (1).
Phương trình (1) có đạt cực tiểu tại x = \(\frac{{ - \,( - \,a)}}{{2.2}} = \frac{a}{4}\)
Giá trị cực tiểu của (1) là: ymin = \(2.{\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - a.\frac{a}{4} = \frac{{ - \,{a^2}}}{8}\).
\(\Leftrightarrow \) y ≥ \(\frac{{ - \,{a^2}}}{8}\)⟹ un ≥ \(\frac{{ - \,{a^2}}}{8}\).
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(\frac{{ - \,{a^2}}}{8}\)= – 5 ⟹ a2 = 40.
a > 5 suy ra a = \(2\sqrt {10} \).
Trong các dãy số (un) cho bởi công thức số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
un = 5 – 2n.
\({u_n} = \frac{1}{n}\).
un = n2 + 1.
un = sinn.
Đáp án đúng là: C
Xét un = n2 + 1.
Do n ∈ ℕ* => n ≥ 1 => n2 + 1 ≥ 2.
Do đó dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Khi n tiến ra vô cùng thì n2 + 1 cũng tiến ra vô cùng nên không bị chặn trên.
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về tính bị chặn của dãy số (un) với \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\).
Dãy số chỉ bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Dãy số chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Dãy số không bị chặn.
Dãy số bị chặn.
Đáp án đúng là: D
a có \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\). Vì n ∈ ℕ* nên n > 0 và n < n + 1.
\( \Rightarrow 0 < \frac{n}{{n + 1}} < 1\quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Do đó dãy số (un) vừa bị chặn dưới bởi 0, vừa bị chặn trên bởi 1 nên nó là dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 2}}\). Chọn phát biểu đúng.
Dãy bị chặn.
u1 = 3.
Dãy bị chặn trên không bị chặn dưới.
Dãy bị chặn dưới không bị chặn trên.
Đáp án đúng là: A
\({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 5}}{{n + 2}} = 2 - \frac{5}{{n + 2}}\).
Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 2 > 0 \Rightarrow \frac{5}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow 2 - \frac{5}{{n + 2}} < 2\).
Do đó un < 2 với mọi n ∈ ℕ*.
Lại có n ≥ 1 nên \( - \frac{5}{{n + 2}} \ge - \frac{5}{3} \Rightarrow {u_n} \ge \frac{1}{3}\). Do đó (un) bị chặn.
Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết số hạng tổng quát là \({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng.
Dãy số bị chặn dưới bởi −1 và bị chặn trên bởi 1.
Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi \( - \frac{1}{3}\).
Dãy số bị chặn trong đoạn \(\left[ { - \frac{1}{3};\frac{1}{6}} \right]\).
Dãy số không bị chặn vì có yếu tố đan dấu (−1)n.
Đáp án đúng là: C
Nếu n chẵn: \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + 2}}\). Vì \(n \ge 2 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 6 \Rightarrow 0 < {u_n} \le \frac{1}{6}\).
Nếu n lẻ: \({u_n} = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Vì \(n \ge 1 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 3 \Rightarrow - \frac{1}{3} \le {u_n} < 0\).
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có: \( - \frac{1}{3} \le {u_n} \le \frac{1}{6},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Dãy số bị chặn trong đoạn này.
Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào sau đây mô tả đúng nhất về tính bị chặn của dãy số này?
Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\).
Dãy số không bị chặn trên vì khi \(n\) lớn vô hạn thì tổng sẽ lớn vô hạn.
Dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\) và bị chặn trên bởi 1.
Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi \(\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\).
\({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)
Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 0 < \frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).
Vậy dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\) và bị chặn trên bởi \(1\).
Cho các dãy số (un) có công thức số hạng tổng quát dưới đây. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai?
Dãy số un = cosn + 2 là một dãy số bị chặn.
Dãy số un = 3n chỉ bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Dãy số \({u_n} = \frac{{ - n - 1}}{n}\) bị chặn trên bởi giá trị −1.
Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới thì được gọi là dãy số bị chặn.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì −1 ≤ cosn ≤ 1 nên 1 ≤ cosn + 2 ≤ 3 nên dãy số bị chặn.
b) Sai. Do n ∈ ℕ* nên 3n ≥ 3, dãy số bị chặn dưới bởi 3 và tăng lên vô hạn nên không bị chặn trên.
c) Đúng. Ta có \({u_n} = \frac{{ - n - 1}}{n} = - 1 - \frac{1}{n}\). Vì \(\frac{1}{n} > 0 \Rightarrow - 1 - \frac{1}{n} < - 1\). Do đó dãy số này bị chặn trên bởi −1.
d) Đúng. Đây chính là định nghĩa về tính bị chặn của dãy số.
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{{4n + 1}}{{n + 1}}\).
Tất cả các số hạng của dãy số đều dương với mọi n ∈ ℕ*.
Dãy số đã cho là một dãy số giảm.
Số hạng đầu tiên \({u_1} = \frac{5}{2}\) chính là giá trị chặn dưới nhỏ nhất của dãy số.
Dãy số bị chặn trên bởi 4.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì n ∈ ℕ* nên cả tử và mẫu đều dương.
b) Sai. Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 2}} - \frac{{4n + 1}}{{n + 1}} = \frac{3}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\), đây là dãy số tăng.
c) Đúng. Vì là dãy số tăng nên số hạng đầu tiên \({u_1} = \frac{{4 \cdot 1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{5}{2}\) là giá trị nhỏ nhất, tức là giá trị chặn dưới của dãy số là \(\frac{5}{2}\).
d) Đúng. Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 4 - \frac{3}{{n + 1}} < 4\). Dãy số bị chặn trên bởi 4.
Xét tính bị chặn của dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2\sin n + 3\cos n}}{4}\).
Giá trị lượng giác sinn và cosn luôn bị chặn trong đoạn [−1; 1].
(2sinn + 3cosn)2 ≤ 13.
Dãy số (un) đã cho bị chặn trên bởi giá trị \(\frac{{\sqrt {13} }}{4}\).
Giá trị chặn dưới lớn nhất của dãy số này là \( - \frac{5}{4}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. −1 ≤ sinn ≤ 1; −1 ≤ cosn ≤ 1.
b) Đúng. Theo BĐT Bunhiacốpki:
\({\left( {2\sin n + 3\cos n} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}n + {{\cos }^2}n} \right) = 13 \cdot 1 = 13\).
c) Đúng. Từ ý b suy ra \( - \sqrt {13} \le 2\sin n + 3\cos n \le \sqrt {13} \Rightarrow - \frac{{\sqrt {13} }}{4} \le {u_n} \le \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).
d) Sai. Theo câu c, giá trị chặn dưới lớn nhất của dãy số này là \( - \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).
Xét tính bị chặn của dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = \sqrt {n + 2} - \sqrt n \).
Số hạng tổng quát un luôn nhận giá trị dương với mọi n ∈ ℕ*, do đó dãy số bị chặn dưới bởi 0.
Có \({u_n} = \frac{2}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }}\).
Dãy số không bị chặn trên.
Giá trị chặn trên lớn nhất của dãy số đạt được tại số hạng đầu tiên \({u_1} = \sqrt 3 - 1\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì \(n + 2 > n \Rightarrow \sqrt {n + 2} > \sqrt n \Rightarrow {u_n} > 0\).
b) Đúng. \({u_n} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }} = \frac{2}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }}\).
c) Sai. Khi mẫu số lớn vô hạn thì dãy số un giảm dần về 0, điều này chứng tỏ un luôn nhỏ hơn số hạng đầu tiên u1. Dãy số có bị chặn trên.
d) Đúng. Do mẫu số tăng dần nên phân số un giảm dần (dãy giảm). Vậy giá trị chặn trênlớn nhất đạt được tại \({u_1} = \sqrt 3 - 1\).
Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức tổng quát: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n!}}\)
Với n = 1 và n = 2, ta tính được các số hạng tương ứng là u1 = 2 và \({u_2} = \frac{5}{2}\).
Dãy số này nhận giá trị dương với mọi n ∈ ℕ* nên bị chặn dưới bởi 0.
Kể từ số hạng thứ 3 trở đi (n ≥ 3), đây là một dãy số tăng.
Dãy số đã cho là một dãy số bị chặn.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \({u_1} = \frac{{{1^2} + 1}}{{1!}} = 2\); \({u_2} = \frac{{{2^2} + 1}}{{2!}} = \frac{5}{2}\).
b) Đúng. Tử và mẫu đều dương với mọi \(n \ge 1\).
c) Sai. Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}}\).
Với n ≥ 2, ta dễ thấy tử số luôn nhỏ hơn mẫu số nên \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\).
Đây là dãy số giảm kể từ số hạng thứ 2 trở đi chứ không phải dãy tăng.
d) Đúng. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi giá trị lớn nhất trong các số hạng (ở đây là u2 = 2,5). Do đó dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\). Biết rằng (un) là một dãy tăng và bị chặn dưới. Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số này.
Đáp án: 1
Vì dãy (un) là một dãy tăng và bị chặn dưới nên số hạng nhỏ nhất của dãy là \({u_1} = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{1 + 1}} = 1\)
Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{{n^2} + 4}}{n}\). Gọi um là số hạng có giá trị nhỏ nhất của dãy số. Tìm chỉ số m của số hạng đó.
Đáp án: 2
\({u_n} = n + \frac{4}{n}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(n\) và \(\frac{4}{n}\):
\({u_n} = n + \frac{4}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{4}{n}} = 2 \cdot 2 = 4\). Dấu “=” xảy ra khi n = 2 ∈ ℕ*.
Do đó u2 = 4 => m = 2.
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} + 5n + 2}}{{{n^2} + 1}}\). Biết rằng dãy số này bị chặn trên và giá trị lớn nhất của dãy số là tại số hạng uk. Tính giá trị của biểu thức P = 2uk.
Đáp án: 9
\({u_n} = \frac{{2({n^2} + 1) + 5n}}{{{n^2} + 1}} = 2 + \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}}\).
Ta có n2 + 1 ≥ 2n \( \Rightarrow \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{5n}}{{2n}} = 2,5\).
Suy ra un ≤ 2 + 2,5 = 4,5.
Dấu “=” xảy ra khi n = 1 ∈ ℕ*.
Vậy giá trị lớn nhất của dãy số là u1 = 4,5.
Do đó P = 9.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{10n}}{{{n^2} + 9}}\). Dãy số này bị chặn trên bởi M. Tìm giá trị của 3M.
Đáp án: 5
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số: \({n^2} + 9 \ge 2\sqrt {{n^2} \cdot 9} = 6n\).
\( \Rightarrow {u_n} = \frac{{10n}}{{{n^2} + 9}} \le \frac{{10n}}{{6n}} = \frac{5}{3}\). Dấu “=” xảy ra khi n = 3 ∈ ℕ*.
Suy ra \(M = \frac{5}{3} \Rightarrow 3M = 5\).
Cho bốn dãy số (un), (vn), (xn), (yn) có công thức số hạng tổng quát lần lượt là:
\({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}};\quad {v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n};\quad {x_n} = \sin (n) + \cos (n);\quad {y_n} = {( - 2)^n}\).
Trong bốn dãy số đã cho, có bao nhiêu dãy số là dãy số bị chặn?
Đáp án: 2
Xét dãy số \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\):
Ta có: \({u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\).
Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n \ge 1 \Rightarrow 0 < \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow 2 - \frac{3}{2} \le 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Rightarrow 0,5 \le {u_n} < 2\).
Dãy số vừa bị chặn dưới bởi 0,5, vừa bị chặn trên bởi \(2\) nên \(({u_n})\) là dãy số bị chặn.
Xét dãy số \({v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n} = n + \frac{1}{n}\):
Vì n ∈ ℕ* => n ≥ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \({v_n} = n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2\).
Suy ra dãy số bị chặn dưới bởi 2.
Tuy nhiên, khi n tiến ra vô cùng, biểu thức vn cũng tiến ra vô hạn, do đó dãy số không bị chặn trên.
Vì không bị chặn trên nên (vn) không phải là dãy số bị chặn.
Xét dãy số \({x_n} = \sin (n) + \cos (n)\):
\({x_n} = \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le {x_n} \le \sqrt 2 \) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên nên (xn) là dãy số bị chặn.
Xét dãy số yn = (−2)n. Đây là dãy số đan dấu
Dãy số này không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới.
Do đó, (yn) không phải là dãy số bị chặn.
Vậy có tất cả 2 dãy số bị chặn.
