Bài tập Xét tính bị chặn của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét u_n = n² + 1.

Do n ∈ ℕ^* => n ≥ 1 => n² + 1 ≥ 2.

Do đó dãy số bị chặn dưới bởi 2.

Khi n tiến ra vô cùng thì n² + 1 cũng tiến ra vô cùng nên không bị chặn trên.

Đáp án đúng là: D

a có \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\). Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 và n < n + 1.

\( \Rightarrow 0 < \frac{n}{{n + 1}} < 1\quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Do đó dãy số (u_n) vừa bị chặn dưới bởi 0, vừa bị chặn trên bởi 1 nên nó là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: A

\({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 5}}{{n + 2}} = 2 - \frac{5}{{n + 2}}\).

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 2 > 0 \Rightarrow \frac{5}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow 2 - \frac{5}{{n + 2}} < 2\).

Do đó u_n < 2 với mọi n ∈ ℕ^*.

Lại có n ≥ 1 nên \( - \frac{5}{{n + 2}} \ge - \frac{5}{3} \Rightarrow {u_n} \ge \frac{1}{3}\). Do đó (u_n) bị chặn.

Đáp án đúng là: C

Nếu n chẵn: \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + 2}}\). Vì \(n \ge 2 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 6 \Rightarrow 0 < {u_n} \le \frac{1}{6}\).

Nếu n lẻ: \({u_n} = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Vì \(n \ge 1 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 3 \Rightarrow - \frac{1}{3} \le {u_n} < 0\).

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có: \( - \frac{1}{3} \le {u_n} \le \frac{1}{6},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Dãy số bị chặn trong đoạn này.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\).

\({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 0 < \frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\) và bị chặn trên bởi \(1\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì −1 ≤ cosn ≤ 1 nên 1 ≤ cosn + 2 ≤ 3 nên dãy số bị chặn.

b) Sai. Do n ∈ ℕ^* nên 3ⁿ ≥ 3, dãy số bị chặn dưới bởi 3 và tăng lên vô hạn nên không bị chặn trên.

c) Đúng. Ta có \({u_n} = \frac{{ - n - 1}}{n} = - 1 - \frac{1}{n}\). Vì \(\frac{1}{n} > 0 \Rightarrow - 1 - \frac{1}{n} < - 1\). Do đó dãy số này bị chặn trên bởi −1.

d) Đúng. Đây chính là định nghĩa về tính bị chặn của dãy số.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì n ∈ ℕ^* nên cả tử và mẫu đều dương.

b) Sai. Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 2}} - \frac{{4n + 1}}{{n + 1}} = \frac{3}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\), đây là dãy số tăng.

c) Đúng. Vì là dãy số tăng nên số hạng đầu tiên \({u_1} = \frac{{4 \cdot 1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{5}{2}\) là giá trị nhỏ nhất, tức là giá trị chặn dưới của dãy số là \(\frac{5}{2}\).

d) Đúng. Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 4 - \frac{3}{{n + 1}} < 4\). Dãy số bị chặn trên bởi 4.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. −1 ≤ sinn ≤ 1; −1 ≤ cosn ≤ 1.

b) Đúng. Theo BĐT Bunhiacốpki:

\({\left( {2\sin n + 3\cos n} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}n + {{\cos }^2}n} \right) = 13 \cdot 1 = 13\).

c) Đúng. Từ ý b suy ra \( - \sqrt {13} \le 2\sin n + 3\cos n \le \sqrt {13} \Rightarrow - \frac{{\sqrt {13} }}{4} \le {u_n} \le \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).

d) Sai. Theo câu c, giá trị chặn dưới lớn nhất của dãy số này là \( - \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì \(n + 2 > n \Rightarrow \sqrt {n + 2} > \sqrt n \Rightarrow {u_n} > 0\).

b) Đúng. \({u_n} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }} = \frac{2}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }}\).

c) Sai. Khi mẫu số lớn vô hạn thì dãy số u_n giảm dần về 0, điều này chứng tỏ u_n luôn nhỏ hơn số hạng đầu tiên u₁. Dãy số có bị chặn trên.

d) Đúng. Do mẫu số tăng dần nên phân số u_n giảm dần (dãy giảm). Vậy giá trị chặn trênlớn nhất đạt được tại \({u_1} = \sqrt 3 - 1\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. \({u_1} = \frac{{{1^2} + 1}}{{1!}} = 2\); \({u_2} = \frac{{{2^2} + 1}}{{2!}} = \frac{5}{2}\).

b) Đúng. Tử và mẫu đều dương với mọi \(n \ge 1\).

c) Sai. Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}}\).

Với n ≥ 2, ta dễ thấy tử số luôn nhỏ hơn mẫu số nên \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\).

Đây là dãy số giảm kể từ số hạng thứ 2 trở đi chứ không phải dãy tăng.

d) Đúng. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi giá trị lớn nhất trong các số hạng (ở đây là u₂ = 2,5). Do đó dãy số bị chặn.

Đáp án: 1

Vì dãy (u_n) là một dãy tăng và bị chặn dưới nên số hạng nhỏ nhất của dãy là \({u_1} = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{1 + 1}} = 1\)

Đáp án: 2

\({u_n} = n + \frac{4}{n}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(n\) và \(\frac{4}{n}\):

\({u_n} = n + \frac{4}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{4}{n}} = 2 \cdot 2 = 4\). Dấu “=” xảy ra khi n = 2 ∈ ℕ^*.

Do đó u₂ = 4 => m = 2.

Đáp án: 9

\({u_n} = \frac{{2({n^2} + 1) + 5n}}{{{n^2} + 1}} = 2 + \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}}\).

Ta có n² + 1 ≥ 2n \( \Rightarrow \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{5n}}{{2n}} = 2,5\).

Suy ra u_n ≤ 2 + 2,5 = 4,5.

Dấu “=” xảy ra khi n = 1 ∈ ℕ^*.

Vậy giá trị lớn nhất của dãy số là u₁ = 4,5.

Do đó P = 9.

Đáp án: 5

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số: \({n^2} + 9 \ge 2\sqrt {{n^2} \cdot 9} = 6n\).

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{{10n}}{{{n^2} + 9}} \le \frac{{10n}}{{6n}} = \frac{5}{3}\). Dấu “=” xảy ra khi n = 3 ∈ ℕ^*.

Suy ra \(M = \frac{5}{3} \Rightarrow 3M = 5\).

Đáp án: 2

Xét dãy số \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\):

Ta có: \({u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\).

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n \ge 1 \Rightarrow 0 < \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow 2 - \frac{3}{2} \le 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Rightarrow 0,5 \le {u_n} < 2\).

Dãy số vừa bị chặn dưới bởi 0,5, vừa bị chặn trên bởi \(2\) nên \(({u_n})\) là dãy số bị chặn.

Xét dãy số \({v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n} = n + \frac{1}{n}\):

Vì n ∈ ℕ^* => n ≥ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \({v_n} = n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2\).

Suy ra dãy số bị chặn dưới bởi 2.

Tuy nhiên, khi n tiến ra vô cùng, biểu thức v_n cũng tiến ra vô hạn, do đó dãy số không bị chặn trên.

Vì không bị chặn trên nên (v_n) không phải là dãy số bị chặn.

Xét dãy số \({x_n} = \sin (n) + \cos (n)\):

\({x_n} = \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le {x_n} \le \sqrt 2 \) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Dãy số vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên nên (x_n) là dãy số bị chặn.

Xét dãy số y_n = (−2)ⁿ. Đây là dãy số đan dấu

Dãy số này không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới.

Do đó, (y_n) không phải là dãy số bị chặn.

Vậy có tất cả 2 dãy số bị chặn.