Bài tập Xét tính tăng giảm của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số u_n = 3n + 1.

Có u_{n + 1} – u_n = 3(n + 1) + 1 – (3n + 1) = 3 > 0.

Do đó dãy u_n = 3n + 1 là dãy tăng.

Đáp án đúng là: B

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó (u_n) là dãy tăng.

Đáp án đúng là: B

Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}} \cdot \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{{3n}}{{n + 1}}\).

Vì n ∈ ℕ^* => n ≥ 1 => 2n ≥ n + 1 => 3n > n + 1 \( \Rightarrow \frac{{3n}}{{n + 1}} > 1\).

Do đó (u_n) là dãy tăng.

Đáp án đúng là: D

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = [(n + 1)² – 6(n +1) + 1] – (n² – 6n + 1) = 2n – 5.

Để dãy số tăng thì u_{n + 1} – u_n > 0 2n – 5 > 0 n > 2,5.

Vì n ∈ ℕ^* nên điều kiện này tương đương với n ≥ 3.

Do đó dãy số tăng kể từ số hạng thứ 3 trở đi.

Đáp án đúng là: A

Xét hiệu

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - m}}{{n + 2}} - \frac{{2n - m}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 2 - m} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - m} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{m + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để dãy là dãy tăng thì u_{n + 1} – u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* m + 2 > 0 m > −2.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Dãy số u_n = cos(nπ) = (−1)ⁿ là dãy đan dấu gồm các số hạng −1; 1; −1; 1; … nên không dãy không tăng, không giảm.

b) Đúng. Có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 > 1\), dãy số (u_n) là dãy tăng.

c) Sai. Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{{n(n + 1)}} > 0\)nên (u_n) là dãy tăng.

d) Đúng. Dãy số (u_n) có tính chất u_{n + 1} – u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ^* thì đó là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. \({u_{n + 1}} = \sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} = \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} \).

b) Đúng. Nhân lượng liên hợp:

\(\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) \cdot \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\).

c) Sai. Khi \(n\) tăng, cả \(\sqrt {n + 1} \) và \(\sqrt n \) đều tăng => mẫu số phải tăng dần chứ không phải giảm.

d) Đúng. Mẫu số dương và tăng dần thì phân số \({u_n}\) giảm dần. Do đó đây là dãy số giảm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có u₂ = u₁ + 31 – 1 = 2 + 3 – 1 = 4.

u₃ = u₂ + 32 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9.

b) Đúng. Có u_{n + 1} – u_n = u_n + 3n – 1 – u_n = 3n – 1.

c) Sai. Với n ∈ ℕ^* => n ≥ 1 => 3n – 1 ≥ 2 > 0.

d) Đúng. Do u_{n + 1} – u_n > 0 nên (u_n) là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Lũy thừa số dương và giai thừa luôn dương nên u_n > 0.

b) Đúng. \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{2^n}}} = \frac{{2 \cdot {2^n} \cdot n!}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot n! \cdot {2^n}}} = \frac{2}{{n + 1}}\).

c) Sai. Hệ thức \(\frac{2}{{n + 1}} < 1 \Leftrightarrow n + 1 > 2 \Leftrightarrow n > 1\).

Với n = 1 thì thương bằng 1, nên không đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

d) Đúng. Với mọi \(n \ge 2 \Rightarrow n + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{n + 1}} \le \frac{2}{3} < 1\), do đó dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai trở đi.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{n} + \frac{{an}}{n} + \frac{1}{n} = n + a + \frac{1}{n}\).

b) Đúng. Xét hiệu:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + a + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + a + \frac{1}{n}} \right) = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{n(n + 1)}}\).

c) Đúng. Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n\left( {n + 1} \right) \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n(n + 1)}} \ge \frac{1}{2} > 0\).

Hiệu luôn dương và không phụ thuộc vào tham số a (do a bị triệt tiêu).

d) Sai. Theo ý c, hiệu luôn lớn hơn 0 với mọi n nên dãy số luôn luôn là dãy tăng với mọi giá trị của a.

Đáp án: −1

Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).

Theo giả thiết đề bài, tử số của hiệu bằng −3 nên a – 2 = −3 a = −1.

Đáp án: 3

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 11\left( {n + 1} \right) + 1}}{2} - \frac{{2{n^2} - 11n + 1}}{2} = \frac{{4n - 9}}{2}\)

Dãy số giảm khi \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow \frac{{4n - 9}}{2} < 0 \Leftrightarrow n < 2,25 \Rightarrow n \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Nghĩa là u₁ > u₂ > u₃.

Dãy số bắt đầu tăng khi \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow n > 2,25 \Rightarrow n \ge 3\).

Nghĩa là u₃ < u₄ < u₅ <…

Do đó, dãy số giảm từ u₁ đến u₃ và tăng từ u₃ trở đi. Chỉ số m cần tìm là 3.

Đáp án: 4

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - {m^2} + 5m}}{{n + 3}} - \frac{{n - {m^2} + 5m}}{{n + 2}} = \frac{{2 - \left( { - {m^2} + 5m} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{{{m^2} - 5m + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}\)

Để dãy số đã cho là dãy giảm thì \({m^2} - 5m + 2 < 0 \Leftrightarrow \frac{{5 - \sqrt {17} }}{2} < m < \frac{{5 + \sqrt {17} }}{2}\).

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {1; 2; 3; 4}.

Vậy có 4 giá trị của m.

Đáp án: 3

Xét\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{100 \cdot \left( {n + 1} \right)!}}{{{3^{n + 1}}}} \cdot \frac{{{3^n}}}{{100 \cdot n!}} = \frac{{n + 1}}{3}\).

Để số lượng vi khuẩn tăng liên tục thì \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{3} > 1 \Leftrightarrow n + 1 > 3 \Leftrightarrow n > 2\)

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 3. Nghĩa là từ n = 3 trở đi, thương \(\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} > 1 \Rightarrow {u_4} > {u_3}\).

Do đó, kể từ ngày thứ 3 trở đi thì số lượng vi khuẩn bắt đầu tăng liên tục.

Đáp án: 3

\({u_{n + 1}} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Thực hiện xét hiệu hai số hạng liên tiếp:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ { \ldots + \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} \right] - \left[ { \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right]\)\( = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{{n^2} + 3n + 2}}\)

Suy ra a = 3 và b = 2. Vậy P = 5.