Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5;

u₃ = u₂ + 3 = 5 +3 = 8;

u₄ = u₃ + 3 = 8 + 3 = 11;

Dự đoán công thức tổng quát: u_n = 3n – 1.

Thử lại với n = 1, ta có u₁ = 3.1 – 1 = 2 (đúng).

Đáp án đúng là: B

Ta có: u₁ = 1 = 2⁰;

u₂ = 2u₁ = 2.1 = 2 = 2¹;

u₃ = 2u₂ = 2.2 = 4 = 2²;

u₄ = 2u₃ = 2.4 = 8 = 2³;

Dự đoán công thức tổng quát của dãy số là: u_n = 2^n-1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u₁ = 1;

u₂ = u₁ + 2.2 – 1 = 1 + 3 = 4;

u₃ = u₂ + 2.3 – 1 = 4 + 5 = 9;

u₄ = u₃ + 2.4 – 1 = 9 + 7 = 16.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({u_1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{2.\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + 1}} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{2.\frac{1}{4} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: u₁ = 3;

u₂ = u₁² – 2 = 3² – 2 = 9 – 2 = 7;

u₃ = u₂² – 2 = 7² – 2 = 49 – 2 = 47.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. u₂ = u₁ + 5 = 2 + 5 = 7.

b) Sai. u₃ = u₂ + 5 = 7 + 5 = 12 ≠ 10.

c) Đúng. u₄ = u₃ + 5 = 12 + 5 = 17.

d) Đúng. Nhận thấy: u₁ = 2 = 5.1 – 3; u₂ = 7 = 5.2 – 3; u₃ = 12 = 5.3 – 3. Dự đoán u_n = 5n – 3.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. u₂ = –2u₁ = –2.( –1) = 2.

b) Sai. u₃ = –2u₂= –2.2 = –4 ≠ 4.

c) Đúng. u₄ = –2u₃= –2.(–4) = 8.

d) Sai. Từ các số hạng đầu u₁ = –1; u₂ = 2; u₃ = –4; u₄ = 8; dự đoán công thức là

u_n = –(–2)^n-1 hoặc u_n = (–1)ⁿ.2^n-1. Công thức u_n = (–1)^n-1.2^n-1 cho u₁ = 1 ≠ –1 nên sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. \[{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{{u_1} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\].

b) Sai. \[{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{{u_2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{4}\].

c) Đúng. \[{u_4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_3} + 1}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3} + 1}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{4}\].

d) Đúng. Từ \({u_1} = 1\)\( = \frac{1}{1}\); \({u_2} = \frac{1}{2}\); \({u_3} = \frac{1}{3}\); \({u_4} = \frac{1}{4}\); ta dự đoán được \({u_n} = \frac{1}{n}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. u₃ = u₂ + u₁ = 1 + 1 = 2.

b) Sai. u₄ = u₃ + u₂ = 2 + 1 = 3 ≠ 4.

c) Đúng. u₅ = u₄ + u₃ = 3 + 2 = 5.

d) Đúng. Tổng 5 số hạng đầu là S₅ = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. u₂ = u₁ + 2.1 + 1 = 3 + 3 = 6 ≠ 5.

b) Đúng. u₃ = u₂ + 2.2 + 1 = 6 + 5 = 11.

c) Sai. u₄ = u₃ + 2.3 + 1 = 11 + 7 = 18 ≠ 15.

d) Đúng. Nhận thấy u₁ = 3 = 1² + 2; u₂ = 6 = 2² + 2; u₃ = 11 = 3² + 2; u₄ = 18 = 4² + 2. Dự đoán u_n = n² + 2.

Đáp án: 41

Ta có: u₁ = 5; u₂ = 5 + 4 = 9; u₃ = 9 + 4 = 13.

Dự đoán công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d = 5 + (n – 1)4 = 4n + 1.

Khi đó số hạng thứ 10 là: u₁₀ = 4.10 + 1 = 41.

Đáp án: 243

Ta có: u₁ = 3 = 3¹;

u₂ = 3.3 = 9 = 3²;

u₃ = 3.9 = 27 = 3³;

u₄ = 3.27 = 81 = 3⁴;

Dự đoán công thức tổng quát của dãy số là u_n = 3ⁿ.

Khi đó, số hạng thứ 5 là: u₅ = 3⁵ = 243.

Đáp án: 13

Ta có: \({u_1} = 1\); \({u_2} = \frac{1}{{3.1 + 1}} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{3.\frac{1}{4} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{7}\);

\({u_4} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{3.\frac{1}{7} + 1}} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{\frac{{10}}{7}}} = \frac{1}{{10}}\); \({u_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{3.\frac{1}{{10}} + 1}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{\frac{{13}}{{10}}}} = \frac{1}{{13}}\).

Suy ra a = 13.

Đáp án: 20

Ta có: u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 22 = 2 + 4 = 6;

u₃ = u₂ + 23 = 6 + 6 = 12;

u₄ = u₃ + 2.4 = 12 + 8 = 20.

Đáp án: 100

Ta có: u₁ = 0 = 0²;

u₂ = u₁ + 2.1 – 1 = 0 + 1 = 1 = 1²;

u₃ = u₂ + 2.2 – 1 = 1 + 3 = 4 = 2²;

u₄ = u₃ + 2.3 – 1 = 4 + 5 = 9 = 3²;

Từ các kết quả trên, ta dự đoán công thức tổng quát là: u_n = (n – 1)².

Khi đó, số hạng thứ 11 là: u₁₁ = (11 – 1)² = 100.