Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Vậy .
Cho dãy số hữu hạn (un): 1, 4, 9, 16, 25. Khẳng định nào dưới đây đúng?
un= n;
un = n2;
un= n2; n ≤ 5;
un= n2; n ≤ 4.
Đáp án đúng là: C
Ta nhận thấy các số hạng của dãy un có cùng quy luật:
u1 = 1 = 12;u2= 4 = 22;u3= 9 = 32;u4= 16 = 42;u5= 25 = 52.
Nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số (un) là un= n2; n ≤ 5.
Cho dãy số (un) : Số hạng thứ 3 của dãy số đó là
9;
11;
5;
8.
Đáp án đúng là: D
Ta có:u1 = 2; u2 = u1 + 3 = 2 + 3 = 5;u3 = u2 + 3 = 5 + 3 = 8.
Do đó, số hạng thứ 3 của dãy số là u3 = 8.
Cho dãy số (un) . Số hạng u4 là
19;
7;
15;
8.
Đáp án đúng là: C
Ta có:u1 = 1; u2 = 2u1 + 1 = 2.1 + 1 = 3;
u3 = 2u2 + 1 = 2.3 + 1= 7; u4 = 2u3 + 1 = 2.7 + 1= 15.
Vậy u4 = 15.
Cho dãy số (un) được xác định như sau: . Số hạng u11 là
8;
9;
10;
5.
Đáp án đúng là: D
Ta tính được u2 =
Ta có:
un + 1.(n + 1) = (un + 1).n = n + un.n;
un.n = (un – 1 + 1).(n – 1);
…
u2.2 = (u1 + 1).1 = 1 + u1.1
Þ un + 1.(n + 1) = n + (u n – 1 + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u n – 1.(n – 1);
un-1.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + un – 3.(n – 3);
…
u4.4 = 3 + 2 + u2.2 = 3 + 2 + 1;
u3.3 = 2 + 1 + u1.1 = 2 + 1;
+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì
un + 1.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = .
Suy ra .
+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:
un + 1.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 = .
Suy ra .
Suy ra công thức tổng quát đúng với cả 2 trường hợp.
Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: .
Đáp án đúng là: B
Ta có:
un + 1 = un + 2n;
un = un – 1 + 2(n – 1);
un – 1 = un – 2 + 2(n – 2);
…
u2 = u1 + 2.1;
Khi đó un + 1 + un + u n – 1 + … + u2
= un + u n – 1 + … + u2 + u1 + 2(n + (n – 1) + (n – 2) + … + 1)
Do đó
Hay dãy s ố có số hạng tổng quát là:
Với n = 4 thì .
Vậy đáp án đúng là B.
Cho dãy số (un) được xác định như sau: . Công thức tổng quát của dãy số là
un = 2n – 1;
un = n2 – 1.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
u1 = 1;
u2 = u1 + 21;
u3 = u2 + 22;
…
un = un-1 + 2n – 1.
Þ u1 + u2 + … + un = u1 + … + un – 1 + (20 + 21 + … + 2n – 1)
Do đó .
Vậy, công thức tổng quát của dãy số là: un = 2n – 1.
Cho dãy số (un) với u1 = 2 và un + 1 = 4un. Số hạng có giá trị lớn nhất của un mà nhỏ hơn 1000 là
7;
9;
10;
8.
Đáp án đúng là: B
u1 = 2;
u2 = 4u1 = 8 = 23;
u3 = 4u2 = 32 = 25;
u4 = 4u3 = 128= 27;
…
Số hạng tổng quát của (un) là un = 22n – 1.
Ta có: 29 < 1000 < 210.
Vậy số hạng cần tìm là u9.
Cho dãy số (un) biết: u1 = 2; un + 1 = un + 2. Số hạng thứ 7 của dãy số là
7;
9;
13;
14.
Đáp án đúng là: D
Ta có: u1 = 2; u2 = u1 + 2 = 4; u3 = u2 + 2 = 6; …
Ta thấy un là dãy số có công thức tổng quát: un = 2n.
Do đó, số hạng thứ 7 của dãy số là u7 = 2.7 = 14.
Tìm phần tử thứ 3 của dãy số (un), biết: u1 = – 1; un + 1 = –3un.
9;
–27;
–9;
27.
Đáp án đúng là: C
u1 = – 1; u2 = –3u1 = 3; u3 = –3u2 = –9.
Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 2 và un = un-1 + 3 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ 4 của dãy số và công thức tổng quát của dãy số là:
u4 = 11; un = 3n – 1.
u4 = 11; un = 3n + 1.
u4 = 14; un = 3n – 1.
u4 = 14; un = 3n + 1.
Đáp án đúng là: A
Ta có: u1 = 2;
u2 = u1 + 3 = 2 + 3 = 5;
u3 = u2 + 3 = 5 +3 = 8;
u4 = u3 + 3 = 8 + 3 = 11;
Dự đoán công thức tổng quát: un = 3n – 1.
Thử lại với n = 1, ta có u1 = 3.1 – 1 = 2 (đúng).
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = 2un với mọi n ≥ 2. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un của dãy số.
un = 2n.
un = 2n-1.
un = 2n.
un = 2n – 1.
Đáp án đúng là: B
Ta có: u1 = 1 = 20;
u2 = 2u1 = 2.1 = 2 = 21;
u3 = 2u2 = 2.2 = 4 = 22;
u4 = 2u3 = 2.4 = 8 = 23;
Dự đoán công thức tổng quát của dãy số là: un = 2n-1.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1và un = un-1 + 2n - 1 với mọi n ≥ 2. Tìm số hạng thứ 4 của dãy số.
u4 = 16.
u4= 9.
u4 = 10.
u4 = 15.
Đáp án đúng là: A
Ta có: u1 = 1;
u2 = u1 + 2.2 – 1 = 1 + 3 = 4;
u3 = u2 + 2.3 – 1 = 4 + 5 = 9;
u4 = u3 + 2.4 – 1 = 9 + 7 = 16.
Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = \frac{1}{2}\) và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{2{u_{n - 1}} + 1}}\) với mọi n ≥ 2. Tính u3.
u3 = \(\frac{1}{3}\).
u3 = \[\frac{1}{4}\].
u3 = \(\frac{1}{5}\).
u3 = \(\frac{1}{6}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({u_1} = \frac{1}{2}\); \({u_2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{2.\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + 1}} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{2.\frac{1}{4} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6}\).
Cho dãy số (un) được cho bởi u1 = 3 và un+1 = un2 – 2 với mọi n ≥ 1. Số hạng u3 là:
7.
47.
14.
16.
Đáp án đúng là: B
Ta có: u1 = 3;
u2 = u12 – 2 = 32 – 2 = 9 – 2 = 7;
u3 = u22 – 2 = 72 – 2 = 49 – 2 = 47.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un = un-1 + 5 với mọi n ≥ 2. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
u2 = 7.
u3 = 10.
u4 = 17.
Công thức tổng quát của dãy số là un = 5n – 3.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. u2 = u1 + 5 = 2 + 5 = 7.
b) Sai. u3 = u2 + 5 = 7 + 5 = 12 ≠ 10.
c) Đúng. u4 = u3 + 5 = 12 + 5 = 17.
d) Đúng. Nhận thấy: u1 = 2 = 5.1 – 3; u2 = 7 = 5.2 – 3; u3 = 12 = 5.3 – 3. Dự đoán un = 5n – 3.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = –1 và un+1 = –2un với n ≥ 1. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
u2 = 2.
u3 = 4.
u4 = 8.
Công thức tổng quát của dãy số là un = (–1)n-1.2n-1.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. u2 = –2u1 = –2.( –1) = 2.
b) Sai. u3 = –2u2= –2.2 = –4 ≠ 4.
c) Đúng. u4 = –2u3= –2.(–4) = 8.
d) Sai. Từ các số hạng đầu u1 = –1; u2 = 2; u3 = –4; u4 = 8; dự đoán công thức là
un = –(–2)n-1 hoặc un = (–1)n.2n-1. Công thức un = (–1)n-1.2n-1 cho u1 = 1 ≠ –1 nên sai.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và \[{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}}\] với n ≥ 2. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\({u_2} = \frac{1}{2}\).
\({u_3} = \frac{1}{4}\).
\({u_4} = \frac{1}{4}\).
Công thức tổng quát của dãy số là \({u_n} = \frac{1}{n}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \[{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{{u_1} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\].
b) Sai. \[{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{{u_2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{4}\].
c) Đúng. \[{u_4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_3} + 1}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3} + 1}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{4}\].
d) Đúng. Từ \({u_1} = 1\)\( = \frac{1}{1}\); \({u_2} = \frac{1}{2}\); \({u_3} = \frac{1}{3}\); \({u_4} = \frac{1}{4}\); ta dự đoán được \({u_n} = \frac{1}{n}\).
Cho dãy số Fibonacci được xác định bởi: u1 = 1; u2 = 1và un = un-1 + un-2 với n ≥ 3. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
u3 = 2.
u4 = 4.
u5 = 5.
Tổng 5 số hạng đầu tiên của dãy bằng 12.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. u3 = u2 + u1 = 1 + 1 = 2.
b) Sai. u4 = u3 + u2 = 2 + 1 = 3 ≠ 4.
c) Đúng. u5 = u4 + u3 = 3 + 2 = 5.
d) Đúng. Tổng 5 số hạng đầu là S5 = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = un + 2n + 1 với n ≥ 1. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
u2 = 5.
u3 = 11.
u4 = 15.
Dự đoán công thức tổng quát là un = n2 + 2.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. u2 = u1 + 2.1 + 1 = 3 + 3 = 6 ≠ 5.
b) Đúng. u3 = u2 + 2.2 + 1 = 6 + 5 = 11.
c) Sai. u4 = u3 + 2.3 + 1 = 11 + 7 = 18 ≠ 15.
d) Đúng. Nhận thấy u1 = 3 = 12 + 2; u2 = 6 = 22 + 2; u3 = 11 = 32 + 2; u4 = 18 = 42 + 2. Dự đoán un = n2 + 2.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 5 và un+1 = un + 4 với n ≥ 1. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số.
Đáp án: 41
Ta có: u1 = 5; u2 = 5 + 4 = 9; u3 = 9 + 4 = 13.
Dự đoán công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1)4 = 4n + 1.
Khi đó số hạng thứ 10 là: u10 = 4.10 + 1 = 41.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = 3un với n ≥ 1. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.
Đáp án: 243
Ta có: u1 = 3 = 31;
u2 = 3.3 = 9 = 32;
u3 = 3.9 = 27 = 33;
u4 = 3.27 = 81 = 34;
Dự đoán công thức tổng quát của dãy số là un = 3n.
Khi đó, số hạng thứ 5 là: u5 = 35 = 243.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{3{u_n} + 1}}\) với mọi n ≥ 1. Biết số hạng thứ 5 của dãy số là \(\frac{1}{a}\). Tìm a.
Đáp án: 13
Ta có: \({u_1} = 1\); \({u_2} = \frac{1}{{3.1 + 1}} = \frac{1}{4}\); \({u_3} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{3.\frac{1}{4} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{7}\);
\({u_4} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{3.\frac{1}{7} + 1}} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{\frac{{10}}{7}}} = \frac{1}{{10}}\); \({u_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{3.\frac{1}{{10}} + 1}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{\frac{{13}}{{10}}}} = \frac{1}{{13}}\).
Suy ra a = 13.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un = un-1 + 2n với n ≥ 2. Tính u4.
Đáp án: 20
Ta có: u1 = 2;
u2 = u1 + 22 = 2 + 4 = 6;
u3 = u2 + 23 = 6 + 6 = 12;
u4 = u3 + 2.4 = 12 + 8 = 20.
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 0 và un+1 = un + 2n – 1 với n ≥ 1. Tìm số hạng thứ 11 của dãy số.
Đáp án: 100
Ta có: u1 = 0 = 02;
u2 = u1 + 2.1 – 1 = 0 + 1 = 1 = 12;
u3 = u2 + 2.2 – 1 = 1 + 3 = 4 = 22;
u4 = u3 + 2.3 – 1 = 4 + 5 = 9 = 32;
Từ các kết quả trên, ta dự đoán công thức tổng quát là: un = (n – 1)2.
Khi đó, số hạng thứ 11 là: u11 = (11 – 1)2 = 100.
