Giải bài tập SGK Toán 9 tập 2 hay nhất Bài tập ôn cuối năm

a) Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 1.

Đặt  (u, v ≥ 0).

Hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2).

b) Đặt (x – 1)2 = u, u ≥ 0.

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}u-2y=2\\ 3u+3y=1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3u-6y=6\\ 3u+3y=1\end{array}\right.\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}-9y=5\\ u-2y=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{-5}{9}\\ u=\frac{8}{9}\end{array}\right.\right.\\ +u=\frac{8}{9}\Rightarrow {(x-1)}^2=\frac{8}{9}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x-1=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ x-1=\frac{-2\sqrt{2}}{3}\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\sqrt{2}+3}{3}\\ x=\frac{-2\sqrt{2}+3}{3}\end{array}\right.\right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x ( cuốn)

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn), (x, y∈ N*; x> 50, x< 450, y< 450)

Hai giá sách có tất cả 450 cuốn nên x+ y = 450 (1)

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là x- 50 và số sách ở giá thứ hai là y+ 50

Theo đầu bài ta có:

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển.

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc theo thứ tự là x, y (km/h) (x, y > 0)

* Lúc đi từ A đến B: Đoạn lên dốc dài 4km và đoạn xuống dốc dài 5km

* Lúc đi từ B đến A: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là  ( h) , thời gian xuống dốc là:  (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 40 phút =  h nên:

* Lúc đi từ B đến A qua C: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là  ( h) , thời gian xuống dốc là:  (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 41 phút =  h nên:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt  hệ phương trình trên trở thành:

Vậy vậy tốc độ lúc lên dốc là 12km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h.

Đồ thị hàm số đi qua A(-2; 1) $\Rightarrow 1 = a.{(-2)}^2$ ⇒ 

Vậy hàm số: 

x	-4	-2	0	2	4
	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số:

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

$S = x1 + x2 = -(-a/3) = a/3$

Vậy chọn đáp án B

Nghiệm chung x (nếu có) của hai phương trình là nghiệm của hệ:

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

ax + 1+ x+ a = 0

⇔ ( ax+ x) + (1+ a) =0

⇔ (a+ 1).x+ (1+ a) = 0

⇔ ( a+ 1) . (x+1)=0

⇔ a = - 1 hoặc x= -1

* Với a = -1 thay vào (2) ta được:$x^2- x + 1 = 0$ phương trình này vô nghiệm

vì $∆= {(-1)}^2 – 4.1.1= - 3 < 0$

nên loại a = -1.

*Thay x = -1 vào (2) suy ra a = 2.

Vậy với a = 2 thì phương trình có nghiệm chung là x = -1

Vậy chọn câu C.

b) x.(x+1). ( x+ 4). (x+ 5) = 12

⇔ [ x. (x + 5)]. [(x+1). (x+ 4)] = 12

$\begin{array}{l}\iff \left(x^2+5x\right)\cdot \left(x^2+4x+x+4\right)-12=0\\ \iff \left(x^2+5x\right)\cdot \left(x^2+5x+4\right)-12=0(*)\end{array}$

Đặt $t= x^2 + 5x + 2$

$=> x^2 + 5x = t – 2 và x^2 + 5x+ 4 = t+ 2$

Khi đó phương trình (*) trở thành:

( t – 2). (t+ 2) - 12 = 0

$\begin{array}{l}\iff t^2-4-12=0\\ \iff t^2-16=0\\ \iff t^2=16\iff t=\pm 4\end{array}$

+ Với t = 4 ta có: $x^2 + 5x + 2 = 4$

$\iff x^2 +5x – 2 = 0 (**)$

Có a= 1, b = 5, c = - 2 và $∆ = 5^2 – 4.1.(-2) = 33 > 0$

Nên (**) có 2 nghiệm phân biệt là:

* Với t = - 4 ta có: $x^2 + 5x + 2= - 4$

$\iff x^2 + 5x + 6 = 0 (***)$

Có a= 1, b = 5, c= 6 và $∆ = 5^2 – 4.1.6 = 1 > 0$

Phương trình (***) có 2 nghiệm là:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

Gọi số ghế băng lúc đầu là x ( ghế băng), ( x∈N*, x> 2)

Số học sinh ngồi trên mỗi ghế là  ( học sinh ) .

Khi bớt đi 2 ghế băng thì còn lại x- 2 ( ghế băng ) và khi đó, mỗi ghế có  học sinh ngồi.

Theo giả thiết, nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\iff 40x-x(x-2)=40(x-2)\\ \iff 40x-x^2+2x=40x-80\\ \iff -x^2+2x+80=0\end{array}$

Có a = -1, b= 2; c = 80 và $∆ = 2^2 – 4.(-1). 80 = 324$

Nên phương trình trên có 2 nghiệm là: x1 = -8 ( loại) và x2 =10 ( thỏa mãn)

Vậy lúc đầu có 10 ghế băng.

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x(cm), y (cm)

( 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2 , (1).

Theo định lý Pytago ta có: $x^2 + y^2 = {10}^2 = 100 \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Từ (1) suy ra: x= y+ 2 thay vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}{(y+2)}^2+y^2=100\\ \iff y^2+4y+4+y^2=100\\ \iff 2y^2+4y-96=0\text{ hay }{y}^2+2y-48=0\end{array}$

Giải ra ta được: $y1 = 6; y2 = -8 <$0 ( loại)

Với y= 6 suy ra x = 8.

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

$\begin{array}{l}A{C}^2=x^2+(10- x^2)\\ =x^2+100-20x+x^2\\ =2x^2-20x+100\\ =2\left(x^2-10x+25\right)+50\\ =2\cdot (x^2-10x+25)+50\ge 50\end{array}$

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu "=" xảy ra khi ${(x-5)}^2$ = 0 ⇔ x = 5.

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.

Gọi O là tâm đường tròn. Từ O kẻ bán kính vuông góc với BC, cắt BC ở G, cắt EF ở H.

Ta có: G, H lần lượt là trung điểm BC và EF.

BG = BC/2 = 2,5

⇒ AG = AB + BG = 6,5

⇒ DH = AG = 6,5

⇒ EH = DH – DE = 3,5

⇒ EF = 2.EH = 7.

Vậy chọn đáp án B.

Lời giải

c) Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R.

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB.

⇒ R = OK.

O ∈ đường phân giác của 

⇒ OH = OK.

⇒ OH = R

⇒ DE tiếp xúc với (O; R) (đpcm).

(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

⇒ OO’ = R + r.

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB

⇒ ΔPAO’  ΔPBO

⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r

ΔO’AP vuông tại A nên:

$O’P^2 = O’A^2 + A{P}^2$

$\iff {\left(3r\right)}^2=r^2+4^2\iff 8r^2=16\iff r^2=2$

Diện tích hình tròn (O’; r) là: $S = \pi .r^2 = 2\pi \left(c{m}^2\right).$

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

(hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

+  đều là các góc nội tiếp chắn 

ΔOAB có  là góc ngoài của tam giác

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC = DO.

Vậy chọn đáp án D.

Các cung  tạo thành một đường tròn

$\begin{array}{l}\Rightarrow x+{75}^{°}+2x+{25}^{°}+3x-{22}^{°}={360}^{°}\\ \Rightarrow 6x={282}^{°}\\ \Rightarrow x={47}^{°}\end{array}$

 là các góc nội tiếp chắn các cung 

Vậy chọn đáp án C.

* Lưu ý:

+ Trong tất cả các hình phẳng kín có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất.

⇒ D nằm trên cung chứa góc 300 dựng trên đoạn BC.

+ Khi A ≡ C thì D ≡ C, khi A ≡ B thì D ≡ E (BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30º dựng trên BC.

Phân tích:

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

⇒ O thuộc cung m chứa góc $120º$ dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung m và đường thẳng d.

+ Khi đó ta dựng được đường tròn (O; 1) nội tiếp ΔABC

⇒ A là giao của tiếp tuyến đi qua B và C của đường tròn (O; 1).

Cách dựng:

+ Dựng BC = 4cm

+ Dựng đường thẳng (d) song song với BC và cách BC một khoảng là 1 cm.

+ Dựng cung m chứa góc $120º$ trên đoạn BC.

+ (d) cắt cung m tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính 1cm.

+ Kẻ tiếp tuyến từ B và C đến (O; 1cm).

Hai tiếp tuyến cắt nhau tại A.

ΔABC là tam giác cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

Vậy ΔABC có BC = 4cm,  , đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình ΔABC và ΔA’BC như hình vẽ.

b) ΔABC cân tại A

⇒ AB = AC

 là các góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên ta có:

⇒ D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau

⇒ BCDE là tứ giác nội tiếp.

c. Tứ giác BCDE nội tiếp

⇒ BC // DE (hai góc đồng vị bằng nhau).

Xét hai trường hợp:

a) Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1cm.

$\begin{array}{l}{S}_{Xq}=2\pi Rh=2\pi \cdot 1.3=6\pi \left({\text{cm}}^2\right)\\ V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 1^2\cdot 3=3\pi \left({\text{cm}}^3\right)\end{array}$

b) Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1,5 cm

$\begin{array}{l}{\text{S}}_{\text{xq}}=2\pi \text{Rh}=2\pi .1,5.2=6\pi \left({\text{cm}}^2\right)\\ \text{V}=\pi {\text{R}}^2\text{h}=\pi \cdot {(1,5)}^2\cdot 2=4,5\pi \left({\text{cm}}^3\right)\end{array}$