Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội) có đáp án

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{y + 3}}{3} = 3}\\{\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{3y - 2}}{{14}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với \(6\) và hai vế phương trình thứ hai với \(42\), ta được:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 18}\\{14\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {3y - 2} \right) = 21}\end{array}} \right.\] suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 9\,\,\left( 3 \right)}\\{28x - 9y = 1\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình (3) với \(9\) và phương trình (4) với 2 ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{27x + 18y = 81}\\{56x - 18y = 2}\end{array}} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình, ta được \(83x = 83\) suy ra \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) vào phương trình \(3x + 2y = 9\) ta được:

\(3 \cdot 1 + 2y = 9\) suy ra \(y = 3\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,3} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {x + y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 4}\\{5\left( {x + y} \right) + 6\left( {x - y} \right) = 7}\end{array}} \right.\)

Rút gọn hệ phương trình, ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2y - 3x + 3y = 4}\\{5x + 5y + 6x - 6y = 7}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 5y = 4}\\{11x - y = 7}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(5\), ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 5y = 4\\55x - 5y = 35\end{array} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình, ta được \(54x = 39\) suy ra \(x = \frac{{13}}{{18}}\).

Thay \(x = \frac{{13}}{{18}}\) vào phương trình \( - x + 5y = 4\) ta được:

\( - \frac{{13}}{{18}} + 5y = 4\) suy ra \(y = \frac{{17}}{{18}}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{13}}{{18}};\,\,\frac{{17}}{{18}}} \right)\).

Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(x\) (km/h) và thời gian dự định là \(y\) (giờ).

Điều kiện: \(x > 15,\,\,y > 1\).

Quãng đường \(AB\) là \(xy\) (km).

Nếu tăng vận tốc thêm \(15{\rm{\;km/h}}\) thì đến sớm hơn \(1\) giờ nên  ta có:

\(\left( {x + 15} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\) suy ra \( - x + 15y = 15\) (1).

Nếu giảm vận tốc đi \(15{\rm{\;km/h}}\) thì đến chậm hơn \(2\) giờ nên ta có:

\(\left( {x - 15} \right)\left( {y + 2} \right) = xy\) suy ra \(2x - 15y = 30\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + 15y = 15}\\{2x - 15y = 30}\end{array}} \right.\).

Cộng vế theo vế của hệ ta được \(x = 45\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 45\) vào phương trình \( - x + 15y = 15\) ta được:

\( - 45 + 15y = 15\) suy ra \(15y = 60\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(45 \cdot 4 = 180{\rm{\;km}}\).

a) Ta có:

\(4\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 5\left( {3x - 1} \right)\)

\(\left( {3x - 1} \right)\left[ {4\left( {2x + 3} \right) - 5} \right] = 0\)

\(\left( {3x - 1} \right)\left( {8x + 7} \right) = 0\).

Trường hợp 1: \(3x - 1 = 0\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\).

Trường hợp 2: \(8x + 7 = 0\) suy ra \(x = \frac{{ - 7}}{8}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{3}\) và \(x =  - \frac{7}{8}\).

b) \(\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} + \frac{{4 - x}}{{x + 2}} = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4}} + 2\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 2\).

Ta có: \(\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} + \frac{{4 - x}}{{x + 2}} = \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + 2\)

\(\frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {4 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {4 - x} \right)\left( {x - 2} \right) = 2x - 1 + 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {4 - x} \right)\left( {x - 2} \right) = 2x - 1 + 2\left( {{x^2} - 4} \right)\)

\(3{x^2} + 5x - 2 - {x^2} + 6x - 8 = 2{x^2} + 2x - 9\)

\(2{x^2} + 11x - 10 = 2{x^2} + 2x - 9\)

\(9x = 1\)

\(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{9}\).

Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h), điều kiện \(x > 0\).

Vận tốc ô tô là \(x + 30\) (km/h).

Thời gian xe máy đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{280}}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{280}}{{x + 30}}\) (giờ).

Vì ô tô đến sớm hơn xe máy \(3\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{280}}{x} - \frac{{280}}{{x + 30}} = 3\).

\(280\left( {x + 30} \right) - 280x = 3x\left( {x + 30} \right)\)

\(8400 = 3{x^2} + 90x\)

\({x^2} + 30x = 2800\)

\({x^2} + 30x + 225 = 3025\)

\({\left( {x + 15} \right)^2} = {55^2}\)

\(\left( {x + 15 - 55} \right)\left( {x + 15 + 55} \right) = 0\)

\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 70} \right) = 0\).

Trường hợp 1: \(x - 40 = 0\) suy ra \(x = 40\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(x + 70 = 0\) suy ra \(x =  - 70\) (loại).

Vậy vận tốc xe máy là \(40{\rm{\;km/h}}\).

a) \(\frac{{2x - 1}}{3} > 4x - 2\)

\(2x - 1 > 3\left( {4x - 2} \right)\)

\(2x - 1 > 12x - 6\)

\( - 10x >  - 5\)

\(x < \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < \frac{1}{2}\).

b) \(\frac{{3x - 2}}{{ - 7}} > \frac{{2x + 1}}{3}\)

Nhân hai vế của bất phương trình với \[21\] ta có:

\( - 3\left( {3x - 2} \right) > 7\left( {2x + 1} \right)\)

\( - 9x + 6 > 14x + 7\)

\( - 23x > 1\)

\(x <  - \frac{1}{{23}}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x <  - \frac{1}{{23}}\).

Gọi số câu thí sinh trả lời đúng là \(x\) (câu), điều kiện \(x \in \mathbb{N}\), \(x \le 12\).

Số câu trả lời sai là \(12 - x\) (câu).

Số điểm thí sinh đạt được là \(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) = 7x - 4\) (điểm).

Để được vào vòng thi tiếp theo thì \(7x - 4 \ge 55\) suy ra \(7x \ge 59\) suy ra \(x \ge \frac{{59}}{7} \approx 8,43\).

Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(x \ge 9\).

Vậy thí sinh phải trả lời đúng ít nhất \(9\) câu thì được vào vòng thi tiếp theo.

a)

Vì \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) và \(AB = BC\) nên \(BE = CF\).

Xét \({\rm{\Delta }}BEC\) và \({\rm{\Delta }}CFD\) có: \(BE = CF\), \(\widehat {EBC} = \widehat {FCD} = 90^\circ \) và \(BC = CD\).

Do đó \({\rm{\Delta }}BEC = {\rm{\Delta }}CFD\) (c.g.c), suy ra \(\widehat {BCE} = \widehat {CDF}\).

Mà \(\widehat {CDF} + \widehat {CFD} = 90^\circ \) (vì \({\rm{\Delta }}CFD\) vuông tại \(C\)) nên \(\widehat {BCE} + \widehat {CFD} = 90^\circ \), hay \(\widehat {MCF} + \widehat {MFC} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CMF} = 90^\circ \).

Vậy \(CE \bot DF\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}DMC\) và \({\rm{\Delta }}DCF\) có: \(\widehat {DMC} = \widehat {DCF} = 90^\circ \) và \(\widehat {CDF}\) chung.

Do đó $\text{Δ}DMC\backsim \text{Δ}DCF$ (g.g), suy ra \(\frac{{DM}}{{DC}} = \frac{{DC}}{{DF}}\) hay \(C{D^2} = DM \cdot DF\).

Xét \({\rm{\Delta }}CMF\) và \({\rm{\Delta }}CBE\) có: \(\widehat {CMF} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE}\) chung.

Do đó $\text{Δ}CMF\backsim \text{Δ}CBE$ (g.g), suy ra \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CE}}\) hay \(CM \cdot CE = CB \cdot CF\).

Suy ra \(\frac{{CM \cdot CE}}{{CF}} = CB = AB\).

c)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), \(H\) là giao điểm của \(AI\) và \(DM\).

Ta có \(AE\,{\rm{//}}\,IC\) và \(AE = IC = \frac{{AB}}{2}\) nên tứ giác \(AECI\) là hình bình hành, suy ra \(AI\,{\rm{//}}\,CE\).

Trong \({\rm{\Delta }}DMC\) có \(I\) là trung điểm của \(DC\) và \(IH\,{\rm{//}}\,CM\) nên \(H\) là trung điểm của \(DM\).

Mặt khác \(AI\,{\rm{//}}\,CE\) và \(CE \bot DF\) nên \(AH \bot DM\).

Do đó \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của \({\rm{\Delta }}MAD\), suy ra \({\rm{\Delta }}MAD\) cân tại \(A\).