Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 Hệ thống giáo dục Newton-Pascal (có đáp án)
8 câu hỏi
a) \(\left( {4\sqrt {12} + 2\sqrt {27} - 5\sqrt {48} } \right):\sqrt 3 = \left( {4 \cdot 2\sqrt 3 + 2 \cdot 3\sqrt 3 - 5 \cdot 4\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \)
\( = \left( {8\sqrt 3 + 6\sqrt 3 - 20\sqrt 3 } \right):\sqrt 3 \)
\( = - 6\sqrt 3 :\sqrt 3 = - 6\).
b) \(\sqrt {200} - \sqrt {288} + 3\sqrt 8 - 2\sqrt {450} = 10\sqrt 2 - 12\sqrt 2 + 3 \cdot 2\sqrt 2 - 2 \cdot 15\sqrt 2 \)
\( = 10\sqrt 2 - 12\sqrt 2 + 6\sqrt 2 - 30\sqrt 2 = - 26\sqrt 2 \).
c) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 4} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 + 2} \right| + \left| {\sqrt 3 - 4} \right|\).
Vì \(\sqrt 3 + 2 > 0\) và \(\sqrt 3 - 4 < 0\) nên \(\left| {\sqrt 3 + 2} \right| + \left| {\sqrt 3 - 4} \right|\)\( = \sqrt 3 + 2 + \left( {4 - \sqrt 3 } \right) = 6\).
a) \(3x - 5 \ge 4\left( {2x + 1} \right) - 6\)
\(3x - 5 \ge 8x + 4 - 6\)
\(3x - 5 \ge 8x - 2\)
\( - 5x \ge 3\)
\(x \le - \frac{3}{5}\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le - \frac{3}{5}\).
b) \(\frac{{5x + 1}}{3} - 2 \le \frac{{x + 4}}{2} + \frac{{3 - 2x}}{4}\)
Quy đồng mẫu số chung là \(12\), ta được:
\(\frac{{4\left( {5x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{24}}{{12}} \le \frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{12}} + \frac{{3\left( {3 - 2x} \right)}}{{12}}\)
\(4\left( {5x + 1} \right) - 24 \le 6\left( {x + 4} \right) + 3\left( {3 - 2x} \right)\)
\(20x + 4 - 24 \le 6x + 24 + 9 - 6x\)
\(20x - 20 \le 33\)
\(20x \le 53\)
\(x \le \frac{{53}}{{20}}\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \frac{{53}}{{20}}\).
Ta có:
⦁ \(x \ge 0\).
⦁ \(\sqrt x - 2 \ne 0\) suy ra \(x \ne 4\).
⦁ \(x - 2\sqrt x \ne 0\) suy ra \(\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0\) suy ra \(x > 0\) và \(x \ne 4\).
⦁ \(\sqrt x + 2 > 0\) (luôn đúng với \(x \ge 0\))
\(\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 2}} \ne 0\) suy ra \(\sqrt x - 1 \ne 0\) suy ra \(x \ne 1\).
Kết hợp lại, điều kiện xác định là \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(x \ne 4\).
Gọi thời gian đội I và đội II làm một mình xong công việc lần lượt là \(x\) ngày và \(y\) ngày \(\left( {x > 12,\,\,y > 12} \right)\).
Trong 1 ngày, đội I làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, đội II làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong nên:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\).
Trong 4 ngày đầu, hai đội cùng làm được: \(4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\) (công việc).
Đội II làm tiếp trong 10 ngày nữa thì hoàn thành \(\frac{5}{6}\) công việc nên:
\(\frac{1}{3} + 10 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\) suy ra \(\frac{{10}}{y} = \frac{1}{2}\) suy ra \(y = 20\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 20\) vào phương trình ban đầu:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{20}} = \frac{1}{{12}}\) suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{30}}\) suy ra \(x = 30\) (thỏa mãn).
Vậy nếu làm riêng, đội I hoàn thành sau 30 ngày, đội II hoàn thành sau 20 ngày.
Gọi quãng đường di chuyển của kiện hàng là \(x{\rm{ km}}\) (\(x > 0\)).
Chi phí vận chuyển tương ứng là:
\(15\,\,000 + 4\,\,000x\) (đồng)
Do ngân sách tối đa là \(75\,\,000\) đồng nên ta có bất phương trình:
\(15\,\,000 + 4\,\,000x \le 75\,\,000\)
\(4\,\,000x \le 60\,\,000\)
\(x \le 15\).
Vậy người gửi có thể thuê vận chuyển quãng đường tối đa là \(15{\rm{ km}}\).
Có một chiếc quạt như hình vẽ (Hình 2).
Hình 2
a) Tính độ dài cung tròn \(AB\) (làm tròn đến hàng phần mười).
b) Tính diện tích phần giấy cả 2 mặt để làm chiếc quạt như hình vẽ (Phần tô đậm), biết rằng diện tích các mép dán không đáng kể (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
a) Bán kính của cung tròn \(AB\) là \(R = OB = 22\) cm, góc ở tâm \(n = 145^\circ \).
Độ dài cung tròn \(AB\) là:
\({l_{AB}} = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi \cdot 22 \cdot 145}}{{180}} = \frac{{319\pi }}{{18}} \approx 55,7\) cm.
b) Bán kính cung tròn nhỏ bên trong là \(r = 10\) cm.
Diện tích phần giấy của một mặt hình vành quạt là:
\({S_1} = \frac{{\pi n\left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot 145 \cdot \left( {{{22}^2} - {{10}^2}} \right)}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot 145 \cdot 384}}{{360}} = \frac{{464\pi }}{3}\) cm2.
Diện tích phần giấy cả 2 mặt để làm chiếc quạt là:
\(S = 2 \cdot {S_1} = 2 \cdot \frac{{464\pi }}{3} = \frac{{928\pi }}{3} \approx 972\) cm2.
a) Vì \(MA,\,\,MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {MAO} = 90^\circ \) và \(\widehat {MBO} = 90^\circ \).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MO\).
Xét \(\Delta MAO\) vuông tại \(A\) (do \(\widehat {MAO} = 90^\circ \)), có \(AI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MO\).
Suy ra: \(IA = IO = IM = \frac{1}{2}MO\) (1).
Trong \(\Delta MBO\) vuông tại \(B\) (do \(\widehat {MBO} = 90^\circ \)), có\(BI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MO\).
Suy ra: \(IB = IO = IM = \frac{1}{2}MO\) (2).
Từ (1) và (2), ta suy ra: \(IA = IB = IO = IM = \frac{1}{2}MO\).\(\)
Do đó bốn điểm \(M,\,\,A,\,\,O,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).
b) ⦁ Chứng minh \(MO \bot AB\)
Ta có \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra \(M\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) (3).
Lại có \(OA = OB = R\) suy ra \(O\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) (4).
Từ (3) và (4) suy ra \(MO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Do đó \(MO \bot AB\) tại \(H\).
⦁ Chứng minh \(OH \cdot OM = {R^2}\)
Xét \(\Delta OHA\) và \(\Delta OAM\) lần lượt vuông tại \(H\) và \(A\):
\(\widehat {AOM}\) là góc chung
\(\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\) suy ra \(OH \cdot OM = O{A^2}\)
Mặt khác, \(OA\) chính là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\), nên \(OA = R\).
Do đó \(OH \cdot OM = {R^2}\) (*).
c)
Xét \(\Delta ONP\) cân tại \(O\) (do \(ON = OP = R\)), có \(K\) là trung điểm của \(NP\) nên \(OK\) là đường trung tuyến của \(\Delta ONP\).
Do đó, \(OK\) đồng thời là đường cao hay \(OK \bot NP\) tại \(K\).
Mặt khác, \(FN,\,\,FP\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(FP = FN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(ON = OP = R\).
Chứng minh tương tự ý b) ta được \(OF\) là đường trung trực của \(NP\) hay \(OF \bot NP\) tại \(K\).
Do đó ba điểm \(O,K,F\) thẳng hàng.
Do \(FN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(N\) nên \(\widehat {FNO} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta ONF\) vuông tại \(N\) chứng minh tương tự ý b) ta được: \(OK \cdot OF = O{N^2} = {R^2}\) (**).
Từ (*) và (**) suy ra \(OK \cdot OF = OH \cdot OM\) suy ra \(\frac{{OK}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OF}}\).
Xét \(\Delta KOM\) và \(\Delta HOF\) có:
\(\widehat {MOF}\) là góc chung;
\(\frac{{OK}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OF}}\).
Do đó (c.g.c).
Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ hình chữ nhật (hình vẽ). Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí \(C\) trên bờ ngang đến một vị trí \(E\) trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \(A\). Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc \(A\) đến bờ ngang là \(5\) m và khoảng cách từ cọc \(A\) đến bờ dọc là \(12\) m.
Góc hồ vuông tại \(B\), bờ dọc là \(BE\), bờ ngang là \(BC\).
Khoảng cách từ cọc \(A\) đến bờ ngang là \(AF = 5\) m \(\left( {F \in BC,\,\,AF \bot BC} \right)\).
Khoảng cách từ cọc \(A\) đến bờ dọc là \(AD = 12{\rm{ m}}\) \(\left( {D \in BE,\,\,AD \bot BE} \right)\).
Tứ giác \(BDAF\) là hình chữ nhật nên \(BD = AF = 5\) m và \(BF = AD = 12\) m.
Đặt \(FC = x\) (m) (\(x > 0\)) và \(DE = y\) (m) (\(y > 0\)).
Suy ra độ dài hai bờ là \(BC = x + 12\) (m) và \(BE = y + 5\) (m).
Do \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên hai tam giác vuông đồng dạng , ta có:
\(\frac{{ED}}{{AF}} = \frac{{DA}}{{FC}}\) suy ra \(\frac{y}{5} = \frac{{12}}{x}\) suy ra \(y = \frac{{60}}{x}\).
Diện tích tam giác vuông \(EBC\) cần rào lưới là:
\(S = \frac{1}{2}EB \cdot BC = \frac{1}{2}\left( {y + 5} \right)\left( {x + 12} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{60}}{x} + 5} \right)(x + 12)\)
\(S = \frac{1}{2}\left( {120 + 5x + \frac{{720}}{x}} \right) = 60 + \frac{5}{2}x + \frac{{360}}{x}\)
\(S = 60 + \frac{5}{2}\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = 60 + \frac{5}{2}\left[ {{{\left( {\sqrt x - \frac{{12}}{{\sqrt x }}} \right)}^2} + 24} \right]\)
\(S = 60 + \frac{5}{2} \cdot 24 + \frac{5}{2}{\left( {\sqrt x - \frac{{12}}{{\sqrt x }}} \right)^2} = 120 + \frac{5}{2}{\left( {\sqrt x - \frac{{12}}{{\sqrt x }}} \right)^2}\).
Vì \({\left( {\sqrt x - \frac{{12}}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x > 0\) nên:
\(S \ge 120\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt x - \frac{{12}}{{\sqrt x }} = 0\) suy ra \(x = 12\) (m) (thỏa mãn \(x > 0\)).
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
