Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) \(\left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\)

\(1 - 2x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\)

\(2x = 1\) hoặc \(x =  - 5\)

\(x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x =  - 5\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{1}{2};\,\,x =  - 5.\)

b) Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 2.\)

\(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}}\)

\[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x\]

\[{x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x\]

\[ - 5x + 2 = 4 - 6x\]

\[6x - 5x = 4 - 2\]

\[x = 2\] (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) \(3 \cdot 5 \le \frac{{2x + 3}}{5} \cdot 5\)

 \(15 \le 2x + 3\)

 \( - 2x \le 3 - 15\)

 \( - 2x \le  - 12\)

     \(x \ge 6\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \ge 6.\)

b) \[{\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \ge  - 8x + 41\]

\[{x^2} - 8x + 16 - {x^2} + 25 \ge  - 8x + 41\]

\[ - 8x + 8x \ge 41 - 16 - 25\]

          \[0x \ge 0\].

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \in \mathbb{R}.\]

a) Với \(a = 0\) và \(b \ne 0\) ta có hàm số \(y = b.\)

Đồ thị hàm số \(y = b\) với \(b \ne 0\) có đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và vuông góc với trục tung tại điểm \(b\) nằm trên trục tung.

b) Để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {3; - 6} \right)\) thì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay \(x = 3,\,\,y =  - 6\) vào hàm số \(y = ax + b,\) ta được:

\( - 6 = a \cdot 3 + b\) hay \(3a + b =  - 6\)   (1)

Để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;4} \right)\) thì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay \(x =  - 2,\,\,y = 4\) vào hàm số \(y = ax + b,\) ta được:

\(4 = a \cdot \left( { - 2} \right) + b\) hay \( - 2a + b = 4\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3a + b =  - 6\\ - 2a + b = 4\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

\(5a =  - 10\) suy ra \(a =  - 2\).

Thay \(a =  - 2\) vào phương trình \(3a + b =  - 6,\) ta được:

\(3 \cdot \left( { - 2} \right) + b =  - 6\) suy ra \(b = 0.\)

Vậy \(a =  - 2\) và \(b = 0.\)

Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là \(300\) nucleotide nên ta có phương trình: \(T - G = 300\). (1)

Theo nguyên tắc bổ sung: “\[A\] liên kết với \[T\] bằng 2 liên kết hydrogen và \[G\] liên kết với \[C\] bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có \(3\,\,600\) liên kết hydrogen nên ta có phương trình \(2T + 3G = 3\,\,600\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: \(5T = 4\,500,\) suy ra \(T = 900\).

Thay \(T = 900\) vào phương trình \(T - G = 300\), ta được: \(900 - G = 300,\) suy ra \(G = 600.\)

Vậy số nucleotide từng loại gen B là: \(G = C = 600\) và \(A = T = 900\).

a) Số tiền cô Bình phải trả trong \(1\) km đầu tiên là \(11\,\,000\) đồng.

Số tiền cô Bình phải trả trong \(\left( {x - 1} \right)\) km tiếp theo là: \(13\,\,000\left( {x - 1} \right)\) (đồng).

Số tiền cô Bình phải trả để đi quãng đường \(x\) (km) là: \(11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right)\) (đồng).

Theo bài, số tiền cô Bình có trong ví là \(450\,\,000\) đồng nên ta có bất phương trình:

\(11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000\).

Vậy từ dữ kiện đề bài, ta viết được bất phương trình: \(11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000\).

b) Giải bất phương trình:

\(11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000\)

\(11\,\,000 + 13\,\,000x - 13\,\,000 \le 450\,\,000\)

\(13\,\,000x \le 452\,\,000\)

\(x \le \frac{{452}}{{13}}\,\,\left( { \approx 34,77} \right)\).

Vậy cô Bình có thể đi được tối đa \(34\) km.

Xét \(\Delta BCN\) vuông tại \(N,\) ta có:

\(BN = BC \cdot \sin \widehat {BCN} = 60 \cdot \sin 32^\circ  \approx 31,80{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Ta thấy \(NC\) và \(BM\) là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên \(NC\,{\rm{//}}\,BM,\) suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {BCN} = 32^\circ \) (so le trong).

Khi đó, \(\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {CBM} = 53^\circ  - 32^\circ  = 21^\circ \).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có:

\(AM = AB \cdot \sin \widehat {ABM} = 60 \cdot \sin 21^\circ  \approx 21,50\) (cm).

Vậy, độ cao của điểm \(A\) trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

\(AM + BN + CP \approx 21,50 + 31,80 + 17 = 70,3\) (cm).

a) Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K,\) ta có:

\(\sin C = \frac{{AK}}{{AC}},\,\,\cos C = \frac{{KC}}{{AC}},\)

\(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}},\,\,\cot C = \frac{{KC}}{{AK}}.\)

b) Xét \(\Delta AKB\) vuông tại \(K,\) ta có: \(BK = AK \cdot \cot B.\)

Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K,\) ta có: \(KC = AK \cdot \cot C.\)

Suy ra \(BC = BK + KC = AK \cdot \cot B + AK \cdot \cot C\)

Do đó \(BC = AK \cdot \left( {\cot B + \cot C} \right)\) nên \(AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}.\)

c) Kẻ \[DI\, \bot \,BD\] tại \[D\] \[(I\]thuộc đường thẳng \[BC)\].

Ta có \(\widehat {ADN} + \widehat {CDN} = 90^\circ ,\,\,\widehat {CDI} + \widehat {CDN} = 90^\circ .\) Suy ra \[\widehat {ADN} = \widehat {CDI}\].

Xét \[\Delta ADN\] và \[\Delta CDI\] có: \(\widehat {DAN} = \widehat {DCI} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ADN} = \widehat {CDI}\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AN}}{{CI}} = \frac{{DN}}{{DI}}\] nên \[\frac{{A{D^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}.\]

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D,\) ta có: \[\cot \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{DC}}.\]

Vì \(CKAD\) là hình chữ nhật nên \(AD\,{\rm{//}}\,KC\) nên \[\widehat {ACB} = \widehat {DAC}\] (so le trong).

Suy ra \[{\cot ^2}\widehat {ACB} = {\cot ^2}\widehat {DAC} = {\left( {\frac{{AD}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}\].

Ta có: \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{\frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}}\].

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(B{I^2} = D{I^2} + D{B^2}\).

Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có \(\sin \widehat {DBC} = \frac{{CD}}{{BD}}.\)

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D,\) ta có \[\cos \widehat {DIB} = \frac{{DI}}{{BI}}.\]

Lại có \[\widehat {DBC} + \widehat {DIB} = 90^\circ \] nên \(\sin \widehat {DBC} = \cos \widehat {DIB}\) hay \(\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{DI}}{{BI}}.\)

Như vậy, \(CD \cdot BI = DI \cdot BD.\) Hay \(C{D^2} \cdot B{I^2} = D{I^2} \cdot B{D^2}.\)

Suy ra \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{C{D^2} \cdot B{I^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}}.\]

Vì \(CKAD\) là hình chữ nhật nên \(AK = DC.\) Do đó \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}}.\]

Giá thuê mỗi phòng sau khi tăng giá phòng lên \[x\% \] là: \(480 + 480 \cdot x\%  = 480 + 4,8x\) (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng \[x\% \] là: O10-2024-GV154..\[100 - 100 \cdot \frac{{4x}}{5}\% \]\[ = 100 - \frac{{4x}}{5}\] (phòng).

Tổng doanh thu tương ứng là:

\[A\left( x \right) = \left( {100 - \frac{{4x}}{5}} \right)\left( {480 + 4,8x} \right)\]\[ = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right)\] (nghìn đồng).

Để nhà nghỉ đạt doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\left( x \right)\).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho biểu thức \(A\left( x \right) = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right),\) ta được:

\[A\left( x \right) = 3,84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right) \le 3,84 \cdot {\left( {\frac{{125 - x + 100 + x}}{2}} \right)^2} = 48\,\,600\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[125 - x = 100 + x\] hay \[x = 12,5\].

Vậy giá phòng niêm yết là \[480 + 4,8 \cdot 12,5 = 540\] (nghìn đồng) thì khách sạn đạt doanh thu cao nhất là \(48\,\,600\) nghìn đồng \((48\,\,600\,\,000\) đồng).