Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Xác định hệ số \[a,\,\,b,\,\,c\] của phương trình bậc nhất hai ẩn \[2x-5y = 7\] ta được
\[a = 2,{\rm{ }}b = 5,{\rm{ }}c = 7.\]
\[a = - 5,{\rm{ }}b = 2,{\rm{ }}c = 7.\]
\[a = 5,{\rm{ }}b = 2,{\rm{ }}c = 7.\]
\[a = 2,{\rm{ }}b = - 5,{\rm{ }}c = 7.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có hệ số \[a,\,\,b,\,\,c\] của phương trình bậc nhất hai ẩn \[2x-5y = 7\] là \[a = 2,{\rm{ }}b = - 5,{\rm{ }}c = 7.\]
Giá trị \(x = 0\) và \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\(x\left( {x - 1} \right) = 0\).
\(x\left( {x + 1} \right) = 0\).
\(x = 0\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dễ dàng thấy rằng:
⦁ Giá trị \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\).
⦁ Giá trị \(x = 0\) và \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình \(x\left( {x + 1} \right) = 0\).
⦁ Giá trị \(x = - 1\) không là nghiệm của phương trình \(x = 0\) và phương trình \(x\left( {x - 1} \right) = 0\)
Vậy ta chọn phương án B.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + 4y = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) và các khẳng định nào sau:
(i) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình \(0x = 3.\)
(ii) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình có vô số nghiệm.
(iii) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được phương trình mới là: \(2x - 4y = 8\).
Cộng từng vế phương trình trên với phương trình (2), ta nhận được phương trình:
\(0x = 7\). Phương trình này vô nghiệm.
Do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Như vậy chỉ có khẳng định (iii) là đúng. Ta chọn phương án B.
Tập hợp \(S = \left\{ {\left( {x\,;\,\,\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}} \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}\) là tập nghiệm của phương trình nào dưới đây?
\[ - 2x + 3y = 5.\]
\[2x + 3y = 5.\]
\[3x--2y = 5.\]
\[2x--3y = 5.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo đề, ta có: \(y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}\) hay \[3y = 2x + 5,\] suy ra \[ - 2x + 3y = 5.\]
Do đó, tập \(S = \left\{ {\left( {x;\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}} \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}\) là tập nghiệm của phương trình \[ - 2x + 3y = 5.\]
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x + 2}} + 1 = \frac{3}{{x - 3}}\) là
\(x \ne 2.\)
\(x \ne 3.\)
\(x \ne - 2;x \ne 3.\)
\(x \ne - 3;x \ne 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x + 2}} + 1 = \frac{3}{{x - 3}}\) là \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne - 2;x \ne 3.\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\) là
\(5\).
\(1\).
\( - 5\).
\( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giải phương trình:
\(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)
\(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)
\(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)
\(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đó là: \(4 + \left( { - 9} \right) = - 5.\)
Nếu \[a < b\] thì . Dấu thích hợp điền vào ô trống là
\[ \ge \].
\[ \le \].
\[ < \].
\[ > \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhân hai vế của bất đẳng thức \[a < b\] với 2, ta được: \[2a < 2b\].
Cộng 1 vào hai vế của bất đẳng thức \[2a < 2b\], ta được: \[2a + 1 < 2b + 1\].
Do đó dấu cần điền vào ô trống là \[ < \].
Biết rằng \(m > n\) với \(m,\,\,n\) bất kỳ, chọn câu đúng.
\(n + 2 > m + 2\).
\(m + 3 < n + 3\).
\(m - 2 < n - 2\).
\(m - 3 > n - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(m > n\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 3,\) ta được: \(m - 3 > n - 3.\)
Trong hình bên, \(\cos \alpha \) bằng
\(\frac{3}{5}.\)
\(\frac{3}{4}.\)
\(\frac{3}{4}.\)
\(\frac{4}{5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác vuông \(ABC\), ta có \(\cos B = \cos \alpha = \frac{3}{5}.\)
Giá trị \(\cot 35^\circ 23'\) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) là
\(1,408.\)
\(1,409.\)
\(1,407.\)
\(1,440.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Sử dụng máy tính cầm tay, ta thực hiện bấm như sau:
Trên màn hình hiện ra kết quả \(1,408003909\), làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba, ta được \(\cot 35^\circ 23' \approx 1,408\).
Cho \(\alpha = 40^\circ \) và \(\beta = 50^\circ .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\cos \alpha = \cos \beta \).
\(\tan \alpha = \cot \beta \).
\(\tan \alpha = \tan \beta \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\alpha + \beta = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn phụ nhau, do đó:
\(\sin \alpha = \cos \beta \) và \(\tan \alpha = \cot \beta \).
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\)có \(AB = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat C = 40^\circ .\) Cạnh \(BC\) có độ dài gần nhất với kết quả nào dưới đây?
\(12,45\)cm.
\(15,56\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(6,43\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(8\)cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[\widehat C = 40^\circ \], ta có: \[AB = BC \cdot \sin {\rm{ }}C.\] Suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{10}}{{\sin 40^\circ }} \approx 15,56\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \[BC\] có độ dài gần nhất với đáp án B. |
|
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\) bằng phương pháp cộng đại số theo các bước:
a) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)
b) Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được\(0x = 1\).
c) Phương trình \(0x = 1\) vô số nghiệm.
d) Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {6y + 5;\,\,2x - 4} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp cộng đại số như sau:
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\(0x + 0y = 1\) hay \(0x = 1\).
Phương trình trên vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Cho bất phương trình \(m\left( {5x - 2} \right) < 1\).
a) Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) với \(m \in \mathbb{R}\) tùy ý.
b) Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{3}{5}\).
c) Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{1}{5}\).
d) Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên lớn nhất là \( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a)Sai.Ta có: \(m\left( {5x - 2} \right) < 1\)
\[5mx - 2m - 1 < 0\]
Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(5m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).
Do đó ý a) là sai.
b)Đúng.Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(5x - 2 < 1\) hay \(5x < 3\) nên \(x < \frac{3}{5}\).
Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{3}{5}\). Do đó ý b) là đúng.
c)Sai.Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 5x + 2 < 1\) hay \( - 5x < - 1\) nên \[x > \frac{1}{5}\].
Như vậy, khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \[x > \frac{1}{5}\]. Do đó ý c) là sai.
d)Sai.Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - \,10x + 4 < 1\) hay \( - 10x < - 3\) nên \(x > \frac{3}{{10}}\).
Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là 1. Do đó ý d) là sai.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 21\\ - 6x + 3y = - 45\end{array} \right.\). Biết cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình. Tính giá trị của \(T = {x_0} + {y_0}.\)
Đáp án: 3.
Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(x - 5y = 21\), suy ra \(x = 21 + 5y\).
Thế \(x = 21 + 5y\) vào phương trình \( - 6x + 3y = - 45\) ta được \( - 6\left( {21 + 5y} \right) + 3y = - 45\) hay \( - 126 - 27y = - 45\), suy ra \(y = - 3.\)
Do đó, \(x = 21 + 5.\left( { - 3} \right) = 6.\)
Suy ra \(\left( {6; - 3} \right)\) là nghiệp của hệ phương trình đã cho.
Từ đó, \({x_0} = 6;{y_0} = - 3\) nên \(T = {x_0} + {y_0} = 6 + \left( { - 3} \right) = 3.\)
Vậy \(T = {x_0} + {y_0} = 3.\)
Với giá trị nào của \(x\) thì hai biểu thức \(A = \frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}}\) và \(B = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\) có cùng một giá trị?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0.
Để hai biểu thức đã cho có cùng một giá trị thì \(A = B\), tức là \(\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\).
Điều kiện: \(x \ne \frac{1}{3};\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)
Giải phương trình:
\(\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\)
\(\frac{3}{{3x + 1}} - \frac{2}{{3x - 1}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)
\(\frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)
\[3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) = x - 5\]
\(9x - 3 - 6x - 2 = x - 5\)
\(2x = 0\)
\(x = 0\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Người ta dùng một loại xe tải để chở sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa loại \(180\,\,{\rm{ml}}\) nặng trung bình \(10\,\,{\rm{kg}}.\) Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5,25\) tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy, biết bác lái xe nặng \(65\,\,kg?\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 518.
Đổi \(5,25\) tấn \( = 5\,\,250\,\,{\rm{kg}}\)
Gọi \(x\) (thùng) là số sữa mà xe có thể chở \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: \(10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).\)
Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: \(65 + 10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).\)
Do trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là \(5\,\,250\,\,{\rm{kg}}\) nên ta có
\(65 + 10x \le 5\,\,250\)
\(10x \le 5\,\,185\)
\(x \le 518,5\)
Mà \(x \in \mathbb{N}*\) nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5{\rm{\;cm}},\,\,BC = 12{\rm{\;cm}}\) và \(CA = 13{\rm{\;cm}}.\) Tính số đo góc \(C\) (làm tròn kết quả đến độ).
Hướng dẫn giải Đáp số: 23. Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\); \(C{A^2} = {13^2} = 169.\) |
|
Do đó \(A{B^2} + B{C^2} = C{A^2},\) nên theo định lí Pythagore đảo ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)
Khi đó, ta có: \[\sin C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}.\]
Sử dụng MTCT, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(22^\circ 37'11.51'',\) làm tròn đến phút ta được \(23^\circ .\)
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Người ta cho thêm \[1\] kg nước vào dung dịch \[A\] (của axit \(X)\) thì được dung dịch \[B\] có nồng độ axit là \[20\% \]. Sau đó lại cho thêm \[1\] kg axit \(X\) vào dung dịch \[B\] thì được dung dịch \[C\] có nồng độ axit là \[33\frac{1}{3}\% \]. Tính nồng độ axit của dung dịch \[A\].
Hướng dẫn giải
Gọi \(x{\rm{\;(kg)}}\) là khối lượng axit \(X\) có trong dung dịch \(A\) và \(y{\rm{\;(kg)}}\) là khối lượng dung dịch chất \(A\) \(\left( {y > x > 0} \right)\).
Khi thêm \[1\] kg nước vào dung dịch \[A\] thì được dung dịch \[B\] có khối lượng là: \(y + 1{\rm{\;(kg)}}\).
Theo bài, nồng độ của dung dịch \(B\) là \[20\% \] nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\% \) hay \(5x = y + 1\) suy ra \(5x - y = 1\) (1)
Khi thêm \[1\] kg axit vào dung dịch \[B\]thì được dung dịch \[C\] có khối lượng là: \(y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}\) và khối lượng axit \(X\) có trong dung dịch lúc này là \(x + 1{\rm{\;(kg)}}\)
Theo bài, nồng độ của dung dịch \(C\) là \[33\frac{1}{3}\% \] nên ta có phương trình:
\(\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\% \) hay \(3\left( {x + 1} \right) = y + 2\) suy ra \(3x - y = - 1\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(2x = 2,\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 1\) vào phương trình \(5x = y + 1\) ta được:
\(5 \cdot 1 = y + 1\), suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn).
Vậy nồng độ axit của dung dịch \(A\) là: \(\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .\)
(1,5 điểm) Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn \[AB\] dài 762 m, \(\widehat {A\,\,} = 4^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 6^\circ .\)
![Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/19-1758193340.png)
Hướng dẫn giải
a) Kẻ \(CH \bot AB,\,\,H \in AB.\) Khi đó \(CH\) là chiều cao của con dốc.
![Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/20-1758193328.png)
⦁ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\)
Suy ra \(AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).\) (1)
⦁ Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\)
Suy ra \(BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).\) (2)
⦁ Từ (1) và (2) ta có: \(AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\) hay \(AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)\)
Do đó \(762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)\)
Suy ra \(CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.
b) ⦁ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}\)
Suy ra \(AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\) (3)
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}\)
Suy ra \(CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\) (4)
⦁ Thời gian lên dốc \[AC\] là: \[{t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}\] (giờ).
Thời gian xuống dốc \(CB\) là: \[{t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}\] (giờ).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là:
\({t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0,1007\) (giờ) ≈ 6 phút.
Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.
(0,5 điểm) Một nhóm học sinh tham gia một kỳ thi và có tổng cộng 40 điểm. Nếu biết rằng không có học sinh nào có điểm dưới 10 và tổng số điểm của các học sinh là 300. Chứng minh rằng không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.
Hướng dẫn giải
Điểm trung bình của 40 học sinh là: \(\frac{{300}}{4} = 7,5\) (điểm).
Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là \[{a_k} > 30.\]
Điểm của các học sinh còn lại là \[{a_1},\,\,{a_2},\,\, \ldots ,\,\,{a_{k - 1}},\,\,{a_{k + 1}}\,\,,\,\, \ldots ,\,\,{a_{40}}.\]
Tổng điểm của các học sinh còn lại là: \[S = 300 - {a_k}.\]
Vì \[{a_k} > 30\] thì \[S < 300 - 30 = 270.\]
Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:
\[M = \frac{S}{{39}} < \frac{{270}}{{39}} \approx 6,92.\]
Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.
Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: \[S\, \ge 10 \cdot 39 = 390.\]
Mà \[S < 270\] dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.
