Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).

Xét các đáp án, ta thấy:

\[\left( {x - 5} \right) + \left( {2y - 6} \right) = 0\] hay \(x - 5 + 2y - 6 = 0\) suy ra \(x + 2y = 11\) nên đáp án A là phương trình bậc nhất hai ẩn.

\[5x - 3z = 6\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,z\) nên đáp án B là phương trình bậc nhất hai ẩn.

\(5x - 8y = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\)

\[\left( {x - 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 3\] hay \[2xy - 3x - 4y + 6 = 3\] suy ra \[2xy - 3x - 4y = - 3\] nên đáp án D không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình \(0x + 7y = 14\) ta có \(7y = 14\) suy ra \(y = 2\).

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là \(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\mathrm{MODE}}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{4}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{5}\boxed{=}\boxed{9}\boxed{=}\boxed{=}$ 

Trên màn hình cho kết quả \(x = - 21,\) ta bấm tiếp phím  màn hình cho kết quả \(y = 15.\)

Vậy cặp số \(\left( { - 21;\,\,15} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Cách 2. Thay \(x = 1;\,\,y = 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5\,\,\left( { \ne 3} \right)\\ - 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 9\,\,\left( { \ne 9} \right)\end{array} \right..\)

Tương tự, thay giá trị của \(x\) và \(y\) lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số \(\left( { - 21;\,\,15} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số \(\left( { - 21;\,\,15} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Cách 3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2,\) ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 6\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(y = 15.\)

Thay \(y = 15\) vào phương trình \(2x + 3y = 3,\) ta được:

\(2x + 3 \cdot 15 = 3,\) hay \(2x + 45 = 3,\) suy ra \(2x = - 42,\) nên \(x = - 21.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 21;\,\,15} \right).\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[2x + y = 3\] suy ra \[y = 3-2x.\]

Do đó, nghiệm của phương trình \[2x + y = 3\] được biểu diễn trên đường thẳng \[y = 3-2x.\]

Nhận thấy đường thẳng \[y = 3-2x\] đi qua các điểm \[\left( {0\,;\,\,3} \right)\] và \(\left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì \[x + 2 \ne 0\] khi \[x \ne - 2\] và \[x - 1 \ne 0\] khi \[x \ne 1\] nên điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x + 2}} + 1 = \frac{2}{{x - 1}}\) là\[x \ne - 2\] và \[x \ne 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)

       \(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)

       \(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)

       \(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9\,;\) \(x = 4\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “\(a\) không nhỏ hơn \(b\)” tức là “\(a\)lớn hơn hoặc bằng \(b\)” được biểu diễn như sau: \(a \ge b.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay nghiệm \[x = 5\] vào các bất phương trình, ta được:

Với \[x = 5\] có \[5 + 7.5 \le 11\] hay \[40 \le 11\] (vô lí).

Nên \[x = 5\] không là nghiệm của bất phương trình \[5 + 7x \le 11.\]

Với \[x = 5\] có \[2,5.5 - 6 > 9 + 4.5\] hay \[6,5 > 29\] (vô lí).

Nên \[x = 5\] không là nghiệm của bất phương trình \[2,5x - 6 > 9 + 4x.\]

Với \[x = 5\] có \[5 + 7.5 \ge 15\] hay \[40 \ge 15\] (thỏa mãn).

Nên \[x = 5\] là nghiệm của bất phương trình \[5 + 7x \ge 15.\]

Với \[x = 5\] có \[3 - 0,2.5 > 13\] hay \[2 > 13\] (vô lí).

Nên \[x = 5\] không là nghiệm của bất phương trình \[3 - 0,2x > 13.\]

Vậy chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có: \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}\].

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do \[\alpha + \beta = 90^\circ \] nên \[\cos \beta = \sin \alpha = 0,5.\]

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{{3,5}} = \frac{{12}}{7}\). Suy ra \(\widehat {C\,} \approx 59^\circ 45\prime \).

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Đúng.     b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng. Thay \(x = 5\) và \(y = - 1\) vào phương trình đã cho, ta được: \[5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\]

Suy ra cặp số \[\left( {5;\,\, - 1} \right)\] là một nghiệm của phương trình \[x + 2y = 3.\] Do đó ý a) là đúng.

b) Sai. Phương trình \[x + 2y = 3\] là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó ý b) là sai.

c) Sai.Viết lại phương trình \[x + 2y = 3\] thành \(y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x\), khi đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x\). Do đó ý c) là sai.

d) Đúng.Phương trình \[x + 2y = 3\] là phương trình bậc nhất hai ẩn, có vô số nghiệm.

Viết lại phương trình \[x + 2y = 3\] thành \(x = 3 - 2y\).

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đó là: \(\left( {3 - 2y;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý. Do đó ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Sai.        b) Sai.        c) Đúng.     d) Đúng.

a) Sai.Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) hay \(4a - 2 < 4b - 2\) nên ý a) là sai.

b)Sai. Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) hay \(6 - 3a > 6 - 3b\) nên ý b) là sai.

c)Đúng. Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) nên \(4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\) hay \(4a + 1 < 4b + 5\) nên ý c) là đúng.

d)Đúng. Vì \(a < b\) suy ra \( - 2a > - 2b\) nên \(7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\) nên ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp số: \[{\bf{42}},{\bf{5}}\].

Để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) thì thay \(x = 3,\,\,y = - 5\) vào hàm số \(y = ax + b\), ta được: \( - 5 = 3a + b\).

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1;\,\,2} \right)\), ta có: \(2 = a + b\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2a = - 7,\) suy ra \(a = - \frac{7}{2}\).

Thay \(a = - \frac{7}{2}\) vào phương trình \(a + b = 2\), ta được:

\( - \frac{7}{2} + b = 2,\) suy ra \(b = \frac{{11}}{2}\).

Vậy, tổng bình phương của \(a\) và \(b\) là \({a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} = \frac{{85}}{2} = 42,5.\)

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Ta có \[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\]

\[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\]

\[\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \right]\]

\[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

\[x - 2 = 0\] hoặc \[x + 3 = 0\]

\[x = 2\] hoặc \[x = - 3\].

Do đó phương trình có hai nghiệm \[x = 2\]; \[x = - 3\] nên có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 14.

Ta có \[3 < \frac{{2x - 2}}{8}\]

\[2x - 2 > 24\]

\[2x > 26\]

\[x > 26:2\]

\[x > 13.\]

Do đó, bất phương trình có nghiệm \[x > 13.\]

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho là  \[x = 14.\]

Sử dụng MTCT, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{SHIFT}\boxed{\cos }\boxed{3}\boxed{:}\boxed{5}\boxed{=}\boxed{°\text{'}\text{'}\text{'}}$

Trên màn hình cho kết quả \(53^\circ 7'48.37'',\) làm tròn đến phút ta được \(53^\circ .\)

Hướng dẫn giải

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút\[\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*;\,\,x > y} \right).\]

Trong 2 phút, anh Sơn đi được \(2x\) (bước); chị Hà đi được \(2y\) (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

\(2x - 2y = 20\) hay \(x - y = 10\) \[\left( 1 \right)\]

Trong 3 phút anh Sơn đi được \(3x\) (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được \(5y\) (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

\[5y - 3x = 160\] hay \[ - 3x + 5y = 160\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(3,\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right..\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(2y = 190\) nên \(y = 95\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 95\) vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

\[x - 95 = 10\] suy ra \(x = 10 + 95 = 105\) (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là \(105 \cdot 60 = 6\,\,300\) (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là \(95 \cdot 60 = 5\,\,700\) (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64\), suy ra \(AC = 8\,\,{\rm{cm}}\).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ ;\,\,\widehat B\) chung.

Do đó .

Suy ra \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = BH\,.\,BC\) nên \(BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy \(BC = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,AC = 8\,\,{\rm{cm}},\,\,BH = 3,6\,\,{\rm{cm}}.\)

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là \(CD.\)

Xét \(\Delta BAC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 75\cot \widehat {BCA} = 75\cot 45^\circ = 75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Xét \(\Delta DAB\) vuông tại \(A\) có \(AD = 75\cot \widehat {BDA} = 75\cot 30^\circ = 75\sqrt 3 \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

\(CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: \(2x + y\) (mét).

Diện tích mảnh vườn là: \(xy\) (m²).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \[ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\] với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) ta được:

\[xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} \le 2 \cdot {\left( {\frac{{x + \frac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{100}}{2}} \right)^2} = 1\,\,250{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{y}{2}\) và \(2x + y = 100\) hay \(2 \cdot \frac{y}{2} + y = 100\) tức là \(y = 50\), \(x = 25.\)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là \(1\,\,250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\)